（人教A版）选择性必修二高二上学期期末复习 第二章 直线和圆的方程 题型归纳+随堂检测（基础篇）（解析版）

第页高二上学期期末复习第二章题型归纳题型1直线的倾斜角题型1直线的倾斜角与斜率的求解1．直线l:x=0的倾斜角为（

）A．0B．π2C．π【解题思路】利用倾斜角的定义分析运算即可得解.【解答过程】解：直线l:x=0即为y轴，y轴和x轴垂直，又知倾斜角的范围是0,π∴由定义可知直线l:x=0倾斜角为π22．已知直线l经过A−1,4，B1,2两点，则直线l的斜率为（A．3B．−3C．1D．−1【解题思路】直接代入直线斜率公式即可.【解答过程】因为直线l经过A−1,4，B1,2两点，所以直线l的斜率为3．已知直线l过点A2m,3，B(1)若直线l的倾斜角为45∘，求实数m(2)若直线l的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得.（2）倾斜角为钝角时，斜率小于0，再利用斜率公式可得.【解答过程】（1）由题意得2m−23−−1=（2）由题意得2m−23−−1<0，得m<1，故实数m题型2题型2直线方程的求解1．经过点A1,2，倾斜角为π4的直线的点斜式方程为（A．y−2=x−1B．y=x+1.C．x−y+1=0D．x−y=−1【解题思路】根据题意，由直线得点斜式方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为倾斜角为π4，则斜率k=tanπ则y−2=1x−1，即y−2=x−1.故选：A2．过点A2,3且平行于直线2x+y−5=0的直线方程为（

A．x−2y+4=0B．2x+y−7=0C．x−2y+3=0D．x−2y+5=0【解题思路】由平行关系设出直线方程，再根据过点A2,3【解答过程】∵所求直线与直线2x+y−5=0平行，∴可设所求直线方程为2x+y+c=0(c≠−5)，又过点A2,3，则4+3+c=0，解得c=−7，∴所求直线方程为2x+y−7=03．已知直线l1:2x+y−2=0,l1与x轴，y轴的交点分别为A,B.直线l2(1)求直线l2(2)求线段AB的中垂线方程.【解题思路】（1）根据题意求出点的坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可；（2）求出中点坐标和斜率，利用点斜式方程求解即可.【解答过程】（1）设直线l2的斜率为k2，则k2=tanπ4由直线的点斜式方程y−y0=k化简得x−y−1=0，所以所求的直线方程为x−y−1=0.（2）设线段AB的中垂线斜率为k，线段AB的中点为C，设直线l1的斜率为k由直线l1:2x+y−2=0可得y=−2x+2，则由垂直关系可知，kk1=−1，解得k=12；令x=0由中点坐标公式可知，c1+02,由直线的点斜式方程y−y0=k化简得2x−4y−3=0，即线段AB的中垂线方程是2x−4y+3=0.4．已知直线l过点M2,1，O(1)若l与OM垂直，求直线l的方程：(2)若直线与2x−y+1=0平行，求直线l的方程．【解题思路】（1）根据垂直关系可得直线l斜率，利用直线点斜式可整理得到直线方程；（2）根据平行关系可假设直线方程，代入所过点坐标即可求得结果.【解答过程】（1）∵kOM=1−02−0=1又直线l过点M2,1，∴直线l方程为：y−1=−2x−2，即（2）由题意可设直线l方程为：2x−y+c=0，又直线l过点M2,1，∴4−1+c=0，解得：c=−3∴直线l方程为：2x−y−3=0.题型3题型3直线的交点问题1．若直线l1:ax+y−4=0与直线l2:x−y−2=0的交点位于第一象限，则实数A．−1,2B．−1,+∞C．−∞,2【解题思路】分a=−1和a≠−1讨论，当a≠−1时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得.【解答过程】当a=−1时，l1:x−y+4=0，此时当a≠−1时，解方程组ax+y−4=0x−y−2=0得x=6a+1,y=4−2a即实数a的取值范围为−1,2.故选：A.2．若y=−ax的图象与直线y=−a+x(a<0)有两个不同的交点，则a的取值范围是（

