2025 九年级数学下册二次函数图像顶点在反比例函数上问题课件

一、课程背景与学习意义演讲人课程背景与学习意义01知识储备与核心概念梳理02学生常见误区与应对策略04总结与提升05问题类型与解题策略03目录2025九年级数学下册二次函数图像顶点在反比例函数上问题课件01课程背景与学习意义课程背景与学习意义作为九年级数学下册的核心内容之一，二次函数与反比例函数的综合应用问题始终是中考数学的高频考点。在多年的教学实践中，我发现这类问题既能检验学生对单一函数性质的掌握程度，更能考察其逻辑推理、代数运算与数形结合的综合能力。其中，“二次函数图像顶点在反比例函数上”这一问题类型，因其巧妙融合了两类函数的核心特征（二次函数的顶点坐标、反比例函数的解析式与图像性质），成为培养学生综合思维的典型载体。今天，我们就围绕这一主题展开深入探讨。02知识储备与核心概念梳理知识储备与核心概念梳理要解决“二次函数顶点在反比例函数上”的问题，首先需要系统回顾两类函数的基本性质，尤其是与顶点、坐标相关的关键知识点。1二次函数的顶点坐标二次函数的表达式有三种常见形式，其中顶点式是直接获取顶点坐标的关键：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))；顶点式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其顶点坐标为((h,k))；交点式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)），顶点横坐标为(\frac{x_1+x_2}{2})，纵坐标需代入计算。1二次函数的顶点坐标在实际问题中，若题目未明确给出二次函数的形式，通常需要先将其化为顶点式或通过一般式公式直接计算顶点坐标。例如，对于(y=2x^2-4x+3)，通过配方法可得(y=2(x-1)^2+1)，顶点坐标为((1,1))；若直接使用公式，横坐标(-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1)，纵坐标(\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times2\times3-(-4)^2}{4\times2}=\frac{24-16}{8}=1)，结果一致。2反比例函数的基本性质反比例函数的标准形式为(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)），其图像是双曲线，具有以下关键性质：图像关于原点对称；当(k>0)时，图像分布在第一、三象限，在每个象限内(y)随(x)的增大而减小；当(k<0)时，图像分布在第二、四象限，在每个象限内(y)随(x)的增大而增大；图像上任意一点((x,y))满足(xy=k)（这是判断点是否在反比例函数图像上的核心条件）。2反比例函数的基本性质例如，点((2,3))在反比例函数(y=\frac{k}{x})上，则(k=2\times3=6)；若点((-1,m))在(y=\frac{-4}{x})上，则(m=\frac{-4}{-1}=4)。3问题本质的数学表达“二次函数顶点在反比例函数上”这一条件，本质上是将二次函数顶点的横、纵坐标代入反比例函数解析式后等式成立。设二次函数顶点为((h,k))，反比例函数为(y=\frac{m}{x})（(m\neq0)），则必有(k=\frac{m}{h})，即(h\cdotk=m)。这一等式是解决此类问题的核心纽带，后续所有分析均需围绕此展开。03问题类型与解题策略问题类型与解题策略根据题目给出的已知条件不同，“二次函数顶点在反比例函数上”的问题可分为以下几类，我们逐一分析其解题思路与典型例题。3.1已知二次函数表达式，求反比例函数中的参数问题特征：题目给出二次函数的具体表达式（可能是一般式、顶点式或交点式），并说明其顶点在某反比例函数图像上，要求求出反比例函数的解析式（即确定(k)的值），或进一步分析反比例函数的性质。解题步骤：求出二次函数的顶点坐标((h,k))；将((h,k))代入反比例函数(y=\frac{m}{x})，得到(m=h\cdotk)；问题类型与解题策略验证(h\neq0)（因反比例函数中(x\neq0)，顶点横坐标不能为0），若(h=0)，则顶点不在反比例函数上（除非(m=0)，但(m\neq0)）。典型例题：已知二次函数(y=-x^2+2x+3)，其顶点在反比例函数(y=\frac{m}{x})的图像上，求(m)的值及反比例函数的解析式。解析：问题类型与解题策略第一步，求二次函数顶点坐标。方法一（配方法）：(y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4)，故顶点为((1,4))。方法二（公式法）：横坐标(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\times(-1)}=1)，纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times(-1)\times3-2^2}{4\times(-1)}=\frac{-12-4}{-4}=4)，结果一致。