2026届山东省济宁市嘉祥一中数学高二上期末考试模拟试题含解析

2026届山东省济宁市嘉祥一中数学高二上期末考试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2．已知数列满足，，则的最小值为（）A. B.C. D.3．已知向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（）A. B.C. D.5．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ值为()A.－3或7 B.－2或8C0或10 D.1或116．双曲线的焦点坐标是（）A. B.C. D.7．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8．箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，设事件=“至少有一件次品”，则的对立事件为（）A.至多两件次品 B.至多一件次品C.没有次品 D.至少一件次品9．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（）A. B.C. D.10．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（）A. B.C. D.11．执行如图的程序框图，输出的S的值为（）A. B.0C.1 D.212．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为，若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A.或 B.或C.或 D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______14．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且，则c的最小值为__________.15．将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________16．设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的x的取值范围是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且是的中点.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知定圆，过的一条动直线与圆相交于、两点，（1）当与定直线垂直时，求出与的交点的坐标，并证明过圆心；（2）当时，求直线的方程19．（12分）已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值20．（12分）已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.21．（12分）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为（1）求圆的方程；（2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程22．（10分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G的方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据垂直关系的性质可判断.【详解】由题，，则或，若，则或或与相交，故充分性不成立；若，则必有，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.2、C【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.【详解】因为，所以，，，，式相加可得，所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.故选：C3、D【解析】由题可知：，，，故选；D4、B【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则解得：，所以.故选：B.5、A【解析】根据直线平移的规律，由直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0，因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故选A考点：直线与圆的位置关系6、B【解析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，所以，且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：B.7、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，故选：B8、C【解析】利用对立事件的定义，分析即得解【详解】箱子中有5件产品，其中有2件次品，从中随机抽取2件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次品，一件正品”，“两件正品”三种情况根据对立事件的定义，事件=“至少有一件次品”其对立事件为：“两件正品”，即”没有次品“故选：C9、A【解析】联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求距离.【详解】由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.故选：A.10、B【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.【详解】，所以实数组故选：B11、A【解析】直接求出的值即可.【详解】解：由题得，程序框图就是求，由于三角函数的最小正周期为，，，所以.故选：A12、B【解析】根据题意列出的关系式，即可求得，再分焦点在轴与轴两种情况写出标准方程.【详解】根据题意，可得，所以椭圆的标准方程为或.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果【详解】如图所示：棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，所以，而，同理，故棱锥的体积的为，即棱锥与棱锥的体积之比为故答案为：.14、【解析】先利用正弦定理边化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根据与的关系，求得，即可求得c的最小值.【详解】，即，又，当最大时，即，最小，且为由正弦定理得：，当时，c的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.15、【解析】由已知，第组中最后一个数即为前组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为，所以第22组的第1个数为.故答案为：16、【解析】构造函数利用导数研究单调性，即可得到答案；【详解】，令，，单调递减，且，，x的取值范围是，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点F，连接EF，，由四边形是平行四边形即可求解；（2）采用建系法，以为轴，为轴，垂直底面方向为轴，求出对应点坐标，结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】取的中点F，连接EF，，∵，∴，且，∴，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，∴，.设平面的法向量是，则，即，令，得，易知平面的一个法向量是，∴，又二面角是钝二面角，∴二面角的余弦值为.18、（1），证明见解析；（2）或.【解析】（1）根据题意可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，可求得的值，再将直线、的方程联立，可得出这两条直线的交点的坐标，将圆心的坐标代入直线的方程可证得结论成立；（2）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：当直线与定直线垂直时，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得，则，此时，直线的方程为，联立可得，即点，圆心的坐标为，因为，故直线过圆心.【小问2详解】解：设圆心到直线的距离为，则.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.19、(1)详见解析(2)m为－时，截得的弦长最小，最小值为2【解析】（1）将直线l变形，可知直线l过定点，证明定点在圆内部；（2）利用垂径定理和弦长公式可得.【详解】(1)证明：直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0令解得,如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)而|AC|＝＝<3(半径)∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交(2)解:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，此时kl·kAC＝－1，即,∴m＝－最小值为故m为－时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为2【点睛】考查直线过定点、点与圆的位置关系以及弦长问题，解题的关键是直线系形式的转化.20、(1);(2)见解析.【解析】(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立,解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值.【详解】(1)设,则,两式相减,得:由弦中点纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理.直线的斜率为定值.【点睛】本题考查应用点差法处理中点弦问题,直线与抛物线中,斜率为定值问题,考查分析问题的能力,考查学生的计算能力,难度较难.21、（1）或（2）或【解析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出圆的标准方程；（2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，因为圆心到直线的距离为，解得，所以圆心的坐标为或，半径为，因此，圆的标准方程为或.【小问2详解】解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.因为，所以圆心到直线的距离.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合