A．−1<a<0B．a<−1C．a<0D．a=−1【解题思路】根据题意，分x≥0与x<0讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果.【解答过程】当x≥0时，由−ax=−a+x可得，−ax=−a+x，当a≠−1时，解得当x<0时，由−ax=−a+x可得，ax=−a+x，由a<0可知，方程的解是又y=−ax的图象与直线y=−a+x(a<0)所以aa+1≥0−aa−1<0，其中a<0题型4题型4距离公式的应用1．已知直线l1:x+ay+2=0，l2:2x+4y+3=0相互平行，则l1A．510B．55C．25【解题思路】根据两直线平行得到关于a的方程，求出a的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【解答过程】因为直线l1:x+ay+2=0，l2:2x+4y+3=0相互平行，所以所以l1:x+2y+2=0，即2x+4y+4=0，所以l1、l2．点D−2,−2到直线l:2x−y+mx−m=0m∈RA．5B．5C．22【解题思路】首先确定直线l所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值.【解答过程】直线l：2x−y+mx−1

令x−1=02x−y=0，x=1y=2，得直线l过定点A1,2，所以直线l表示过定点1,2的直线，如图，当DA⊥l时，DA表示点到直线的距离，当DA不垂直于l时，DB表示点到直线的距离，显然DB<DA，所以点D到直线l距离的最大值为DA=−2−12+3．已知在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A(1)求直线AB方程；(2)求△ABC的面积.【解题思路】（1）根据坐标求出直线斜率，结合点斜式方程求法求解即可；（2）先求出A,B两点间距离，再求出C到直线AB的距离，根据三角形面积公式求解答案即可.【解答过程】（1）由已知得，直线AB斜率存在，为3−−3所以直线AB方程为y−3=−2(x+1) ，整理得直线AB方程为（2）因为A−1,3,B2,−3直线AB方程为2x+y−1=0，C到直线AB的距离d=2×所以△ABC的面积为12题型5题型5圆的方程的求解1．若圆C经过点A2,5，B4,3，且圆心在直线l：3x−y−3=0上，则圆C的方程为（A．x−22+y−3C．x−32+y−6【解题思路】求解AB的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【解答过程】圆C经过点A2,5，B4,3，可得线段AB的中点为3,4，又所以线段AB的中垂线的方程为y−4=x−3，即x−y+1=0，由x−y+1=03x−y−3=0，解得x=2y=3，即C2,3，圆C所以圆C的方程为x−222．已知半径为3的圆C的圆心与点P−2,1关于直线x−y+1=0对称，则圆C的标准方程为（

