2026届遵义县第一中学高二数学第一学期期末检测试题含解析

2026届遵义县第一中学高二数学第一学期期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，在上随机任取一个数，则的概率为（）A. B.C. D.2．圆（）上点到直线的最小距离为1，则A.4 B.3C.2 D.13．在四棱锥中，底面为平行四边形，为边的中点，为边上的一列点，连接，交于，且，其中数列的首项，则（）A. B.为等比数列C. D.4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C若，则 D.若，则5．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.6．已知数列中，且满足，则（）A.2 B.﹣1C. D.7．在正方体中，E，F分别为AB，CD的中点，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.8．已知空间向量，，则（）A. B.19C.17 D.9．设集合，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．直线与曲线相切于点,则()A. B.C. D.11．已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（）A.1 B.2C. D.412．抛物线的焦点到准线的距离是A. B.1C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等比数列中，，，则数列的公比为____.14．已知数列满足，则其通项公式________15．已知函数定义域为，值域为，则______16．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答设等差数列的前n项和为，，______；设数列的前n项和为，（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18．（12分）已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围19．（12分）如图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且平面与平面垂直，如图2（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在点P，使平面与平面的夹角为？若存在，则求三棱锥的体积，若不存在，则说明理由20．（12分）在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一、质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.（1）请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；（2）以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.22．（10分）记为数列的前项和，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先解不等式，然后由区间长度比可得.【详解】解不等式，得，所以，即的概率为.故选：A2、A【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题3、A【解析】由得，为边的中点得，设，所以，根据向量相等可判断A选项；由得是公比为的等比数列，可判断B选项；代入可判断C选项；当时可判断D选项.【详解】由得，因为为边的中点，所以，所以设，所以，所以，当时，A选项正确；，由得，是公比为的等比数列，所以，所以，所以，不是常数，故B选项错误；所以，由得，故C选项错误；当时，，所以，此时为的中点，与重合，即，，故D错误.故选：A.4、C【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案【详解】解：对于A：若，则或，故A错误；对于B：若，则或与相交，故B错误；对于C：若，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确；对于D：若则与平行、相交、或异面，故D错误；故选：C5、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.6、C【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，故选：C7、B【解析】作出线面角构造三角形直接求解，建立空间直角坐标系用向量法求解.【详解】设正方体棱长为2，、F分别为AB、CD的中点，由正方体性质知平面，所以平面平面，在平面作，则平面，因为，所以即为所求角，所以.故选：B8、D【解析】先求出的坐标，再求出其模【详解】因为，，所以，故，故选：D.9、A【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【详解】，解得，故，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件故选：A10、A【解析】直线与曲线相切于点,可得求得的导数,可得,即可求得答案.【详解】直线与曲线相切于点将代入可得:解得:由,解得:.可得,根据在上,解得:故故选:A.【点睛】本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11、B【解析】首先分别设，，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设，，所以，即，即，得，短轴长为.故选：B12、D【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据等比数列的定义，结合已知条件，代值计算即可求得结果.【详解】因为是等比数列，设其公比为，又，，故可得，解得.故答案为：.14、【解析】利用累加法即可求出数列的通项公式.【详解】因为，所以，所以，，，…，，把以上个式子相加，得，即，所以.故答案为：.15、3【解析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解.【详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得，则，由值域为可得，所以，故答案为：3.【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题.16、【解析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出【详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）条件选择见解析，，（2）【解析】（1）设数列的首项为，公差为d，选①由求解；选②由求解；选③由求解；则，由，利用数列通项与前n项和公式求解；（2）易知，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解：设数列的首项为，公差为d，选①得，则，选②得，则，选③得，则，所以数列的通项公式为因为，所以当时，，则当时，，则，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以【小问2详解】因为，所以数列的前n项和①②①-②得∴，则18、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得，进而得椭圆方程；（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S、T的坐标，再根据确定的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.【小问1详解】由题意可得：解得：，所以椭圆的方程：【小问2详解】当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，由得，从而，又，得，所以，又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；直线的方程是：，同理点T为·所以，因为，所以，所以∵，∴，综上，所以的范围是19、（1）（2）存在，靠近点D的三等分点.【解析】（1）由题意建立空间直接坐标系，求得的坐标，由求解；（2）假设棱上存在点P，设，求得点p坐标，再求得平面PBE的一个法向量，由平面，得到为平面的一个法向量，然后由求解.【小问1详解】解：因为，所以四边形ABCE是平行四边形，又，所以四边形ABCE是菱形，，又平面与平面垂直，又平面与平面=EB，所以平面，建立如图所示空间直接坐标系：则，所以，则，所以异面直线与所成角的余弦值是；【小问2详解】假设棱上存在点P，使平面与平面的夹角为，设，则，又，设平面PBE的一个法向量为，则，即，则，由平面，则为平面的一个法向量，所以，解得.20、（1）抛物线的焦点或抛物面的焦点（2）答案见解析【解析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.【小问1详解】根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线焦点或抛物面的焦点.【小问2详解】解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，，由抛物线定义知：，当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①，②，又③，由①②③解得，，，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，由，得，所以，从而，