菱形的判定课件-北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形1.1.2菱形的判定菱形的定义和性质？说一说定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.边：四条边相等，对边平行.角：对角相等.对角线：对角线互相垂直平分.1.1.2菱形的判定

教学过程一、教学目标1.知识与技能：掌握菱形的三种判定方法，理解判定定理的推导过程，能根据不同条件灵活选择判定方法解决问题。2.过程与方法：通过类比平行四边形判定的探究思路，经历“观察—猜想—验证—证明”的过程，培养逻辑推理和动手实践能力。3.情感态度与价值观：体会数学知识的内在联系，感受转化思想的应用价值，激发主动探究的数学热情。二、教学重难点-重点：菱形三种判定方法的推导及灵活应用。-难点：判定定理的逻辑证明及根据题目条件选择合适的判定方法。三、教学准备直尺、圆规、量角器、菱形框架模型、多媒体课件（含判定应用例题及生活情境图）、方格纸。四、教学过程（45分钟）（一）复习回顾，引出问题（5分钟）1.旧知梳理：提问学生“菱形的定义是什么？”“菱形有哪些特殊性质？”，引导学生从边（四条边相等）、对角线（互相垂直且平分一组对角）、对称性三个维度回顾，重点强调“菱形是特殊的平行四边形，特殊在一组邻边相等”。2.逆向设问：“我们知道了菱形的性质，那么如何判断一个四边形是菱形呢？”结合平行四边形“性质与判定互逆”的规律，引出课题——菱形的判定。同时呼应上节课遗留问题：“四条边都相等的四边形是菱形吗？今天我们就来验证这个猜想。”（二）探究新知，推导判定（15分钟）组织学生以小组为单位，结合菱形性质的逆命题，通过操作、推理完成判定方法的探究，教师分层引导。1.判定方法一：定义法（从平行四边形出发）探究引导：菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”，这本身就是一种判定方法。引导学生明确：只要证明一个四边形是平行四边形，且有一组邻边相等，即可判定为菱形。几何语言：在▱ABCD中，∵AB=AD（或AB=BC等），∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）。即时练习：“已知▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，求证：▱ABCD是菱形。”引导学生用定义法证明（提示：利用平行线性质证明∠BAC=∠BCA，得出AB=BC）。2.判定方法二：四条边相等的四边形是菱形（从一般四边形出发）操作验证：让学生在方格纸上画一个四条边都相等的四边形，用直尺测量对边是否平行，用量角器测量对角线是否垂直，初步猜想“四条边相等的四边形是菱形”。逻辑证明：已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD。求证：四边形ABCD是菱形。证明：∵AB=CD，BC=AD（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。又∵AB=BC（已知），∴平行四边形ABCD是菱形（菱形的定义）。结论：四条边相等的四边形是菱形。几何语言：∵四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形。3.判定方法三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（从平行四边形出发）实验操作：让学生用两根长度不等的细木条作为对角线，钉成一个平行四边形框架，拉动框架使对角线互相垂直，观察框架形状的变化，发现此时平行四边形变成菱形。猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。逻辑证明：已知：在▱ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O。求证：▱ABCD是菱形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO（平行四边形对角线互相平分）。又∵AC⊥BD，∴BD是AC的垂直平分线。根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，∴AB=BC。∴平行四边形ABCD是菱形（菱形的定义）。结论：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。几何语言：在▱ABCD中，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形。4.判定方法梳理师生共同总结菱形的三种判定方法，按“从平行四边形出发”和“从一般四边形出发”分类，明确适用场景：判定类型具体判定方法适用前提从平行四边形出发1.有一组邻边相等（定义法）；2.对角线互相垂直已知四边形是平行四边形，补充一个特殊条件从一般四边形出发四条边都相等未知四边形形状，需证明其满足四条边相等（三）例题解析，巩固应用（12分钟）通过分层例题，引导学生根据题目条件选择合适的判定方法，规范解题步骤。1.基础题型：直接应用判定方法例1：下列条件中，能判定四边形是菱形的是（

