广东省广州第七中学2026届高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

广东省广州第七中学2026届高二数学第一学期期末检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如果命题为真命题，为假命题，那么（）A.命题，都是真命题 B.命题，都是假命题C.命题，至少有一个是真命题 D.命题，只有一个是真命题2．在等差数列中，，，则公差A.1 B.2C.3 D.43．直线恒过定点（）A. B.C. D.4．已知数据的平均数是，方差是4，则数据的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.45．函数在的最大值是（）A. B.C. D.6．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为A. B.C. D.27．设是周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B.C. D.8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要9．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.10．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（）A. B.C. D.11．若，都为正实数，，则的最大值是（）A. B.C. D.12．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（）A.－4 B.－10C.4 D.10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______14．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是圆上一个动点，且线段的中点在的一条渐近线上，若，则的离心率的取值范围是________16．关于曲线C：1，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y＝0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝2有4个公共点，这4点构成正方形其中正确结论的个数是_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点（1）求实数m的值；（2）求△ABO(O为原点)面积的最大值18．（12分）命题p：直线l：与圆C：有公共点，命题q：双曲线的离心率（1）若p，q均为真命题，求实数m的取值范围；（2）若为真，为假，求实数m的取值范围19．（12分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长20．（12分）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点（1）求证：直线平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值21．（12分）已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，点关于坐标原点对称，过点作轴的垂线，为垂足，直线与抛物线交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与轴交点分别为，求的值；（3）若，求.22．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由命题为真命题,可判断二者至少有一个为真命题，由为假命题，可判断二者至少有一个为假命题，由此可得答案.【详解】命题为真命题，说明二者至少有一个为真命题，为假命题,说明二者至少有一个为假命题，综合上述，可知命题，只有一个是真命题，故选：D2、B【解析】由，将转化为表示，结合，即可求解.【详解】，.故选:B.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.3、A【解析】将直线方程变形得，再根据方程即可得答案.【详解】解：由得到：，∴直线恒过定点故选：A4、B【解析】利用方差的定义即可解得.【详解】由方差的定义，，则，所以数据的方差为：.故选：B5、C【解析】利用函数单调性求解.【详解】解：因为函数是单调递增函数，所以函数也是单调递增函数，所以.故选：C6、A【解析】由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.7、A【解析】由周期函数得，再由奇函数的性质通过得结论【详解】∵函数是周期为2的周期函数，∴，而，又函数为奇函数，∴．故选A【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．此类题型，求函数值时，一般先用周期性化自变量到已知区间关于原点对称的区间，然后再由奇函数性质求得函数值8、B【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：B9、A【解析】设，根据得，代入椭圆方程即可求得离心率.【详解】设椭圆方程，所以，设，所以，所以，在椭圆上，所以，.故选：A10、C【解析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【详解】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得，，再求最值.11、B【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D12、A【解析】根据关于平面对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，即可求出点关于平面的对称点的坐标，再利用向量的坐标运算求.【详解】解：由题意，关于平面对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点关于对称的点的坐标为（2，−1，-3）.故选：A【点睛】本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称，考查数量积的坐标运算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析可得答案【详解】如图，抛物线的焦点为，准线为，分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，则，即，解得.所以的横坐标为故答案为：14、160【解析】∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为，∴此样本中男生人数为，故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题15、【解析】设，，因为点是线段中点，所以有，代入坐标求出点的轨迹为圆，因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，利用点到直线的距离求出临界状态下渐近线的斜率，数形结合求出有公共点时渐近线斜率的范围，从而求出离心率的范围.【详解】解：设，，因为点是线段的中点，所以有，即有，因为点在圆上，所以满足：，代入可得：，即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图所示：因为点在渐近线上，所以圆与渐近线有公共点，当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：圆心到渐近线的距离为，因为，所以，即，且，所以，此时，，当时，渐近线与圆有公共点，.故答案为：.16、4【解析】直接利用曲线的性质，对称性的应用可判断①②；求出可判断③；联立方程，解方程组可判断④⑤的结论【详解】对于①，将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，曲线C关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x换为﹣y，把y换成﹣x，方程不变，曲线C关于直线x±y＝0对称，故②正确；对于③，由方程得，故曲线C不是封闭图形，故③错误；对于④，曲线C：，不是封闭图形，联立整理可得：，方程无解，故④正确；对于⑤，曲线C与曲线D：由于，解得，根据对称性，可得公共点为，故曲线C与曲线D有四个交点，这4点构成正方形，故⑤正确故答案为：4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根据已知条件得，，结合离心率，即可解得答案(2)设直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式，基本不等式即可得出答案【小问1详解】由题意可得，，，∵离心率，∴，∵，∴，解得【小问2详解】由(1)知，椭圆，上焦点，设，，，，直线的方程为：，联立，得，∴，，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴为原点)面积的最大值为18、（1），；（2）.【解析】(1)求出，成立的等价条件，即可求实数的取值范围；(2)若“”为假命题，“”为真命题，则、一真一假，当真假时，求出的取值范围，当假真时，求出的取值范围，然后取并集即可得答案【小问1详解】若命题为真命题，则，解得：，若命题为真命题，则且，，解得，∴，均为真命题，实数的取值范围是，；【小问2详解】若为真，为假，则、一真一假；①当真假时，即“”且“或”，则此时的取值范围是；当假真时，即“或”且“”，则此时的取值范围是；综上,的取值范围是19、（1）证明见解析；（2）；（3）或【解析】本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.试题解析：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值为.（3）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明，则，可证明，由平面，可得，再由线面垂直的判定定理即可求证；（2）连结，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，在中由余弦定理计算的值即可求解.【小问1详解】在正方形中，，分别为棱，的中点，则，，，所以，则，所以，即，又因为平面，面，所以，因为，所以平面【小问2详解】连结，，可知，所以或其补角即为异面直线与所成的角，令，则，，，在中，由余弦定理可得：，故异面直线与所成角的余弦值为.21、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线的方程，与抛物线的方程联立，可求得点和的纵坐标，结合直线点斜式方程、两点间距离公式进行求解即可；（3）利用弦长公式求得，由两点间距离公式求得和，再解方程即可.【小问1详解】抛物线的准线方程为：，因为点到抛物线焦点的距离为，所以有；小问2详解】