【《基于压缩感知的图像加密基本理论分析》4300字】

PAGE8基于压缩感知的图像加密基本理论分析目录TOC\o"1-3"\h\u7042基于压缩感知的图像加密基本理论分析 1180621.1图像加密 183981.1.1密码学基础知识 1100701.1.2数据压缩与加密 275771.2压缩感知基本内容 3451.1.1信号的稀疏表示 480771.1.2观测矩阵的基本介绍 5262491.1.3重构算法的基本概述 6294221.3混沌加密技术 6306241.3.1混沌定义 6169221.3.2基于混沌理论的图像加密 757391.3.3混沌系统的选取 71.1图像加密1.1.1密码学基础知识加密系统通常包括：明文、密文、密钥、加密算法和解密算法。其中，加密算法是将要保密的明文转换为加密文本的法则。这个转换过程是加密的；据此，解密算法将加密的文本转换回明文。密钥包括加密密钥和解密密钥。其原理框架如图2-1所示.图1.1密码系统本文以基于压缩感知和混沌理论的加密算法图像为研究对象，对这一分支进行了研究。1.1.2数据压缩与加密传统的信号压缩方式有一个弊端，信号的采集频率必须大于最高频率的二倍。这种情况极大地限制了信号的压缩，在压缩传感理论出现之前，在过去的十年里没有任何进展。图1.2信号传统的压缩方式框图本文主要采用压缩感知进行加密，我们使用测量矩阵稀疏变换信号，然后恢复信号。这样能不限于奈奎斯特采样定理。具体内容由第三章介绍。混沌系统与压缩传感相结合，不仅可以实现对原始图像的有效加密和解密，同时也保证了系统的安全性和可靠性.虽然不同图像加密算法中的加密过程不同，但从本质上讲，它们的加密框架主要属于以下三种类型：(1)加密框架一基于压缩感知和混沌的加密步骤是并行串联的。在这种结构中，明文图像首先通过压缩进行压缩和加密，在处理混沌相关的置乱后对实测值进行重新加密，获取加密的最终图像。由于压缩感知中的整个测量矩阵都是作为密钥使用的，因此这种框架存在计算复杂度高、硬件实现不友好的缺点，特别不适合实时图像加密。压缩感知和混沌只作为两个独立的部分使用，如果采用分步攻击，它们很容易被一一破解。图1.3加密框架一示意图(2)加密框架二为了加强混沌理论与压缩传感技术的相关性，框架二将混沌纳入压缩感知。首先将混沌图的初始值和参数作为控制混沌序列生成的关键，然后对混沌序列进行重组和变换，形成测量矩阵.与架一相比，不需要传输整个测量矩阵，只需要传输一个或多个关键信息。传输的密钥量大大减少，解密速度很快。但这类算法仍要经过安全性测试：首先，这类算法需要频繁更换密钥。如果攻击者掌握了一定数量的源图像和相应的加密图像，他们很容易受到已知的明文攻击。其次，在该方案下构建的观测矩阵是否严格满足约束的等距条件。图1.4加密框架二示意图（3）加密框架三该加密框架在压缩感知阶段嵌入混沌，大大降低了密钥传输的压力，二次引入混沌系统。然后使用混沌系统重新加密测量数据。但这种算法结构通常具有较高的计算复杂度，但在硬件上实现十分困难。图1.5加密框架三示意图1.2压缩感知基本内容数字图像的缺点是易包含冗余信息。采用压缩算法能减少处理过程中的数据量，提高算法效率。然而传统的压缩算法采样基本上都是遵从奈奎斯特采样定理。通过采集较多的信号样本值，然后进行压缩处理，丢弃掉大量不重要且重复的样本数据后再进行存储或传输操作，最后通过解压缩完成整个采样过程。应用时存在采样成本高、重构质量低的问题。所以压缩感知理论的提出，若在一开始只采集关键样本信息，可免造成资源浪费。