（人教A版）选择性必修二高二数学上学期期末检测AB卷（提高篇）（解析版）

第页高二上学期期末数学试卷A（提高篇）1．在正三棱锥P−ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB=2，则PO⋅PA+A．109 B．263 C．8【解题思路】将PA转化为PO+OA，PB转化为PO+OB，由三棱锥是正三棱锥可知PO⊥AO，PO⊥BO，即可将PO⋅PA转化为【解答过程】∵P−ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，AO、BO⊂平面ABC，∴PO⊥AO，PO⊥BO，△ABC是等边三角形，∴PO⋅OA=0故PO⋅PO⋅则PO⋅

2．已知fx是可导函数，且f′x<fxA．f(1)<ef(0)，f(2023)>e2023f(0)C．f(1)>ef(0)，f(2023)<e2023f(0)【解题思路】构造函数g(x)=f(x)【解答过程】设g(x)=f(x)ex，则g′(x)=f′(x)−f(x)ex，由已知f′x<fx得3．已知等比数列an的公比为−13，其前n项和为Sn，且a1，a2+43，a3A．2 B．76 C．103 【解题思路】由已知可求得Sn=32−32⋅−13n，n为奇数时，Sn=32+3【解答过程】等比数列an的公比为−13，因为a1，a2+43所以Sn当n为奇数时，Sn=32+32当n为偶数时，Sn=32−32所以Sn的最大值与最小值分别为2，4函数y=t−2t在0，B≥Sn−2S4．如图，已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线C

①若a2+3m②若|PF1|⋅|P③△F1P④若∠F1PF2A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解题思路】对于①，由椭圆和双曲线的定义结合a2+3m2=4c2得到b=3n，①正确；对于②，由椭圆定义和双曲线定义结合|PF1|⋅|PF2|【解答过程】①∵a2−a2+3m2=②∵P在第一象限，且|PF1|(|PF1|③设椭圆的焦距为2c，∠F1PF2=θ，解得|PF1∵c2=a2cosθ=|PFS△④设椭圆的焦距为2c，则|PF1|+ |PF在△F1P整理得4c2=e1当且仅当e25．（多选）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC

A．OEB．SC．异面直线OD1与EFD．点F到直线OD1【解题思路】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；【解答过程】故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.

