（人教A版）选择性必修二高二上学期期末复习 第一章 空间向量 题型归纳+随堂检测（基础篇）（解析版）

第页高二上学期期末复习第一章题型归纳题型1空间向量的线性运算题型1空间向量的线性运算1．求a+2b−3A．2a+32b−2cB．【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.【解答过程】原式=a+3×22．空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则AB+12BC+

A．ADB．GAC．AGD．MG【解题思路】利用数形结合思想和空间向量加法法则化简即可．【解答过程】∵M，G分别是BC，CD的中点，∴12BC=∴AB+13．化简下列算式：(1)32a−b−4【解题思路】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.【解答过程】（1）32（2）OA−题型2题型2空间向量数量积的计算1．如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.则BC⋅BD=

A．32B．52C．92【解题思路】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解.【解答过程】BC==3×2×22．如图，在底面为矩形的四棱锥E-ABCD中，AE⊥底面ABCD，AE=AB，G为棱BE的中点.(1)证明：AG⊥平面BCE.(2)若AB=4，AD=6，ED=3EF，求【解题思路】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ABE，从而得到BC⊥AG，利用等腰三角形的中线性质得到AG⊥BE，然后利用线面垂直的判定定理证明AG⊥平面BCE；（2）以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出AG,【解答过程】（1）证明：因为AE⊥底面ABCD，所以AE⊥BC，又AB⊥BC，AB∩AE=A，AB,AE⊂平面ABE，所以BC⊥平面ABE，则BC⊥AG.因为G为棱BE的中点，AE=AB，所以AG⊥BE，又BC∩BE=B，BC,BE⊂平面BCE.所以AG⊥平面BCE.（2）以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A0,0,0，C4,6,0，G2,0,2因为AG=2,0,2，CF=题型3题型3用空间基底表示向量1．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P−ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且PE=3EC，若AB=a,AD

A．38a+38b−34【解题思路】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可.【解答过程】因为PE=3EC，所以因为AC=AB+AD=所以DE=2．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P为ADA．12a+b+12c【解题思路】根据空间向量的加法，减法，数乘向量运算的定义求解即可.【解答过程】CP=故选：C.3．如图所示，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=a，AD=b，AA′=

(1)AP；(2)AM；(3)AN.【解题思路】（1）（2）（3）连接AC，AD′，AC′，根据在平行六面体中各向量对应线段与AB，AD，AA′对应线段位置关系，用【解答过程】（1）连接AC，AD′，

AP=（2）AM=（3）AN=题型4题型4由空间向量基本定理求参数1．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是BB1和A1C1A．−1,12,12B．−1,1【解题思路】根据题意用空间基底向量表示向量，结合空间向量的线性运算求解.【解答过程】由题意可得：MN=故x=−1,y=12．已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23A．−1B．1C．−12【解题思路】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.【解答过程】

因为PM=12PC=2因为MN=xAB+yAD+zAP，所以x=−123．如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在(1)求证：A，E，C1，F(2)若EF=xAB+y【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明；（2）把AB,【解答过程】（1）证明：∵=AB+13AA1+AD（2）∵EF∴x=−1，y=1，z=题型5题型5空间向量运算的坐标表示1．已知空间向量a=2,−1,2,b=A．4,−2,4B．2,−1,2C．3,0,3D．1,−2,1【解题思路】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.【解答过程】2a−2．若点A1,2,3，点B4,−1,0，且AC=2CB，则点A．3,0,1B．2,1,2C．32,−3【解题思路】设Cx,y,z，根据AC【解答过程】设Cx,y,z，则AC因为AC=2CB，所以x−1=24−xy−2=2−1−yz−3=2−z3．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD−A′B′C′D(1)向量AC′，BD(2)AC′+2【解题思路】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.【解答过程】（1）由已知A0,0,0则AC′=1,2,3（2）ACAC题型6题型6空间向量数量积运算的坐标表示1．若a=2,3,2,b=A．−1B．0C．1D．2【解题思路】直接利用数量积的坐标运算即可求得.【解答过程】因为a=2,3,2,b2．已知向量a=(1,1,x)，b=(−2,2,3)，若(2a−bA．−3B．3C．−1D．6【解题思路】根据空间向量的坐标运算可得2a【解答过程】由题意知，2a−b=(4,0,2x−3)由解得x=3.故选：B.3．已知向量a，b，c满足2a+b=0,−5,10，c【解题思路】将b=0,−5,10−2【解答过程】由已知b⃑4．已知向量a→=4,2,−4，b(1)2a→−3b→；(2)a【解题思路】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解，（2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解，【解答过程】（1）由a→=4,2,−4得2a（2）a→（3）a⋅题型7题型7利用空间向量证明线、面间的平行关系1．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1，当A．1B．2C．3D．5【解题思路】根据题意可知，以A点为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用共线定理和线面平行的向量解法可确定实数【解答过程】如下图所示：以A点为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；设则A1(0,0,1),B(2,0,0),C(2,2,0),即A1C=(2,2,−1)，A1即x=2λ,y=2设平面BDC1的一个法向量为m=(所以m·BC1=2y1+z1=0m·BD=−2x1+22．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若

