北京市东城区第二十二中学2026届高二上数学期末联考试题含解析

北京市东城区第二十二中学2026届高二上数学期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，则等于（）A. B.C. D.2．曲线上的点到直线的最短距离是（）A. B.C. D.13．已知抛物线C：，焦点为F，点到在抛物线上，则（）A.3 B.2C. D.4．阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（）A. B.2C. D.5．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.6．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）A. B.C. D.7．复数，则对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．已知函数，若对任意，都有成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.9．“若”为真命题，那么p是（

）A. B.C. D.10．已知函数的导数为，且，则（）A. B.C.1 D.11．已知中，内角所对的边分别，若，，，则（）A. B.C. D.12．已知空间中四点，，，，则点D到平面ABC的距离为（）A. B.C. D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆锥的母线长为cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____cm.14．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.15．已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：平行，则双曲线C的离心率是______16．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由18．（12分）如图所示，是棱长为的正方体，是棱的中点，是棱的中点（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距离19．（12分）已知圆的圆心为，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）已知直线与圆相交于、两点，求.20．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在C上（1）求p的值及F的坐标；（2）过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求21．（12分）已知椭圆C：的长轴长为，P是椭圆上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆C的上顶点，Q为PA的中点，且直线PA与直线OQ的斜率之积恒为-2.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k且过上焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当点M，N到y轴距离之和最大时，求直线l的方程.22．（10分）已知抛物线上的点到焦点的距离为6（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】由，，得，因此.故选：C.2、B【解析】先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.【详解】设与平行的直线与相切，则切线斜率k=1，∵∴，由，得当时,即切点坐标为P(1,0)，则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，∴点(1,0)到直线的距离为：，∴曲线上的点到直线l:的距离的最小值为.故选：B3、D【解析】利用抛物线的定义求解.【详解】因为点在抛物线上，，解得，利用抛物线的定义知故选：D4、C【解析】根据给定条件建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，探求点P与直线AB的最大距离即可计算作答.【详解】依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设，因，则，化简整理得：，因此，点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，当点P到直线(轴)的距离最大时，的面积最大，显然，点P到轴的最大距离为，此时，，所以面积的最大值是故选：C5、B【解析】根据向量加法和减法法则即可用、、表示出.【详解】故选：B.6、B【解析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B7、C【解析】化简复数，根据复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数，所以复数对应的点为位于第三象限.故选：C.8、C【解析】求出函数的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.【详解】对函数求导得：，，，则，，而，当且仅当，即时“=”，于是得，解得，所以a的取值范围为.故选：C【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.9、A【解析】求不等式的解集，根据解集判断p.【详解】由解得-2<x<4，所以p是.故选：A.10、B【解析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.【详解】由得，当时，，解得，所以，.故选：B11、B【解析】利用正弦定理可直接求得结果.【详解】在中，由正弦定理得：.故选：B.12、C【解析】根据题意，求得平面的一个法向量，结合距离公式，即可求解.【详解】由题意，空间中四点，，，，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，所以点D到平面ABC的距离为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意可知圆锥侧面展开图的半圆的半径为cm，再根据底面圆的周长等于侧面的弧长，即可求出结果.【详解】设底面圆的半径为，由于侧面展开图是一个半圆，又圆锥的母线长为cm，所以该半圆的半径为cm，所以，所以（cm）.故答案为：.14、【解析】连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.【详解】解：连接∵四面体中，，分别在，上，且，∴∴∴.故答案为：15、【解析】先用两直线平行斜率相等求出，再利用离心率的定义求解即可.【详解】由题意可得双曲线C的一条渐近线方程为，则，即，则，故双曲线C的离心率故答案为：.16、【解析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.【详解】，当时，，所以切线方程为，即；令可得，令可得；所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）过，.【解析】（1）根据两圆内切和外切的性质，结合双曲线的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解判断即可.【小问1详解】设圆E的圆心为，半径为r，则，，所以由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；【小问2详解】设，，直线l的方程为由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，则直线l的方程为，过点，与题意矛盾，所以，故，所以直线l的方程为，过点【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.18、（1）（2）【解析】（1）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；（2）求出平面的法向量，利用空间向量法可求得到平面的距离.【小问1详解】解：以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的坐标系则、、、、、、，所以，，设平面的一个法向量为，，，由，取，可得，所以，，直线与平面所成角的正弦为小问2详解】解：设平面的一个法向量，，，由，即，令，得，，所以点到平面的距离为即到平面的距离为19、（1）；（2）.【解析】（1）求出圆的半径长，结合圆心坐标可得出圆的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.小问1详解】解：圆的半径为，因此，圆的标准方程为.【小问2详解】解：圆心到直线的距离为，因此，.20、（1），（2）4【解析】（1）将M坐标代入方程即可；（2）联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标，再利用焦半径公式求出即可.【小问1详解】将代入，得，解得，所以【小问2详解】由（1）得抛物线方程为，直线l的方程为，联立消y得，解得或，因为A在第一象限，所以，所以，，所以21、（1）（2）【解析】（1）设点，求出直线、直线的斜率相乘可得，结合可得答案；（2）设直线l的方程为与椭圆方程联立，代入得，设，再利用基本不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得，，即，则，设点，∵Q为的中点，∴，∴直线斜率，直线的斜率，∴，又∵，∴，则，解得，∴椭圆C的方