A．(x+1)2+(y−1)C．x2+(y+1)2=9【解题思路】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解.【解答过程】设圆心坐标Ca,b，由圆心C与点P关于直线y=x+1对称，得到直线CP与y=x+1结合y=x+1的斜率为1，得直线CP的斜率为−1，所以1−b−2−a=−1，化简得再由CP的中点在直线y=x+1上，1+b2=a−2联立①②，可得a=0,b=−1，所以圆心C的坐标为0,−1，所以半径为3的圆C的标准方程为x2+3．已知圆C经过点A1,4,B−1,−2且圆心C(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点F3,0，求线段EF的中点M【解题思路】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；（2）根据题意利用相关点法运算求解.【解答过程】（1）设圆C的标准方程为x−a2+y−b由题意可得2a−b+8=01−a2+所以圆C的标准方程为x+32（2）设Mx,y由F3,0及M为线段EF的中点得x=x1+32又因为点E在圆C：x+32+y−2化简得：x2+y−1题型6直线与圆的位置关系的判定题型6直线与圆的位置关系的判定1．圆C：x2+y2+4x−2y+1=0与直线lA．相切B．相离C．相交D．无法确定【解题思路】由圆心到直线的距离等于半径可判断相切.【解答过程】由x2+y2+4x−2y+1=0得x+22+y−12=4，所以圆C的圆心坐标为−2,1，半径为2，由x4−2．“4−30<a<4+30”是“直线l:2x−y=1与圆C:A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和4−30【解答过程】将C:x2+x2+y所以a>2或a<−2，其圆心为C−a,1因为直线l:2x−y=1与圆C:x故圆心C到直线l的距离d=−2a−1−15>结合a>2或a<−2可得2<a<4+（15<4,∴16<32−415,∴4<30−2,4−30<−2），则4−30<a<4+3．已知直线l:x+y−1=0和圆心为C的圆x2(1)判断直线与圆的位置关系；(2)如果相交，求直线被圆所截得的弦长.【解题思路】（1）代数法：联立方程，根据得到方程解的个数判断位置关系.几何法：由已知得出圆心、半径，根据圆心到直线的距离与半径的关系，即可判断；（2）代数法：根据（1）求出的方程，解出点的坐标，根据两点间的距离公式，即可求出弦长.几何法：根据垂径定理，即可求出答案.【解答过程】（1）解法1:代数方法联立直线l与圆C的方程x+y−1=0x2+y2−2x−4y+1=0，消去所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.解法2:几何法将圆C方程化成标准方程(x−1)2+(y−2)2=4，因此圆心C的坐标为1,2，半径为2，圆心C到直线的距离d=（2）解法1:代数方法设Ax1,y1，Bx2,y2.由（1）可知所以，A(−1,2)，B(1,0).因此AB=解法2:几何法由（1）可知直线l与圆C有两个交点，且圆的半径r=2，圆心C到直线的距离d=2由垂径定理，得AB=24．已知点A−1,2和直线l:6x−4y+1=0.点B是点A关于直线l(1)求点B的坐标；(2)O为坐标原点，且点P满足PO=3PB.若点P的轨迹与直线x+my−1=0【解题思路】（1）设点Bx,y（2）设点Px,y，根据PO=3PB求得P点轨迹方程，根据点【解答过程】（1）设点Bx,y，由题意知线段AB的中点Mx−12故：6x−12−4y+22+1=0，①又∵直线联立①②式解得：x=2y=0，故点B的坐标为2,0（2）设点Px,y，由题PO=3故x2+y又∵直线x+my−1=0与圆(x−3)2故3−1m2+1题型7题型7直线与部分圆的相交问题1．若直线y=kx−1与曲线y=−x2+4x−3恰有两个公共点，则实数A．43,+∞B．1,43【解题思路】根据题意得：y=kx−1为恒过定点A(0,−1)的直线，曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的上半圆，由此利用数形结合思想能求出k的取值范围．【解答过程】根据题意得y=kx−1为恒过定点A(0,−1)的直线，由曲线y=−x2+4x−3，可得(x−2)2

当直线与圆C相切时，有2k−1k2+1=1，解得k=0（舍去）或k=43，把B(1,0)代入y=kx−1得k−1=0，解得k=1，因为直线y=kx−1与曲线y=−2．已知曲线C:y=m2+1−x2−1(y≥0)，若存在斜率为−2的直线与曲线A．(−1,1)B．(−2,2)C．(−∞,−1)∪(1,+∞【解题思路】数形结合，分析CB斜率可得.【解答过程】由y=m2+1−x2记右侧交点为B(|m|,0)，则当kCB<12时，存在斜率为−2的直线与曲线C相切，且切点在第一象限，故此时存在斜率为−2的直线与曲线C有两个交点.故13．已知直线y=x+m和曲线y=1−x2【解题思路】易得曲线y=1−x2表示圆x2+【解答过程】曲线y=1−x2表示圆x2+当直线y=x+m与半圆相切时，m>0，此时m1+1=1，解得m=2当直线y=x+m过点−1,0时，m=1，由图可知，m∈1,4．已知曲线C:y=1+4−x2(1)试探究曲线C的形状；(2)若直线l与曲线C有两个公共点，求k的取值范围．【解题思路】（1）先求出x,y的取值范围，再对y=1+4−（2）由题意可得直线l恒过定点A(2,4)，然后画出图形，结合图形求解即可.【解答过程】（1）由4−x2≥0，得−2≤x≤2由y=1+4−x2，得x2+所以曲线C是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，如图所示．

