2026届高三数学二轮复习课件：专题6 函数与导数 融合创新4 函数与导数中的新定义

融合创新(四)函数与导数中的新定义创新点1函数与导数中的新定义问题创新点2以高等数学为背景的新定义问题目录索引真题解构函数与导数从近年高考命题趋势分析,函数与导数相关的新定义问题正日益成为考查的重点与难点,其在试卷中的比重呈现稳步上升态势,且题目难度普遍较高.这类试题虽然形式新颖多变,但其核心考查内容仍根植于函数与导数的知识体系,要求考生深刻理解相关概念的本质内涵.在考查维度上,不仅检验学生对基础知识的掌握程度,更着重评估其创新思维能力、逻辑推理能力以及知识迁移运用能力,充分体现了高考选拔性考试的特征.创新点1函数与导数中的新定义问题

创新点2以高等数学为背景的新定义问题

根据以上三段材料,完成下面的题目:(1)求出f1(x)=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式g1(x),并直接写出f2(x)=cosx在点x=0处的3阶泰勒展开式g2(x);(2)比较(1)中f1(x)与g1(x)的大小;(3)证明:ex+sinx+cosx≥2+2x.

所以当-1<x<0时,m'(x)<0,所以m(x)单调递减;当0<x<1时,m'(x)>0,所以m(x)单调递增.所以m(x)min=m(0)=2+e-1-e<0,又m(-1)=2e-1>0,m(1)=2e-1>0,所以由函数零点存在定理知,∃x1∈(-1,0),x2∈(0,1),使得m(x1)=0,m(x2)=0.所以当a=1时,f(x)在区间[-1,1]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.

真题解构函数与导数

解题分析题意理解序号信息读取信息加工12f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点f(x)在区间(0,+∞)上先增再减或先减再增3f(x)在区间(0,+∞)存在唯一的零点根据f(x)的单调性以及函数值的正负情况判断4g(t)=f(x1+t)-f(x1-t)思路探求

关键步骤思维要点思维缘由(第(1)问)确定f(x)的单调性f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减(第(1)问)证明有唯一零点存在唯一x2∈(0,+∞)使得f(x2)=0f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,f(0)=0,当x=x0时,f(x)>0,当x→+∞时,f(x)<0(第2(ⅰ)问)证明单调性g(t)在区间(0,x1)单调递减证明g'(t)<0在区间(0,x1)上恒成立(第2(ⅱ)问)比较并证明大小2x1>x2由g(t)在区间(0,x1)单调递减得0>f(2x1),再结合f(x2)=0和f(x)的单调性及函数值的情况可证

(ⅱ)解

2x1>x2.证明如下,由(ⅰ)知,g(x1)<g(0)=0,所以g(x1)=f(2x1)-f(0)<0,即f(2x1)<f(0)=0,(15分)又x2为f(x)的零点,所以f(x2)=0,所以f(2x1)<f(x2).由(1)知,f(x)在(x1,+∞)上单调递减,且x2>x1,所以2x1>x2.(17分)回顾反思利用导数研究函数的性质是高中数学的重点和热点,解决问题的关键是能熟练求导,并能通过导函数的特征判断函数的单调性、极值、最值等结论.本题先求导,再构造函数,通过函数的单调性以及特殊点函数值正负,证明极值点和零点的唯一;第(2)(ⅰ)证明函数单调递减也就是证明g'(t)<0在给定区间上恒成立;并由此结论结合f(x2