（人教A版）选择性必修二高二上学期期末复习 第三章 圆锥曲线的方程 题型归纳+随堂检测（基础篇）（解析版）

第页高二上学期期末复习第三章题型归纳（基础篇）题型1利用题型1利用椭圆的定义解题1．如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点FA．4B．14C．12D．8【解题思路】根据椭圆标准方程确定a，再结合椭圆的定义可得答案.【解答过程】椭圆x2100+y236=1中a2=100,b2=36，所以a=10,b=6由椭圆的定义可得2．如果椭圆x281+y225=1上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是A．6B．10C．8D．12【解题思路】由椭圆定义可得MF【解答过程】如图，连接ON，MF1，

由椭圆方程可得：a2=81，则a=9，由椭圆定义可得MF1+MF2=2a=18，所以MF2=18−M3．已知点P在焦点为F1,F2的椭圆x2【解题思路】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义可求得结果.【解答过程】

由椭圆方程知：a=35，b=25，∴c=a2−b2=5，∵∠F题型2题型2椭圆的标准方程的求解1．已知椭圆C：x2a2+y2bA．x216+y215=1B．【解题思路】由题设可得{2a=4【解答过程】由题设，知：{2a=42c=2，可得{a=2c=1，则b22．已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点0,1在椭圆上，右焦点为A．x24+y2=1B．x【解题思路】根据椭圆的性质可得a,b，则椭圆方程可求.【解答过程】由点0,1在椭圆上得b=1，由椭圆的对称性可得AF+BF=2a=4故椭圆方程为x23．椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2【解题思路】根据椭圆的定义可得a=2，进而根据垂直关系可得PF12+P【解答过程】由椭圆的定义得2a=PF1因为PQ⊥PF1，所以有PF即有2+22+2−2故所求椭圆的标准方程为x2题型3题型3求椭圆的离心率或其取值范围1．已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线l依次交x轴、椭圆Γ、y轴于点A．12B．33C．22【解题思路】根据题意分析可知：AB的中点即为弦PQ的中点，利用点差法运算求解.【解答过程】设直线l：y=12x+m设AB的中点为M，连接OM，则AM=BM，因为AP=QB，则PM=QM，即设Px1,y1可得x12a2+y1即12×−12=−b

2．点A为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>1)的右顶点，P为椭圆C上一点（不与A．12,1B．22,1C．【解题思路】设Px,y0<x<a，由PO⋅PA=0，得到x【解答过程】解：设Px,y0<x<a，又O0,0,Aa,0，且PO⋅PA=0，则x2+y2−ax=0即ca>22题型4题型4利用双曲线的定义解题1．如果双曲线x24−y212=1上一点PA．4B．12C．4或12D．不确定【解题思路】根据双曲线的定义即可求得答案.【解答过程】设双曲线x24−y212=1由双曲线定义可得||PF1|−|PF2||=2a=4，即||PF故点P到它的左焦点的距离是4或12，故选：C.2．已知双曲线C:x2−y2m2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与CA．6B．8C．10D．12【解题思路】结合双曲线的定义来解决即可.【解答过程】双曲线x2−y由双曲线的定义，可得AF1−AF2=2a=2,B3．已知双曲线x26−y23=1的焦点为F1，F2【解题思路】根据双曲线的定义以及焦点三角形中利用等面积法求解即可.【解答过程】

由题可得，a2=6,b设M(−3,yM)，则96−y根据双曲线的定义可得，MF2−MF1=2a=26，解得在直角三角形MF1F2中，4．如图，双曲线C:x29−y216=1的左、右焦点分别为F1，F

【解题思路】过点F2作PF1【解答过程】如图，

由C:x29−y216∴  |PF1|=2a+|PF2|=6+10=16，过点∴   |  AF题型5题型5双曲线的标准方程的求解1．设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（

）A．x29−y255=1B．【解题思路】根据题意列式求解a,b,c，即可得结果.【解答过程】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2由题意可得c2=a2+2．已知双曲线x2a2−yA．x24−y25=1B．【解题思路】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴长，利用双曲线的离心率得到c与b的值，从而得到双曲线方程．【解答过程】抛物线y2=8x焦点（2，0），可得双曲线的实半轴的长a=2，双曲线x2a2−y2b题型6题型6求双曲线的离心率的值或取值范围1．若双曲线x2a2A．5B．3C．2D．2【解题思路】利用点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离为b，由b=2a计算可得离心率为5.【解答过程】根据题意不妨取焦点F2c,0，渐近线方程为

可得焦点到渐近线的距离为bca2+b2=2．已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若A．2B．3C．2D．3【解题思路】因为OQ//PF1，O是F1F2的中点，所以Q为PF2的中点．又QF2⊥OP，F2到渐近线y=ba【解答过程】根据对称性不妨设P为第一象限的点，∵O为F1F2的中点，又OQ//PF1，∴Q为PF又F2（c，0）到y=bax的距离d=bca2+b2=b，∴|

连接QF1，所以QF1=QF2+2a=b2+2a，又|F1F2∴QF2的斜率为−ab，∴tan∠QF2F1=abc=4c2+b4−b23．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过F的直线(1)求双曲线C的离心率e；(2)当l倾斜角为π4时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求MN【解题思路】（1）根据题意可得：2b2a（2）结合（1）的结论可得双曲线C的方程为3x2−y2联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式可得MN的垂直平分线的方程为y+3a=−x+a，进而得到P的坐标为−4a,0，计算可得PF=6a，【解答过程】（1）根据题意2b2a=6a．所以b2（2）由（1）知F2a,0，双曲线C的方程为3x2−y联立方程组3x2−y2=3a2x=y+2a则y1+y2=−6a，y1yMN的垂直平分线的方程为y+3a=−x+a，所以P的坐标为−4a,0，所以PF又MN=1+1题型7题型7利用抛物线的定义解题1．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在抛物线C上，若M到直线x=−3的距离为7，则MFA．4B．5C．6D．7【解题思路】根据题意转化为点M到准线x=−1的距离为5，结合抛物线的定义，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)