（2）直线l:y=k(x−2)+4恒过定点A(2,4)，当直线l与半圆相切，D为切点时，圆心到直线l的距离d=r，

所以3−2kk2+1=2，解得k=512．当直线l过点则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为512题型8题型8圆与圆的位置关系的判定及应用1．已知圆C1:(x−1)2+y2=1，圆A．相离B．相交C．外切D．内切【解题思路】确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径的关系判断位置关系即可.【解答过程】圆C1的圆心C11,0与圆C2的圆心C24,0，所以两圆的圆心距为3，又圆C1的半径为1，圆C2的半径为2，且圆心距等于圆2．已知圆C1：x−12+y+22=r2r>0A．0,1B．1,5C．1,9D．5,9【解题思路】根据题意得到r−4≤【解答过程】由题知：C11,−2，r1=r，C2因为C1和C2有公共点，所以r−4≤C3．已知圆C:x(1)若直线l:y=x−m与圆C相切，求实数m的值．(2)若圆C与圆M:x2+y【解题思路】（1）求出圆C的圆心和半径，再利用点到直线距离公式，列式求解作答.（2）求出圆M的圆心和半径，再结合两圆外切列出方程，求解作答.【解答过程】（1）圆C:(x+1)2+(y+2)2=5−m，则有因为直线l:x−y−m=0与圆C相切，则有|−1−(−2)−m|12+(−1)2所以实数m的值−3或3.（2）圆M:(x−2)2+(y−2)2=16因为圆C与圆M外切，则有|MC|=r+r′，由（1）得5−m+4=所以实数m的值为4.4．已知圆C1:(x−1)2+(1)求圆心C1到直线l(2)已知直线l与圆C1交于M，N两点，求弦MN(3)判断圆C1与圆C【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式求得正确答案.（2）根据弦长公式求得正确答案.（3）根据圆心距与两圆半径的关系确定两圆的位置关系.【解答过程】（1）圆C1的圆心为C11,2圆C2的方程可化为x+22+y+22所以圆心C1到直线l的距离为d=（2）MN=2（3）C1题型9题型9圆系方程及其应用1．求过两圆x2+y2−2y−4=0和xA．x2+yC．x2+y【解题思路】先计算出两圆的交点A,B所在直线，进而求出线段AB的垂直平分线，与2x+4y−1=0联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.【解答过程】x2+y2−2y−4=0将y=x−1代入x2+y2−4x+2y=0设两圆x2+y2−2y−4=0则x=1±62，x1+x所以线段AB的中点坐标为x1+x22,y1+y=−x+1与2x+4y−1=0联立得：x=32,y=−12，故圆心坐标为3整理得：x2+2．已知圆M的圆心为−1,−2，且经过圆Q：x2+y2+6x−4=0与圆O2：A．5πB．25πC．10π【解题思路】联立圆Q与圆O2的方程，解得两交点坐标，即可求得圆M【解答过程】解：联立x2+y2+6x−4=0所以圆M的半径为：−1+12+3+22=53．已知圆C1：x(1)求证：圆C1与圆C(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y−6=0上的圆的方程．【解题思路】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为P6−n,n，根据AP=BP【解答过程】（1）证明：圆C2：x2+∴C2∵圆C1:x2+y2∵4−10<2（2）解：由圆C1:x将两圆方程相减，可得2x+2y−4=0，即两圆公共弦所在直线的方程为x+y−2=0；（3）解：由x2+y则交点为A3,−1，B∵圆心在直线x+y−6=0上，设圆心为P6−n,n则AP=BP，即6−n−32故圆心P3,3，半径r=AP=4，∴题型10题型10两圆的公共弦问题1．已知圆C1:x2+y2A．62B．32C．