压缩感知可以通过在远低于奈奎斯特采样率的前提下对信号进行采样和重构[21],具有减小随机投影尺寸的特性。因此压缩感知理论适用于纹理丰富的图像的处理中。它可以在采样的同时进行压缩,降低计算时间复杂度,并同时加密数据。然后，利用高维稀疏信号计算出的低维空间中的少量信号投影值，通过重构算法完成信号的恢复。图1.6压缩感知基本框架根据这个理论结构，在传统的信号采集过程中，对奈奎斯特定理离散化频率的要求被打破。因此，压缩感知主要包括三个部分：原始信号的稀疏变换、测量矩阵的构造和信号的恢复。下面主要通过这三个基本问题介绍压缩传感理论。1.1.1信号的稀疏表示 使用压缩感知技术处理信号，首先把信号用稀疏基表示，使之有稀疏性，转变成稀疏信号[22,23]。很多信号经过某个字典或者稀疏基变换后可以转换为稀疏信号，被研究者们广泛使用的稀疏基包括离散余弦变换基、Curvele变换基[24]、傅里叶变换基（DFT）和小波变换基（DWT）等。从线性代数中可以知道，空间中一组正交基的线性组合可以表示空间中的任意离散信号。这组基由线性独立的向量组成。相应的数学表达式[11]为（2-1）若，，那么为空间内的一组基。为展开系数。除此之外，公式（2-1）还能通过矩阵的方式描述，相应的数学表达式为：（2-2）此处，是系数向量，为矩阵，由基向量构成。信号稀疏表示过程如图1.7所示。·图1.7信号的稀疏化处理信号经过稀疏变换后，信号的系数会变得稀疏，原始信号之间的关联性将会变低。一般情况下，信号的稀疏程度采用信号非零系数的个数，即范数来衡量。信号的稀疏化程度严重影响着信号恢复的效果，信号稀疏化程度越高，恢复信号的效果越好。信号的稀疏表示主要有两个内容稀疏变换和构造稀疏字典，一个合适的字典可以使稀疏化的信号具有原信号最具代表性的信息，在重构信号时能够更清晰准确地恢复出原来的信号。冗余字典中的元素叫做原子，与稀疏变换不同的是，冗余字典生成字典是用过完备的数据库生成的。用x表示图像信息，用D表示冗余字典，则两者之间的关系如式（2-3）所示。（2-3）在式（2-3）中，为稀疏系数，用表示稀疏度。众所周知，稀疏度越小信号恢复效果越好。在目前的冗余字典研究中，主要通过两种方法构造字典：学习构造法和解析构造法。学习构造法自适应能力更强，通过学习信号的特性构造字典的方式，有在线字典学习算法等。而解析构造法是运用某个特定的变换来获取字典。1.1.2观测矩阵的基本介绍信号的稀疏表示是压缩感知技术的第一个步骤，如何设计出一个合适的测量矩阵对信号进行测量，是接下来要研究的另一个重点步骤，从少量的测量值中精准的重构出原来的信号又是一个难题。压缩感知信号采集与过去常用的信号采集方式的区别在于，后者是对图像信号的像素值进行获取，而压缩感知技术则是获取图像的低维投影。测量矩阵的选择和设计十分重要。通过使用测量矩阵可以将信号压缩和采集过程统一为一个整体，所以测量矩阵必须保证它与稀疏基不相关，以保证信号的最终恢复。信号的测量过程如图1.8所示。图1.8图像的压缩感知观测过程为稀疏系数，是图像经过稀疏化处理得到的，在保证信号能够重构的基础上，用一个测量矩阵对N维信号x进行低维投影[19]，得到M维测量信号y：（2-4）这样信号x可以从N维降到M维。由于x可以稀疏表示，我们可以得到公式（2-5）：（2-5）叫做传感矩阵，是一个矩阵。在式（2-5）中，方程的个数远远少于未知数的个数，在正常条件下，是无法恢复出原始信号的，因为无法确定该方程组的解。但因为是稀疏的，通过个值就可以得到个非零系数。2005年，陶哲轩和Candes提出了约束等距性质[17]：传感矩阵A应该具有约束等距性质：对于任意的常数（0<<1），有（2-6）x为一个k-稀疏的信号，等距常数为满足上式的最小值。