因为点M在C上，且M到直线x=−3的距离为7，可得M到直线x=−1的距离为7−2=5，即点M到准线的距离为5，根据抛物线的定义，可得点M2．已知点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=−2的距离，(1)求点P的轨迹方程;(2)若A(2,2)，求△PAF周长的最小值.【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解；（2）根据抛物线的定义可将问题转化成PA+【解答过程】（1）由题意知动点P到F(2,0)的距离与它到直线x=−2的距离相等，所以动点P的轨迹为以F(2,0)为焦点、以直线x=−2为准线的抛物线，因此动点P的轨迹方程为y2（2）由题意知，焦点为F2,0,FA=02+设点P在抛物线的准线上的射影为N′，根据抛物线的定义，可知P因此PA+PF的最小值即PA+PN′的最小值.根据平面几何的知识可得，当N′，P，A三点共线时，即可A作AN⊥准线于N3．已知Ax0,y0y0(1)求E的标准方程；(2)F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B，AF=5，求AF【解题思路】（1）将点(9,6)代入抛物线方程求解作答.（2）设出直线AF的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义结合韦达定理求出点B的横坐标作答.【解答过程】（1）依题意，抛物线E:y2=2px过点(9,6)，则6所以E的标准方程为y2（2）由（1）知，抛物线E的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，

显然直线AF不垂直于y轴且斜率不为0，设直线AF的方程为：x=ty+1，点A(x由x=ty+1y2=4x消去x并整理得：y2−4ty−4=0而AF=x1+1=5，解得x1=4，于是题型8题型8求抛物线的标准方程1．已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（

）A．x2=2yB．x2=2y或x2=−2yC．【解题思路】利用抛物线的定义及标准方程计算即可.【解答过程】由题意可知该抛物线的焦点坐标为0,1或0,−1，所以其对应标准方程为为x22．设点F是抛物线y2=2pxp>0的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若AB=2，A．y2=xB．y2=2xC．【解题思路】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解.【解答过程】解：由题意得：AB=2，BC=23，可得∠CAB=60°，由抛物线的定义得AB=AF所以△ABF是等边三角形，所以p=123．已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C上的点P满足PF=6，求P【解题思路】（1）求出双曲线E的右焦点坐标，可求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程；（2）设点Px0,y0，由抛物线的定义求出x0的值，代入抛物线【解答过程】（1）由双曲线方程x23−y2所以c2=a2+b2=4，解得c=2.则曲线因此，抛物线C的标准方程为y2（2）设Px0,y0代入抛物线方程可得y02=8×4=32，解得y0=±42，所以题型9题型9判断直线与圆锥曲线的位置关系1．直线y=2x−1与椭圆x29+A．相交B．相切C．相离D．不确定【解题思路】根据直线恒过0,−1，且0,−1在椭圆内可直接得到结论.【解答过程】∵029∵y=2x−1恒过点0,−1，∴直线y=2x−1与椭圆x22．抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，AA．相交B．相切C．相离D．以上都有可能【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入y2=2px，可得【解答过程】设A−p2,a，Fp2,0，则AF的中点坐标为0,a2，kAF∴Δ=4a2−4题型10题型10直线与圆锥曲线的实际应用1．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点F2处，灯丝与反射镜的顶点A的距离F2A=2cm，过焦点F2且垂直于轴的弦A．10cmB．8cmC．6cm【解题思路】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中a,b,c三者的关系及焦距的定义即可求解.【解答过程】由题设知a−c=22b2a=6.4故选：C.2．北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为1003cm，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（A．2B．135C．74【解题思路】建立双曲线标准方程下的直角坐标系，得双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，利用实轴长为20，A(503【解答过程】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在x轴，如图，双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则2a=20，a=10，A(由25009×100−y12b2=12524×100−y22b2=1，即第三章《圆锥曲线的方程》综合检测卷（基础卷）1．已知椭圆过点，则其焦距为（

）A．8 B．12 C． D．【答案】D【分析】将点坐标代入椭圆方程求得，然后利用得到，即可得到焦距.【详解】将点代入椭圆方程得，解得，又，所以，焦距为.故选：D.2．已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（

）A．1或21 B．14或36 C．2 D．21【答案】D【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离范围进行求解即可.【详解】解：由双曲线方程得由双曲线的定义得：，又，解得：或又点P在该双曲线上时要满足：或者所以.故选：D.3．双曲线方程为,,为其左､右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点和点，满足，,则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义和勾股定理建立a与c方程，即可求得离心率.【详解】如图由题，设，则，设，则因为A、B都在双曲线上，所以即，解得，又，所以，则离心率.故选：C.4．在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】D【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解.【详解】解：由题意得：F为ABC的重心故设点A，B，C的坐标分别为，，抛物线，F为其焦点故选：D5．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且,曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根据.可得，可得，设，.可得，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出.【详解】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.∵椭圆的上顶点为，且.∴，∴，∴.∴.不妨设点在第一象限，设，.∴，.∴.在中，由余弦定理可得：∴.两边同除以，得，解得：.∴,.故选：B6．设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为___________.【答案】【分析】由可求得坐标，由垂直关系可得，由此可