B1,1,0,O12,12OE⋅OF⋅OE=0,根据三角函数两角正余弦关系解得：sinS△FOEOD1⋅EF=点F到直线OD1的距离为：OFsinOF,OD6．若对于圆C:x2+y2−2x−2y−2=0上任意的点A，直线l:4x+3y+8=0上总存在不同两点M，N，使得∠MAN≥90°，则【解题思路】将问题转化为直线l:4x+3y+8=0上任意两点为直径的圆包含圆C，结合直线上与圆C最近的点，与圆上点距离的范围，即可确定MN的最小值.【解答过程】由题设圆C:(x−1)2+(y−1)2所以C到l:4x+3y+8=0的距离d=|4+3+8|故圆C上点到直线l:4x+3y+8=0的距离范围为[1,5]，圆C上任意的点A，直线l:4x+3y+8=0上总存在不同两点M、N，使∠MAN≥90°，即以MN为直径的圆包含圆C，至少要保证直线上与圆C最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C，所以MN≥10.故答案为：107．已知函数fx=13x3−x2−x+ex−1e【解题思路】利用基本不等式判断出f′x>0，则fx在R上递增，求得f′【解答过程】由题可知f′两处等号不能同时取到，所以f′x>0，ff′x+2x−1=x2+ex+1ex−2≥8.已知圆M：x−22+y(1)若t=0，求以P为圆心且与圆M相切的圆的方程；(2)若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为23，且与y轴分别交于点S、T，ST=3【解题思路】（1）由题意，可设圆P的方程为x+12+y2=r2，判断出点P在圆外，则圆P（2）先排除过点P与x轴垂直的情况，从而设过点P的直线方程为y−t=kx+1，再根据圆的弦长公式建立方程并化简可得8k2+6tk+t【解答过程】（1）当t=0时，P−1,0，设圆P的方程为x+1因为−1−22+0所以圆P与圆M外切或内切，又M2,0，圆M的半径为2当两圆外切时：PM=2+r=2−−1当两圆内切时：PM=r−2=2−−1所以以P为圆心且与圆M相切的圆的方程为x+12+y（2）若过点P−1,t的直线与x轴垂直时，直线方程为x圆心M到直线x=−1设过点P的直线方程为y−t=kx+1，即kx−y+k+t=0，由题意得，3k+t化简得8k2+6tk+t2−1=0，设直线则k1+k对过点P的直线y−t=kx+1，令x=0，得y=k+t，∴S∴ST=k1−9．已知数列an是公差为1的等差数列，且a1+a2(1)求an和b(2)令dn=b(3)记cn=1a2n−1a2n+3,n=2k−1(2【解题思路】（1）结合等差数列与等比数列的通项公式及题目条件，用基本量表达条件中的式子，即可求得两数列的首项与公差公比，代入通项公式即可；（2）根据第一问写出dn（3）将前2n项和分成奇数项之和加上偶数项之和，分别求解奇数项和偶数项再相加即可.【解答过程】（1）∵数列an是公差为1的等差数列，且a∴a1+(a1+1)=∴数列an的通项公式为：a数列bn是等比数列，且b设数列bn的公比为q∴b1⋅(b1q)=∴数列bn的通项公式为：b（2）由（1）知bn∴dn∴d=2(1∵n∈N∗，∴12n+1∴d（3）由（1）可知an∴cn∴S2n令An=c∴A=1Bn∴22∴−3=−=−=−4+4×4(∴Bn=12n−7∴数列cn的前2n项和S10．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面ACC1A1为菱形，点(1)求点C到侧面ABB(2)在线段A1B1上是否存在点E，使得直线DE与侧面ABB1【解题思路】（1）先由题意证得DB，DC，A1D两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再求出AC与平面（2）假设存在满足条件的点E，且A1E=λ⋅A1B1，从而得到DE【解答过程】（1）因为点A1在底面ABC上的投影为AC的中点D，所以A1D⊥又AC,BD⊂平面ABC，故A1D⊥AC，因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，点D为AC的中点，故AC⊥BD，所以DB，DC，A1D两两垂直，故以点D为坐标原点，直线DB，DC，A1D分别为x，.因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB=2，所以AC=22，DB=DA=DC=因为侧面AA1C又A1D⊥AC，所以则D(0,0,0)，A(0,−2,0)，B(2,0,0)，则AB=2,2,0设平面AA1B1B取z=1，则x=3,y=−3所以点C到平面AA1B（2）假设存在满足条件的点E，则存在λ∈[0,1]，使得A1则DE=因为直线DE与侧面AA1B所以67=cosDE,又λ∈[0,1]，故λ=12，因此存在满足条件的点E，且A111．已知函数f(x)=ln(1)若f(x)在区间(0,a)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：x1【解题思路】（1）利用多次求导的方法或分离参数法，结合导数求得a的取值范围.（2）（ⅰ）利用多次求导的方法，结合对a进行分类讨论，由此来求得a的取值范围.（ⅱ）转化要证明的不等式，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.【解答过程】（1）法一：f′(x)=若函数f(x)在(0, a)上单调递减，则f′即1−ax−lnx≤0对任意x∈(0,a)恒成立，令因为φ′(x)=ax2−所以φ(x)<φ(a)=−lna≤0，

所以法二：f′(x)=1x⋅x−a−lnx即1−ax−lnx≤0对任意x∈(0,a)恒成立，所以令g(x)=x−xlnx，x∈(0, a)，则g′(x)=−ln①当0<a≤1时，g(x)在(0,a)上单调递增，所以a≥g(a)，可得a≥a−alna，解得a≥1，所以②当a>1时，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,a)上单调递减，所以gmax(x)=g(1)=1，所以a≥1，所以综上，a≥1.（2）（ⅰ）f′(x)=1−ax−lnx(x−a)则x1，x2为h(x)的两个变号零点，①当a≤0时，h′(x)≤0，h(x)在(0,+∞②当a>0时，可得h(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞若h(x)存在两个变号零点，则h(a)>0，解得0<a<1，又h(a22当0<a<1时，m′(a)=2a2所以h(a又h(e)=1−ae−1=−（ⅱ）不妨设x1<x2，则x1∈(0, 因为2a−x1>a，x2>a，h(x)又因为h(x1)=h(x2)，即证k′(x)=h所以k(x)在(0, a)上单调递增，所以k(x)<k(a)=0，因为x1∈(0,a)，所以综上，x1高二上学期期末数学试卷B（提高篇）1．已知直线，则下列结论正确的个数是（

