2026届西南名校高二数学第一学期期末经典试题含解析

2026届西南名校高二数学第一学期期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知一个圆锥的体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）A. B.C. D.2．已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（）A. B.C. D.13．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝04．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.5．已知两直线与，则与间的距离为（）A. B.C. D.6．已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.7．已知函数，则的单调递增区间为（）.A. B.C. D.8．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.16C.18 D.209．已知数列满足：，，则（）A. B.C. D.10．已知，为椭圆上关于短轴对称的两点，、分别为椭圆的上、下顶点，设，、分别为直线，的斜率，则的最小值为（）A. B.C. D.11．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为4天，那么感染人数超过1000人大约需要（）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染）A.20天 B.24天C.28天 D.32天12．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的右焦点到C的渐近线的距离为，则C渐近线方程为______14．展开式的常数项是________15．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.18．（12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.19．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过点且与椭圆E交于A，B两点.求的最大值20．（12分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解当地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求的值；（2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率.21．（12分）已知数列满足，，数列前项和为.（1）求数列，的通项公式；（2）表示不超过的最大整数，如，设的前项和为，令，求证：.22．（10分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，满足.（1）求A；（2）若，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，所以，圆锥的体积，解得，所以该圆锥的侧面积为.故选：B2、A【解析】求出圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离，列方程即可求得的值.【详解】由圆可得圆心，半径，因为圆上有三个点到直线的距离等于1，所以圆心到直线的距离，可得：，故选：A.3、D【解析】设切点为，则切线的斜率为，然后根据条件可得的值，然后可得答案.【详解】设切点为，因为，所以切线的斜率为因为曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，所以，即所以l的方程为，即故选：D4、C【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.【详解】则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C5、B【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.【详解】直线的方程化为：，显然，，所以与间的距离为.故选：B6、C【解析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，不等式不成立，错误；，故错误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.7、D【解析】利用导数分析函数单调性【详解】的定义域为，，令，解得故的单调递增区间为故选：D8、B【解析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：B9、A【解析】由a1＝3，，利用递推思想，求出数列的前11项，推导出数列{an}从第6项起是周期为3的周期数列，由此能求出a2022【详解】解：∵数列{an}满足：a1＝3，，∴a2＝3a1+1＝10，5，a4＝3a3+1＝16，a58，4，a72，a81，a9＝3a8+1＝4，a102，a111，∴数列{an}从第6项起是周期为3的周期数列，∵2022＝5+672×3+1，∴a2022＝a6＝4故选：A10、A【解析】设出点，的坐标，并表示出两个斜率、，把代数式转化成与点的坐标相关的代数式，再与椭圆有公共点解决即可.【详解】椭圆中：，设则，则，，令，则它对应直线由整理得由判别式解得即，则的最小值为故选：A11、B【解析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：即，解得，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要24天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程12、A【解析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.【详解】=,故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据给定条件求出双曲线渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答【详解】双曲线的渐近线为：，即，依题意，，即，解得，所以C渐近线方程为.故答案为：14、【解析】求出的通项公式，令的指数为0，即可求解.【详解】的通项公式是，，依题意，令，所以的展开式中的常数项为.故答案为：.15、①.；②.【解析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.【详解】因为点在直线上，所以，所以数列是以，公差为的等差数列，所以；因为，所以，于是，故答案为：；16、3【解析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l与抛物线方程，表示出，求其最值即可.【详解】已知，设，，，则，∵，所以，，∴，当且仅当m=0时，取..故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由题设，原不等式等价于，分类讨论即可得出结论；（2）不等式对任意恒成立，即，即可求实数a的取值范围.【详解】（1）当时，原不等式等价于，当时，，解得，即；当时，恒成立，即；当时，，解得，即；综上，不等式的解集为；（2），，即或，解得，∴a取值范围是.18、（1）；（2）【解析】（1）根据所给条件列出方程组，求得，即可求得答案；（2）根据（1）的结果，写出，利用等比数列的前n项和公式求得答案.【小问1详解】设等差数列{an}公差为d，由，得解得所以(n∈N*)；【小问2详解】由（1）可知，故，所以19、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，结合焦点的坐标、椭圆中的关系进行求解即可；（2）根据直线l是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、弦长公式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】依题意：，解得，，∴椭圆E的方程为；【小问2详解】当直线l的斜率存在时，设，，由得由得．由，得当且仅当，即时等号成立当直线l的斜率不存在时，，∴的最大值为20、（1）（2）【解析】（1）由频率之和为1求参数.（2）由分层抽样的比例可得抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，再应用列举法写出所有基本事件，根据古典概型的概率计算即可.小问1详解】根据频率分布直方图得：，解得；【小问2详解】由于，和的频率之比为：，故抽取的5人中，，和别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含，，，，，，共7种，故概率.21、（1），（2）证明见解析【解析】(1)利用累加法求通项公式，利用通项公式与前n项和公式的关系可求的通项公式；(2)求出并判断其范围，求出，利用裂项相