）A.两组对边分别平行且有一组邻角相等B.两组对边分别相等且对角线互相垂直C.两组对角分别相等且对角线相等D.一组对边平行且对角线互相平分答案：B解析：A选项是矩形或正方形；B选项中“两组对边分别相等”说明是平行四边形，“对角线互相垂直”符合菱形判定方法三，故选B；C选项是矩形；D选项是平行四边形。2.提升题型：判定与性质综合应用例2：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F。求证：四边形AEDF是菱形。思路分析：先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明一组邻边相等（或对角线垂直）。证明过程：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵DE∥AC，∴∠EDB=∠C（两直线平行，同位角相等）。∴∠B=∠EDB，∴EB=ED（等角对等边）。又∵AB=AC，D是BC中点，DE∥AC，DF∥AB，∴AE=EB（平行线分线段成比例），∴AE=ED。∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。3.实际应用题型：方案设计例3：某同学要在一块长方形纸片上剪出一个菱形，现有直尺和圆规，你能帮他设计两种不同的裁剪方案吗？并说明理由。方案1：以长方形的一组邻边为边，在长方形内作一个四条边相等的四边形（利用“四条边相等的四边形是菱形”）。具体操作：用圆规以长方形一个顶点为圆心，以邻边长度为半径画弧，分别交对边于两点，连接各点得到菱形。方案2：连接长方形的两条对角线，作对角线的垂直平分线，与长方形四边交于四点，连接四点得到菱形（利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，长方形是平行四边形，垂直平分线与四边交点构成的四边形对角线互相垂直）。（四）课堂练习，强化提升（8分钟）1.已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能判定▱ABCD是菱形的是（

）①AO=BO②AB=BC③AC⊥BD④∠ABO=∠CBO答案：②③④2.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，CF平分∠BCD交AD于点F。求证：四边形AECF是菱形。提示：先证明四边形AECF是平行四边形，再证明AE=EC（利用角平分线和平行线性质证明∠BAE=∠BEA，得AB=BE，结合AB=CD、BE=DF可推导出AE=EC）。（五）课堂小结，拓展延伸（3分钟）1.知识梳理：回顾菱形的三种判定方法，强调“定义法是基础，另外两种判定定理需注意前提条件（平行四边形或一般四边形）”，总结“判定菱形时，先看已知条件是否明确四边形类型，再选择对应方法”。2.思想方法：提炼“逆向思考”（由性质推判定）、“转化思想”（将菱形判定转化为平行四边形判定）的应用。3.作业布置：①

基础题：教材习题中菱形判定的证明题；②

拓展题：已知菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，且面积为16，求菱形的边长。五、板书设计1.1.2菱形的判定一、复习：菱形的性质1.边：四条边相等2.对角线：互相垂直且平分一组对角二、菱形的判定方法1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形

几何语言：▱ABCD中，AB=AD→

菱形ABCD2.判定定理1：四条边相等的四边形是菱形

几何语言：AB=BC=CD=AD→

菱形ABCD3.判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：▱ABCD中，AC⊥BD→

菱形ABCD三、判定方法选择技巧已知菱形平行四边形满足？条件根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.菱形平行四边形满足？条件对角线边角探究菱形的判定条件平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明吗？已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证:

□ABCD是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是线段AC的垂直平分线∴BA=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形。已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？议一议如图，分别以A，C

为圆心，以大于AC

为半径作弧，两弧交于B、D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD

看上去是菱形.菱形平行四边形满足？条件对角线边角探究菱形的判定条件平行四边形的边满足什么条件时，它就是菱形了？猜想：四边相等的四边形是菱形.已知：如图，在四边形ABCD

中AB=BC=CD=DA,求证：四边形ABCD

是菱形。证明：∵AB=CD，BC=DA,∴四边形ABCD

是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCD

是菱形（菱形的定义）定理四边相等的四边形是菱形.∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形。做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！例2已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD

相交于点O，AB=，OA=2，OB=1.求证：□ABCD是菱形.证明：在△AOB

中，∵AB=，OA=2，OB=1，∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）.1.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和6cm.[教材P7随堂练习]达标检测（1）作AC=6cm，取AC的中点O,（2）作BD⊥AC，OB=OD=2cm，（3）依次连接点A，B，C，D.2.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC

的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F.求证：四边形AFCE

是菱形.[教材P7习题1.2第1题]证明：在□ABCD中，AD∥BC，即AE∥FC.又∵EF为AC的垂直平分线，∴AC⊥EF，AO=OC，即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO.∴△FOC≌△EOA，即AE=FC.∴四边形AFCE

为平行四边形.又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE

是菱形.3.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与

BD相交于点O

，点E，F，G，H

分别是OA，OB，OC，OD

的中点.求证：四边形EFGH

是菱形.[教材P7习题1.2第2题]证明：∵四边形ABCD

是菱形，∴AD

CB，AC⊥BD.又点E，F，G，H

分别为OA，OB，OC，OD

的中点，∴HE∥AD且

HE=AD，FG∥BC且FG=BC，∴HE

GF，即四边形EFGH为平行四边形.又∵AC⊥BD，∴四边形EFGH

是菱形.∥=∥=4.如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论.[教材P7习题1.2第3题]四边形CDC′E

是菱形.证明：连接CC′，交DE

于点O.由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，∴△COE≌△C′OD，即