）①直线的截距为

②向量是直线的一个法向量③过点与直线平行的直线方程为④若直线，则A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为，代入点即可判断③，由直线垂直可判断④.【详解】对于①,令,则;令,则,故①错误;对于②,因为直线的方向向量为或,则,所以向量是直线的一个法向量,故②正确;对于③,设与直线平行的直线方程为,因为直线过点,所以,所以过点与直线平行的直线方程为,故③正确;对于④,直线,直线,则,所以两直线垂直，故④正确,所以结论正确的个数为3，故选:B.2．如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若点G在直线上，且平面AEF，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AEF的法向量，设出，利用求出的值，从而求出的模长，求出答案.【详解】如图：以C为原点，CB，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则．由题可设，则．设平面AEF的法向量，则，令，则，得．由，得，则，，即．故选：A3．已知圆和圆的交点为、，则下列选项错误的是（

）A．圆和圆有两条公切线B．直线的方程为C．圆上存在两点和使得D．圆上的点到直线的最大距离为【答案】C【分析】判断两圆的位置关系，可判断A选项；将两圆方程作差，可得出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，，因为，则两圆相交，故这两圆有两条公切线，A对；对于B选项，将两圆方程作差可得，即直线的方程为，B对；对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，，对于圆上的任意两点、，，C错；对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D对.故选：D.4．已知均为抛物线上的点，为的焦点，且，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】当直线的斜率大于0时，过作准线的垂线，作，根据，设，推出，的值,计算，同理计算当直线的斜率小于0时的，即得答案.【详解】当直线的斜率大于0时，如图，过作准线l的垂线，垂足分别为，过B作为垂足,因为，所以可设，因为均在C上，所以,,故，则，当直线的斜率小于时，同理可得，故直线的斜率为，故选：A.5．（多选）下列说法中，正确的有（

）A．点斜式可以表示任何直线B．直线在y轴上的截距为C．直线关于对称的直线方程是D．直线与之间的距离为【答案】BD【分析】根据直线的点斜式、斜截式、平行线间距离及轴对称可得结果.【详解】点斜式，不表示直线，所以不正确；直线在轴上的截距为；满足直线的截距式方程的含义，所以正确；直线关于对称的直线方程是，所以不正确；直线与之间的距离为，所以正确；故选：．6．（多选）设椭圆：的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，过点的直线与椭圆交于A、B两点，则下列说法中正确的是（

）A．的范围是 B．存在点，使C．弦长的最小值为3 D．面积的最大值为【答案】AC【分析】对于选项A，利用两点间距离公式表示出后可得答案.对于选项B，问题等价于以为直径的圆与椭圆C是否有交点.对于选项C，将直线AB方程与椭圆C方程联立，通过弦长公式得答案.对于选项D，分析面积表达式可得答案.【详解】由题，设椭圆半焦距为c，则.则，.对于选项A，设为椭圆上任意一点.则.注意到，则.得，又注意到，则.当P为椭圆左顶点，即时，最小为当P为椭圆右顶点，即时，最大为，故A正确.对于选项B，若存在点，使，则P在以为直径的圆上.则点P存在等价于上述圆与椭圆有交点，又圆的方程为.则点P存在等价于有解，消去得.则方程组无解，故相应的P不存在，B错误.对于选项C，设直线AB方程为，将其与椭圆方程联立得，消去x有，设，又则.故.当时，即AB垂直于x时，最小为3，故C正确.对于选项D，设点.则，故当P为椭圆上下顶点时，面积最大为.故D错误.故选：AC7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__．【答案】【分析】由题可得，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解即得.【详解】由题意可知，，，可得，所以，由抛物线的定义得，所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是.故答案为：.8．已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为______________【答案】【分析】先由题意及直线的几何意义可推得，再分别令与求得在两坐标轴的截距，由此利用三角形面积与基本关系式即可求得面积的最小值.【详解】因为直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，所以由化为，得，即，故，令，则；令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即面积的最小值为.故答案为：..9．如图，在长方体中，，，，点是棱BC的中点，点在棱上，且（为实数）．(1)求二面角的余弦值；(2)当时，求直线EF与平面所成角的正弦值的大小．【答案】(1)；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量及其夹角，即可求得结果；（2）根据（1）中所求平面的法向量以及的坐标，再用向量法求解即可.【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系．则，，，，设平面的法向量为，则，．即，．令，则．∴平面的一个法向量．又平面DAC的一个法向量为，故，即二面角的余弦值为．（2）当时，，，，．设直线EF与平面所成角为，则，即直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．10．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．(1)求的最小值；(2)若右支上存在点P满足，求双曲