2025-2026学年天津市滨海新区塘沽十三中高三（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市滨海新区塘沽十三中高三（上）12月月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x+1x−4≤0,x∈N},B={0,1,2,3,4}，则A.A=B B.A∩B=A C.A∩B=B D.A∪B=A2.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“SA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=(x−1x)cosx在其定义域上的图象大致是A. B.

C. D.4.若a=log219,b=log154,c=−logA.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a5.设m，n是两条直线，α、β是两个平面，下列说法错误的是(

)A.如果α//β，m⊂α，那么m//β

B.若m⊥α，α⊥β，则m//β

C.若α∩β=m，n//α，n//β，则m//n

D.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n6.若直线3x−4y+n=0(n∈N∗)与圆C：(x−2)2+y2=an2(an>0)相切，则①a1=6A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数f(x)=3sin2ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是A.ω=2

B.f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值为2

C.f(x)关于点(π68.已知圆O：x2+y2=4和圆C：(x−2)2+(y−3)2=1，圆心为点C，现给出如下结论，其中正确的个数是(

)

①圆O与圆C有四条公切线

②过点C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y=5或x−y+1=0

③过点C且与圆O相切的直线方程为9x−16y+30=0

④P、Q分别为圆A.0 B.1 C.2 D.39.艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图①是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图②所示的图形.若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是(

)A.423 B.523二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，复数−25i3+4i的虚部为

．11.二项式(x2−3x)5的展开式中含x12.已知直线3x+y+m=0(m>0)与圆x2+y2−2y−4=0相交于A，B两点，若|AB|=10，则13.红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为______；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为______．14.在△ABC中，|AB|=7，|AC|=4，∠BAC=π3，且3AE=4EB，AF=FC，BF与CE15.已知f(x)=|log2x|,0<x≤4,2sin(π8x),4<x≤20,方程f(x)=a有4个不同解x1，x2，x3，x三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b>c，2acosA=bcosC+ccosB，△ABC的面积为123，a=213．

(Ⅰ)求A的值；

(Ⅱ)求b的值；

(Ⅲ)求17.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//DC，AB=AA1=2，AD=DC=1.M，N分别为DD1B1C1的中点．

(Ⅰ)求证：D1N//平面18.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设{bnan}是首项为1，公比为3的等比数列．19.(本小题15分)

已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，满足S2=4，S4=16；数列{bn}各项都是正数，且满足b1=a1，b3=a3−1，bnbn+2=bn+12(n∈N∗)．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)记cn=(6n−7)bnan20.(本小题16分)

已知函数g(x)=x+mlnx+1．

(1)当m=1时，求g(x)在x=1处的切线方程．

(2)求函数g(x)的单调区间和极值．

(3)当x≥1时，若不等式g(x)−x−ex−1≤0恒成立，求实数m参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.B

6.B

7.B

8.C

9.B

10.−3

11.−270

12.4

13.415

114.−18；15.(0,2)

16.解：(Ⅰ)因为2acosA = bcosC+ccosB，

在△ABC中，sin(B+C)=sinA>0，

由正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，

所以cosA=12，而A∈(0,π)，

所以A=π3；

(Ⅱ)因为S△ABC=12bcsinA=123，可得bc=48，①

再由余弦定理可得a2=b2+c2−2bcosA，a=213，

即52=(b+c)2−2bc−bc=(b+c)2−3×48，可得b+c=14，②

由①②可得b，c为方程x2−14x+48=0的根，而b>c，

所以b=8；

(Ⅲ)由(Ⅰ)，(17.(Ⅰ)证明：如图，取BC中点E，连接NE∩B1C=F，连接FM，

则F为NE中点，又M，N分别为DD1B1C1的中点，

所以D1N//MF，又D1N⊄平面CB1M，MF⊂平面CB1M，

所以D1N//平面CB1M；

(Ⅱ)根据题意可建系如图，

则C(1,1,0)，B1(2,0,2)，M(0,1,1)，B(2,0,0)，D1(0,1,2)，

所以CB1=(1,−1,2)，CM=(−1,0,1)，CB=(1,−1,0)，MD1=(0,0,1)，

设平面CB1M的法向量为m=(x,y,z)，平面BB1C1C的法向量为n=(a,b,c)，

所以m⋅CB1=x−y+2z=0m⋅CM=−x+z=0，18.解：(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，

且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，

可得3a1+3d+5a1+10d=50，即8a1+13d=50，

且a42=a1a13，即(a1+3d)2=a1(a1+12d)，即有a1=d，

解得a1=3，d=2，

则an=3+2(n−1)=2n+1；

(2)①由{bnan}是首项为1，公比为3的等比数列，可得bnan=3n−1，

即有bn=(2n+1)⋅3n−1，

则Tn=3⋅30+5⋅31+7⋅32+...+(2n+1)⋅3n−1，

3Tn=3⋅31+5⋅32+7⋅33+...+(2n+1)⋅3n，

相减可得−2Tn=3+2(31+32+...+3n−1)−(2n+1)⋅3n=3+2⋅3(1−3n−1)1−3−(2n+1)⋅3n=−2n⋅3n，

化为Tn=n⋅3n；

②不等式λTn−Sn+2n2≤0，即λ⋅n⋅3n−(n2+2n)+2n2≤0，即有λ≤2−n3n，

可得λ≤2−n3n对一切n∈N∗恒成立．

设cn=2−n3n，则cn+1−cn=1−n3n+1−2−n3n=2n−53n+1，

当n=1，2时，可得c3<c2<20.(1)当m=1时，g(x)=x+lnx+1(x>0)，g(1)=2，

又g′(x)=1+1x，g′(1)=2，

所以g(x)在x=1处的切线方程为y−2=2(x−1)，即2x−y=0；

(2)g′(x)=1+mx=x+mx(x>0)，

当m≥0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值；

当m<0时，由g′(x)<0，得0<x<−m，g′(x)>0，得x>−m，

故g(x)在(0,−m)上单调递减，(−m,+∞)上单调递增，在x=−m处取得极小值g(−m)=−m+mln(−m)+1；

综上，当m≥0时，g(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无减区间与极值；

当m<0时，g(x)的单调递减区间为(0,−m)，递增区间为(−m,+∞)，极小值为g(−m)=−m+mln(−m)+1，无极大值；

(3)g(x)−x−ex−1=mlnx+1−ex−1(x≥1)，

令h(x)=mlnx+1−ex−1，

则h′(x)=mx−ex−1=m−xex−1x(x≥1)，

(i)当m≤1时，h′(x