6【解题思路】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【解答过程】联立x2+y得(m−1)x+y−1=0，由题得两圆公共弦长l=2，圆C1:x2+y2圆心(1,−1)到直线(m−1)x+y−1=0的距离为(m−1)×1+1×(−1)−1(m−1)所以m−3m2−2m+2所以m=62或2．圆O1:x2+y2A．公共弦AB所在直线方程为x−2y+1=0B．公共弦AB的长为64C．线段AB中垂线方程为2x−y=0D．∠A【解题思路】对于A，联立两圆方程即可得公共弦AB所在直线方程；对于B，由弦长公式计算即可；对于C，由题意可知线段AB中垂线为直线O1O2对于D，求出A,B坐标，计算出O2【解答过程】解：对于A，联立两圆方程得x2+y即公共弦AB所在直线方程为x−2y+2=0，故错误；对于B，设O1(0,0)到直线AB：x−2y+2=0的距离为d，则有则弦长公式得：|AB|=24−对于C，由题意可知线段AB中垂线为直线O1O2，又因为O所以直线O1O2对于D，由x2+y2+2x−4y=0x−2y+2=0，解得所以O2A=(−1,−2),O23．已知两圆C1:x(1)m取何值时两圆外切？(2)当m=2时，求两圆的公共弦所在直线l的方程和公共弦的长．【解题思路】（1）两圆相外切，则两圆圆心距为两圆半径之和，据此可得答案；（2）将两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，后可得弦长所在直线与圆C1【解答过程】（1）因为圆C1的标准方程为x所以两圆的圆心分别为0,2，2,0，半径分别为2，m.当两圆外切时，圆心距为半径之和，则(0−2)2+(2−0)2=2+m（2）当m=2时，圆C2的一般方程为x2+所以两圆的公共弦所在直线l的方程为x−y=0圆C1圆心0,2到l的距离为故两圆的公共弦的长为224．已知圆C1：x2+y2(1)求公共弦AB所在直线的方程.(2)求△ABC【解题思路】（1）将两圆的方程相减即可得到公共弦AB所在直线的方程；（2）利用垂径定理构造直角三角形，再利用点到直线的距离公式求出C2O，勾股定理求出【解答过程】（1）因为C1：x2+y2−2x=0，C2：x2+（2）如图，取AB中点O，连接AB，AC2，BC根据圆的性质可得C2圆C2x2+y2−6x−4y+4=0可整理为点C2到直线AB的距离d=3+2−112+12第二章《直线和圆的方程》综合检测卷（基础卷）1．已知A（﹣2，﹣1），B（2，5），则|AB|等于（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用两点间距离公式求解即可.【详解】因为A（﹣2，﹣1），B（2，5），所以|AB|.故选：D.2．圆心为，且与x轴相切的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件得出圆的半径，然后可得答案.【详解】因为圆心为，且与x轴相切，所以此圆的半径为，所以圆的方程为，故选：B3．已知直线与平行，则的值是（

）A．1 B．2或5 C．5 D．1或2【答案】B【分析】讨论，结合两直线的位置关系求值，注意验证所求的值保证两线平行而不能出现重合的情况.【详解】由平行条件可知，当时，，解得；当时，解得，此时，两条直线也平行；所以或.故选：B.4．两直线与平行，则它们之间的距离为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】先根据直线平行求得，再根据平行线间的距离公式求解即可.【详解】因为直线与平行，故，解得.故直线与间的距离为.故选：C5．直线与圆没有公共点，则a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由圆心到直线的距离大于半径求解．【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为，所以，由于，平方整理得，，所以．故选：A．6．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为______．【答案】【分析】根据题意结合图像，求