求证：(1)BO1//D1O2；(2)BO1【解题思路】（1）以D为坐标原点，DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、（2）求出平面ACD1的法向量n，及直线的方向向量BO1，从而得到（3）可以利用A1C1//平面ACD【解答过程】（1）以D为坐标原点，DA,DC,DD1的方向分别为

依题意知：B(1,1,0)，O1(12,∴BO1=(−12,−12,1)（2）设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z)∵A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1=(0,0,1)，∴AC=(−1,1,0)由n⋅AC=0n⋅AD1=0可得，−x+y=0又BO1=(−12又BO1⊄平面ACD1（3）证法一

∵A1(1,0,1),C1(0,1,1)∴A1C1又AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面又由（2）知BO1//平面AC且A1C1⊂平面BA1C1，证法二

设平面BA1则u⋅A1C1=0u⋅BO1由（2）知平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1)，∴n=u∴平面ACD1//题型8题型8利用空间向量证明线、面间的垂直关系1．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D①平面EFC1⊥平面AA1C1

②MP⊥AA．①②B．①②④C．②③④D．①④【解题思路】对于①，根据题意得A1C1⊥B1D1，B1D1//BD，AA1⊥平面ABCD，得A1C1⊥BD,AA1【解答过程】由题知，在正方体ABCD−A1B1C如图，连接A1C1,B1D1,AC1因为A1C1∩AA1=因为在△BCD中，E,F分别为CD,BC中点，所以EF//BD，所以EF⊥平面AA因为EF⊂平面EFC1所以平面EFC由题知，D1A1⊥D1C1⊥因为E,F,M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，所以M(2,0,1),P(1,1,0),A所以MP=(−1,1,−1),因为MP·所以MP⊥A1D又由①中得，B1D1//BD，因为EF⊄平面AD1B1，B1D1⊂2．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，PA=2．

(1)求证：AE⊥PD；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．【解题思路】（1）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明AE⊥PD．（2）运用线面垂直的性质定理可证得PA⊥BD，进而运用线面垂直的判定定理可证得BD⊥平面PAC，进而可证得面面垂直.【解答过程】（1）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，所以AE=(1,1,1)，PD所以AE⋅PD=2−2=0（2）连接BD，AC，如图所示，

因为PA⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以PA⊥BD，又因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又因为AC∩AP=A，AC、AP⊂面PAC，所以BD⊥面PAC，又因为BD⊂面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（基础卷）1．已知正四面体的棱长为1，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量减法的三角形法则和向量的数量积的定义和正四面体的定义即可求解.【详解】因为，所以.根据向量的减法法则，得，所以.故选：C.2．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不对【答案】C【分析】根据空间向量垂直平行的性质判断即可【详解】由题，因为，故，又，故故选：C3．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B4．如图，空间四边形中，，，，点，分别在，上，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据空间向量线性运算法则用，，表示出，再根据数量积的运算律计算可得.【详解】解：，，．又，，，所以，，，所以，所以.故选：A．5．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直【答案】C【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，再计算可得即可得直线，异面垂直.【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，.∴，，∴，∴直线，异面垂直.故选：C6．已知是直线l的方向向量，是平面a的法向量．若，则_________．【答案】【分析】根据线面垂直的性质，结合法向量的性质可得，进而求得再求解即可【详解】∵，∴，∴，故，解得，∴．故答案为：7．已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.【答案】【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】由题可得，又是平面的一个法向量，∴则点P到平面的距离为.故答案为：.8．设，，且.记.(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值；(2)若，，，向量与、都垂直，且，求的坐标.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）由向量的夹角公式计算即可.（2）由向量的模长公式以及数量积公式直接计算即可得到答案.【详解】(1)y轴正方向的单位向量，，.(2)若，，，，，即，设.由已知得解得或即或.9．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距离．【分析】（1）连接，，连接，即可得到，从而得证；（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【详解】(1)证明：连接，，连接，在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，平面，平面．平面．(2)解：，，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则