问题类型与解题策略第二步，代入反比例函数。顶点((1,4))在(y=\frac{m}{x})上，故(4=\frac{m}{1})，解得(m=4)。第三步，验证(h=1\neq0)，符合条件。因此，反比例函数解析式为(y=\frac{4}{x})。2已知反比例函数，求二次函数中的参数问题特征：题目给出反比例函数的解析式，并说明某二次函数（含未知参数）的顶点在该反比例函数图像上，要求求出二次函数中未知参数的值，或确定参数的取值范围。解题步骤：设二次函数的顶点坐标((h,k))（可能含参数）；根据二次函数表达式与顶点坐标的关系，建立(h)、(k)与参数的关系式；将((h,k))代入反比例函数(y=\frac{m}{x})，得到关于参数的方程；解方程并验证参数的合理性（如二次项系数(a\neq0)，反比例函数中(m\neq0)等）。2已知反比例函数，求二次函数中的参数典型例题：已知反比例函数(y=\frac{6}{x})，二次函数(y=ax^2+4x+c)（(a\neq0)）的顶点在该反比例函数图像上，且该二次函数的最小值为2，求(a)和(c)的值。解析：第一步，分析二次函数的顶点坐标与参数的关系。二次函数的顶点横坐标(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2a}=-\frac{2}{a})；纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4ac-16}{4a}=c-\frac{4}{a})。2已知反比例函数，求二次函数中的参数第二步，利用“最小值为2”的条件。因为二次函数有最小值，说明(a>0)，且最小值即为顶点纵坐标(k=2)，故(c-\frac{4}{a}=2)（方程①）。第三步，顶点在反比例函数上，故(k=\frac{6}{h})，即(2=\frac{6}{-\frac{2}{a}})（注意(h=-\frac{2}{a})）。化简右边：(\frac{6}{-\frac{2}{a}}=6\times\left(-\frac{a}{2}\right)=-3a)，因此(2=-3a)，解得(a=-\frac{2}{3})。2已知反比例函数，求二次函数中的参数第四步，验证(a>0)是否矛盾。此处得到(a=-\frac{2}{3}<0)，与“二次函数有最小值”矛盾，说明哪里出错了？回头检查：二次函数的最小值存在当且仅当(a>0)，此时顶点纵坐标是最小值；若(a<0)，则顶点纵坐标是最大值。题目中明确“最小值为2”，故(a>0)，但第三步解得(a=-\frac{2}{3})，说明可能在代入时符号错误。重新计算第三步：顶点坐标((h,k)=\left(-\frac{2}{a},c-\frac{4}{a}\right))，代入反比例函数(y=\frac{6}{x})，应满足(k=\frac{6}{h})，即(c-\frac{4}{a}=\frac{6}{-\frac{2}{a}})。2已知反比例函数，求二次函数中的参数右边化简：(\frac{6}{-\frac{2}{a}}=6\times\left(-\frac{a}{2}\right)=-3a)，因此方程为(c-\frac{4}{a}=-3a)（方程②）。结合方程①（原错误：题目中“最小值为2”应为(k=2)，但(a>0)时(k)是最小值，所以(c-\frac{4}{a}=2)是正确的），联立方程①和②：(\begin{cases}c-\frac{4}{a}=2\c-\frac{4}{a}=-3a\end{cases})因此(2=-3a)，解得(a=-\frac{2}{3})，但(a<0)，与“最小值为2”矛盾，说明题目条件是否存在问题？2已知反比例函数，求二次函数中的参数或者，可能我误解了“最小值为2”的条件。实际上，当(a>0)时，二次函数开口向上，顶点是最小值点，纵坐标为最小值；当(a<0)时，开口向下，顶点是最大值点。题目中说“最小值为2”，说明函数必须有最小值，即(a>0)，但根据计算，此时无解，说明题目可能存在无解的情况，或我哪里出错了？重新检查顶点纵坐标的计算：对于(y=ax^2+4x+c)，顶点纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4ac-16}{4a}=c-\frac{4}{a})，正确。代入反比例函数(k=\frac{6}{h})，而(h=-\frac{2}{a})，故(k=\frac{6}{-\frac{2}{a}}=-3a)，所以(c-\frac{4}{a}=-3a)。2已知反比例函数，求二次函数中的参数同时，若题目中“最小值为2”是指无论开口方向，函数的最小值是2，但实际上当(a<0)时函数没有最小值，只有最大值，因此题目条件应为(a>0)且(k=2)，即(c-\frac{4}{a}=2)，联立(c-\frac{4}{a}=-3a)，得(2=-3a)，解得(a=-\frac{2}{3})，矛盾，说明此时不存在这样的二次函数。