泉州第五中学2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

泉州第五中学2026届高二数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，，…，，，则（）A. B.C. D.2．若，则（）A. B.C. D.3．一物体做直线运动，其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A. B.C. D.4．函数的图像大致是（）A B.C. D.5．在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点О的距离为（）A. B.C.2 D.36．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或C.或 D.或7．若复数z满足（其中为虚数单位），则（）A. B.C. D.8．已知直线与圆相交于，两点，则的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A B.C. D.10．已知集合，集合或，是实数集，则（）A. B.C. D.11．圆心为的圆，在直线x﹣y﹣1＝0上截得的弦长为，那么，这个圆的方程为（）A. B.C. D.12．圆与圆的位置关系是（）A.外离 B.外切C.相交 D.内切二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.14．已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，为双曲线上一点，且，线段的垂直平分线恰好经过点，则双曲线的离心率为_______15．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为_____.16．复数的共轭复数是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若点，求过点的圆的切线方程.18．（12分）设，为双曲线：（，）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△为等腰直角三角形（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，①求双曲线方程；②已知直线，分别交直线于，两点，当直线倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由19．（12分）设数列的前项和为，已知，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，是否存在正整数，使得对任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，说明理由.20．（12分）已知函数，.（1）若函数与在x=1处的切线平行，求函数在处的切线方程；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围.21．（12分）已知圆：，过圆外一点作圆的两条切线，，，为切点，设为圆上的一个动点.（1）求的取值范围；（2）求直线的方程.22．（10分）设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.（1）求C的方程；（2）O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.【详解】，，，，，……，以此类推，，所以.故选：B2、D【解析】设，计算出、的值，利用平方差公式可求得结果.【详解】设由已知可得，，因此，.故选：D.3、A【解析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度【详解】对求导，得，，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题4、B【解析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.【详解】由得，或，选项A，C不满足；由求导得，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足.故选：B5、A【解析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.【详解】，，由中点坐标公式，得，所以.故选：A6、C【解析】点关于轴的对称点为，由反射光线的性质，可设反射光线所在直线的方程为：，再利用直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，由此即可求出结果【详解】点关于轴的对称点为，设反射光线所在直线的方程为：，化为因为反射光线与圆相切，所以圆心到直线的距离，可得，所以或故选：C7、B【解析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，因此，.故选：B8、C【解析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，利用弦长公式求解即可.【详解】因直线方程为：，整理得，故该直线恒过定点，又，故点在圆内，又圆的圆心为则，此时直线过圆心；当直线与直线垂直时，取得最小值，此时.故的取值范围为.故选：.9、D【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案.【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，排除选项A、B，当时，先正后负，所以在先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.10、A【解析】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可【详解】，或，故故选：A11、A【解析】由垂径定理，根据弦长的一半及圆心到直线的距离求出圆半径，即可写出圆的标准方程.【详解】圆心到直线x﹣y﹣1＝0的距离弦长，设圆半径为r，则故r=2则圆的标准方程为故选：A【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和圆的标准方程，属于基础题.12、C【解析】利用圆心距与半径的关系确定正确选项.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆心距为，，所以两圆相交.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可知三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，进而求出三棱柱的外接球的半径即可得出结果.【详解】因为，，所以，故，又因为平面BCD，因此三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，如图：取的中点，则为外接圆的圆心，取的中点，则为外接圆的圆心，则的中点即为外接球的球心，因此，,因此，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：.14、【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齐次式，化简即可求出离心率【详解】设双曲线：，，不妨设为双曲线右支上一点因为线段的垂直平分线恰好经过点，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化简得，，即，而，解得故答案为：15、【解析】由面积公式求得，结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长.【详解】，从而，由正弦定理得：，解得：故答案为：16、【解析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可.【详解】，∴.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得，由此求得圆的方程.（2）根据过的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.【小问1详解】由题意，设圆的标准方程为：，圆关于直线对称，圆与轴相切：…①点到的距离为：，圆被直线截得的弦长为，，结合①有：，，又，，，圆的标准方程为：.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，满足题意当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.又圆C的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即即直线的方程为或.18、（1）；（2）①；②定点有两个，【解析】（1）由双曲线方程有、、，根据已知条件有，即可求离心率.（2）①由题设有，结合（1）求双曲线参数，写出双曲线方程即可；②由题设可设为，，，联立双曲线方程结合韦达定理求，，，，再由、的方程求，坐标，若在为直径的圆上点，由结合向量垂直的坐标表示列方程，进而求出定点坐标.【小问1详解】由题设，若，且，又△为等腰直角三角形，∴，即，则又，可得.【小问2详解】由题设，，由（1）有，则，即，①由上可知：双曲线方程为.②由①知：，且直线的斜率不为0，设为，，，联立直线与双曲线得：，∴，，则，∴，∴直线为；直线为；∴，，若在为直径的圆上点，∴，且，∴，令，则，∴，即，∴或，即过定点.【点睛】关键点点睛：第二问的②，设直线为，联立直线与双曲线，应用韦达定理求，，，，进而根据、的方程求，坐标，再由圆的性质及向量垂直的坐标表示求定点坐标.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由已知条件有，根据等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求出及，进而可得，利用二次函数的性质即可求解的最小值，从而可得答案.【小问1详解】证明：因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2公比为2的等比数列；【小问2详解】解：由（1）知，，所以，所以，检验时也满足上式，所以,所以，令，所以，故当即时，取得最小值，所以.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出函数的导数，利用切线平行求出a，即可求出切线方程；（2）先把已知条件转化为，令,，利用导数求出的最小值，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）,故,而,故，故,解得:，故,故的切线方程是:，即；（2）当时，恒成立等价于,令,.则，令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以,所以.即实数a的取值范围为.21、（1）（2）【解析】(1)求出PM，就可以求PQ的范围；(2)使用待定系数法求出切线的方程，再求求切点的坐标，从而可以求切点的连线的方程.【小问1详解】如下图所示，因为圆的方程可化为，所以圆心，半径，且，所以，故取值范围为.【小问2详解】可知切线，中至少一条的斜率存在，设为，则此切线为即，由圆心到此切线的距离等于半径，即，得所以两条切线的方程为和，于是由联立方程组得两切点的坐标为和所以故直线的方程为即22、（1）；（2）.【解析】(1)列出关于a、b、c的方程组求解即可；(2)直线l斜率不存在时，易得λ的值；斜率存在时，设l方程为，联立直线l与椭圆C的方程，求出；求出O