湖北省十堰市八校教联体学校2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题

2025-2026学年十堰市八校教联体12月联考高一数学试卷考试时间：2025年12月15日下午15:00－17:00试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则().A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求出结果.【详解】依题意，，又因为，则.故选：D.2.已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数（）A.0 B. C.3 D.3或【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义及性质得到，解得即可.【详解】因为幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，所以，解得.故选：C3.设，若关于的不等式在上有解，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通过分离参数，得到，由对勾函数单调性求得最大值即可求解.【详解】由，得到，由题意，令，由对勾函数单调性可知在上单调递增，即最大值为，所以，故选：C4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解.【详解】因为，等价于即，解得，所以是的充要条件.故选：C.5.已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.【详解】由或.所以函数在上单调递减，在上单调递增.又函数在上单调递增，所以.即的取值范围为：.故选：D6.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义结合图象确定定义域与值域逐项判断即可得结论.【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个对应多个值，不是函数的图象，排除C；选项D中，取不到0，不符合题意，排除D故选：B.7.若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先，对勾函数和都是递增函数，当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.【详解】当时，函数单调递增所以当时，是单调递增函数，所以，所以当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以，解之得：，综上所述：实数a的取值范围是故选：B8.设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（）A.3 B.6 C.10 D.64【答案】C【解析】【分析】设，由题意结合两集合元素个数和为，可推理出，按的取值分类求解即可.【详解】若时，，则，则，这与题意矛盾，故不满足题意；故.设A中元素的个数为，则B中元素的个数为，且，由且，得，.①当时，则，又，所以，满足题意；②当时，则，，则，，又，若，则；若，则；若，则；若，则；以上情况都满足题意；③当时，即，则，，但此时，故产生矛盾，所以不满足题意；④当时，则由且，得，，又，与②同理可得不同集合的个数有个，即不同集合的个数有个；⑤当时，则由，得，又，所以，满足题意；综上，满足条件的所有不同集合A的个数为.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则；若，，则，且.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列运算法则正确的是（）A.B.C.（且）D.【答案】CD【解析】【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；对于D选项，当，、时，，D选项正确.故选：CD.10.已知函数，若，则（）A.的最小值为2 B.的最小值为C. D.的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】由题意计算可得，再借助对勾函数的性质可得A、C；借助基本的不等式可得B；借助二次函数性质可得D.【详解】由题意可得，又，则，即，即有，且，；对A：由，则，则，由在上单调递增，则，故A错误；对B：，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故B正确；对C：，取，由A知，，则在上单调递增，故，故C正确；对D：，当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值为，故D正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（）.A.函数是奇函数B.对任意，都有C.函数的值域为D.函数在区间上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，整理函数关系并作图，根据图象，可得答案.【详解】由题意得，当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆；当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：此后依次重复，所以函数是以为周期的周期函数，由图象可知，函数为偶函数，故A错误；因为以为周期，所以，即，故B正确；由图象可知，的值域为，故C正确；由图象可知，在上单调递增，因为以为周期，所以在上的图象和在上的图象相同，即单调递增，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.计算=_____________.【答案】20【解析】【分析】根据指数运算和对数运算运算性质计算出正确答案.【详解】=20.故答案为：2013.当时，不等式恒成立，实数m的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】把给定不等式恒等变形，构造函数并求出函数的最小值，再列出不等式求解作答.【详解】不等式，函数在上单调递减，当时，，依题意，，即，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：14.函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的最大值是______．【答案】##.【解析】【分析】根据题意求出在，，上的解析式，画出函数图象，结合图象可求得结果.【详解】因为，且当时，．所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以当时，，解得或，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，对任意，都有，必有，所以m的最大值是，故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合．（1）求集合；（2）若，，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解指数不等式可得集合A，根据对数函数的单调性可得集合B；（2）将集合间的包含关系转化为不等式组求解可得所求范围．【详解】（1）不等式即为，所以，解得，所以．因为对数函数在上单调递增，所以，即，所以．（2）由（1）得．①当时，满足，此时，解得．②当时，由得，解得，综上．所以实数的取值范围是．【点睛】（1）集合运算常与不等式的解法结合在一起考查，体现知识间的综合．（2）根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴将其转化为不等式（组）求解，解题时一定要注意不等式中的等号是否能成立，解题的关键是正确理解集合包含关系的定义．16.已知函数是奇函数，（1）求的值；（2）若是区间上的减函数且，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求得，由区间关于0对称求得；（2）由奇偶性变形不等式，再由单调性化简后求解．【小问1详解】函数是奇函数，，且，即.【小问2详解】，.是奇函数，，是区间上的减函数，，即有，，则实数的取值范围是.17.为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，长春市一乡镇响应号召，努力打造“生态水果特色小镇”，调研发现：某生态水果的单株产量（单位：）与单株肥料费用（单位：元）满足如下关系：，单株总成本投入为（单位：元）．已知这种水果的市场售价为元，且供不应求，记该生态水果的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数解析式；（2）当投入的单株肥料费用为多少元时，该生态水果的单株利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）（2）当投入的单株肥料费用为3元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是270元【解析】【分析】（1）由已知，再结合的解析式求的解析式；（2）当时，结合二次函数性质求该范围内的函数值的最大值，当时，结合基本不等式求对应范围内的函数值的最大值，比较可得结论.【小问1详解】由题意可得，所以单株利润的函数解析式为：【小问2详解】当时，为开口向上的抛物线，其对称轴为：，所以当时，当时，，，当且仅当即时等号成立，此时，综上所述：当投入的单株肥料费用为元时，该生态水果的单株利润最大，最大利润是元．18.已知函数.（1）解不等式；（2）设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将不等式变形为，然后结合对数函数的单调性以及指数函数的单调性求解出不等式解集；（2）根据条件将问题转化为“在上的最小值不小于在上的最小值”，然后分析的单调性并求解出对应最小值，由此列出不等式求解出结果.【小问1详解】因为，所以，所以，由对数函数的单调性可知：，所以，由指数函数的单调性可知：，所以不等式的解集为；【小问2详解】，因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值；因为均在上单调递增，所以在上单调递增，所以，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，所以的取值范围为.19.已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）若函数的最小值为，求实数的值；（3）若关于的方程有两根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）或或【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程，从而求得的值.（2）利用换元法化简的解析式，根据最小值列不等式来求得的值.（3）先判断的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.【小问1详解】由题意知的定义域为R，，整理得，而，∴；【小问2详解】，∴，依题意，函数的最小值为，令，，当且仅当时等号成立.，故的最小值为﹣3，则，或，解得；【小问3详解】由，函数在区间上单调递增，当时，，所以在上单调递增，故当时，函数单调递增，由函数为偶函数，可知函数的增区间为，减区间为，令，有，方程①，可化为，整理②，，（ⅰ）当时，或，时，方程②的解为，可