但在实际应用时直接构造并判断满足RIP条件的传感矩阵十分困难。在压缩感知中，稀疏基是预先知道和选择的。因此，传感矩阵通过开发测量矩阵来满足RIP的要求。Baranyuk证明了测量矩阵和稀疏基的非相关性是RIP的等价条件.虽然独立且均匀分布的高斯随机矩阵具有高度的随机性，导致大量的内存浪费，它仍然广泛应用于压缩感知中。因此，减少浪费随机资源已成为一个迫切需要解决的问题。1.1.3重构算法的基本概述重构算法本质上是求解一个最优化问题，信号的恢复需要通过少量观测值来完成，最终需要获得原始信号。通过前几节的介绍可以知道，对信号进行重构的本质就是对式（2-4）的逆问题进行求解。一般情况下，不能准确地获得原始信号，是因为我们没办法确定方程组的解。我们可以通过求解式（2-5）的逆问题来求得，前提条件是信号x的稀疏信号是K-稀疏（K<M<N）的，再由式（2-2）来得到原来的信号,重构变换[21]如下：（2-7）压缩感知技术中信号的重构是一个研究热点，常用的组合算法包括稀疏傅里叶采样法等。凸优化算法的本质是用凸优化问题代替组合问题，这与其他重建算法不同。事实上，凸优化算法都是通过优化来改变方程，这与其他的再创造算法是不同的。大量的算法将系统的关键组成部分最大化，包括重复算法和梯度算法。程序贪婪地恢复第一个信号，并在每个循环中找到对应列中乘积的最大值，即定义了恢复矩阵中与实测值有较大相关性的列向量，并在原始信号中找到非零项位置和对应值。1.3混沌加密技术加密图像需要密文图像在视觉上与原图像完全不同，因此应加入随机性的编码序列时图像具有随机性。众所周知，混沌系统具有初始灵敏度的优点，确定性和遍历性。将混沌理论应用于数字图像加密，可以获得比普通伪随机过程更大的密钥空间。良好地折衷了加密系统的安全性和计算速度。1.3.1混沌定义混沌现象是一种出现在确定性系统中无规则且随机的行为，广泛存在于物理学，经济学等领域。由于混沌系统的定常状态不属于任何三种确定性运动状态，其神秘面纱并没有被完全揭开。许多学者也基于不同的学科理论的理解对混沌做出了定义。到目前为止，还没有形成科学统一的混沌定义.但他们所反映的混乱的性质和特征是相同的。从不同的角度来看，以最常用、影响最大的Li-Yorke定义为例：设是闭区间I上的连续自映射，若满足以下条件，则称其为混沌的[23]：1）的周期没有上界；2）闭区间I上存在不可数的子集S，且S中无周期点：3）有，其中表示n重函数，是的周期点的集合。1.3.2基于混沌理论的图像加密任何静止图像都可以表示为二维平面区域上的二维连续函数：可以用函数值来表示图像上一个点。然而，计算机数字化存储信息后，这些图像信息成为相应的矩阵。矩阵的行和列是图像的坐标。其中的值对应于该点的像素的灰度值。混沌加密算法的环节如下：选择混沌映射、引入加密参数、离散化混沌映射、密钥的分配、密码分析。1.3.3混沌系统的选取选择合适的混沌映射很重要。混沌映射在图像加密算法中可以分为两类:一维(1D)和多维(MD)。由于混沌映射结构复杂，参数多，混沌映射在图像安全方面的应用越来越广泛。然而，多个参数增加了其软硬件实现的难度计算复杂度。一维混沌系统，具有结构简单、易于操作的特点实施。。但混沌映射也有三个问题:(1)有限的或/和不连续的范围混沌行为;(2)利用迭代和相关性对脆弱性进行低计算成本分析函数;(3)非均匀数据分布输出的混沌序列。下面简要介绍本文选用的Logistic映射。Logistic映射是一维混沌映射中具有复杂动力学