这一例题提醒我们：在解题时需注意参数的隐含条件（如(a\neq0)、反比例函数(x\neq0)），以及函数性质（如开口方向与最值的关系），避免忽略条件导致错误。3综合应用：求函数图像的交点或参数范围问题特征：题目可能进一步要求二次函数与反比例函数的交点个数，或在满足顶点条件的前提下，求二次函数的其他性质（如与坐标轴的交点、对称轴位置等）。解题思路：在解决顶点条件的基础上，结合方程联立、判别式分析等方法，进一步探讨图像的位置关系。典型例题：已知二次函数(y=(x-t)^2+2t)（(t)为常数）的顶点在反比例函数(y=\frac{k}{x})的图像上，且该二次函数与反比例函数图像有两个不同的交点，求(k)的取值范围。解析：3综合应用：求函数图像的交点或参数范围第一步，求二次函数的顶点坐标。顶点式(y=(x-t)^2+2t)的顶点为((t,2t))。第二步，代入反比例函数求(k)。顶点((t,2t))在(y=\frac{k}{x})上，故(2t=\frac{k}{t})，解得(k=2t^2)（(t\neq0)，因(x=t)在反比例函数中不能为0）。3综合应用：求函数图像的交点或参数范围第三步，联立二次函数与反比例函数，求交点个数。联立方程((x-t)^2+2t=\frac{2t^2}{x})（因(k=2t^2)）。整理得：(x(x-t)^2+2tx-2t^2=0)，展开((x-t)^2=x^2-2tx+t^2)，故左边为(x(x^2-2tx+t^2)+2tx-2t^2=x^3-2tx^2+t^2x+2tx-2t^2=x^3-2tx^2+(t^2+2t)x-2t^2)。3综合应用：求函数图像的交点或参数范围因式分解：尝试(x=t)是否为根，代入得(t^3-2t\cdott^2+(t^2+2t)t-2t^2=t^3-2t^3+t^3+2t^2-2t^2=0)，故((x-t))是因式。用多项式除法或配方法分解：(x^3-2tx^2+(t^2+2t)x-2t^2=(x-t)(x^2-tx+2t))因此，方程等价于((x-t)(x^2-tx+2t)=0)，解得(x=t)或(x^2-tx+2t=0)。3综合应用：求函数图像的交点或参数范围第四步，分析交点个数。已知(x=t)是一个解，对应交点为((t,2t))（即顶点），但需要判断(x^2-tx+2t=0)是否有其他实数解。判别式(\Delta=(-t)^2-4\times1\times2t=t^2-8t)。题目要求有两个不同的交点，分两种情况：若(x=t)是唯一解，则(x^2-tx+2t=0)无实根，即(\Delta<0)，此时(t^2-8t<0)，解得(0<t<8)；但此时交点只有1个（顶点），不符合“两个不同交点”的要求。3综合应用：求函数图像的交点或参数范围若(x^2-tx+2t=0)有两个不同实根，且其中一个可能与(x=t)重合：当(x=t)是(x^2-tx+2t=0)的根时，代入得(t^2-t^2+2t=0)，即(t=0)，但(t=0)时顶点为((0,0))，不在反比例函数上（(k=0)不符合(k\neq0)），故(x=t)不是(x^2-tx+2t=0)的根。因此，当(\Delta>0)时，(x^2-tx+2t=0)有两个不同实根，此时总共有3个交点（(x=t)和两个新根），但题目要求“两个不同的交点”，说明其中一个根可能是重根或与(x=t)重合。3综合应用：求函数图像的交点或参数范围1这里可能我的分析有误，因为原方程是三次方程，最多有三个实根。题目要求“两个不同的交点”，可能是指除顶点外还有一个交点（即三次方程有两个实根，其中一个是重根）。2重新考虑：三次方程((x-t)(x^2-tx+2t)=0)的实根个数由(x^2-tx+2t=0)决定：3当(\Delta>0)（(t<0)或(t>8)）时，(x^2-tx+2t=0)有两个不同实根，三次方程有三个不同实根；4当(\Delta=0)（(t=0)或(t=8)）时，(x^2-tx+2t=0)有一个实根（重根），三次方程有两个实根（其中一个是重根）；3综合应用：求函数图像的交点或参数范围当(\Delta<0)（(0<t<8)）时，(x^2-tx+2t=0)无实根，三次方程有一个实根（(x=t)）。题目要求“两个不同的交点”，即三次方程有两个不同的实根，因此需(\Delta=0)，即(t=0)或(t=8)。但(t=0)时顶点为((0,0))，不在反比例函数上（(k=0)无效），故(t=8)，此时(k=2t^2=2\times64=128)。但这与题目要求的“两个不同的交点”可能存在矛盾，说明在综合问题中需更严谨地分析方程的根与图像交点的关系，避免遗漏条件。04学生常见误区与应对策略学生常见误区与应对策略在教学实践中，学生解决此类问题时容易出现以下错误，需重点提醒：1顶点坐标计算错误表现：忘记顶点式的正确形式，或在一般式中误用公式（如将横坐标算成(\frac{b}{2a})而非(-\frac{b}{2a})），导致顶点坐标错误。对策：通过配方法和公式法两种方式交叉验证顶点坐标，强化“顶点式中((h,k))