2025 九年级数学下册二次函数图像上下平移后与 x 轴交点变化课件

一、引言：从“形”到“数”的桥梁——二次函数图像平移的重要性演讲人01引言：从“形”到“数”的桥梁——二次函数图像平移的重要性02知识铺垫：二次函数的基本形式与图像特征03核心探究：二次函数图像上下平移的本质与交点变化04实践应用：从理论到解题的转化05总结与升华：从“变化”中寻找“不变”的规律目录2025九年级数学下册二次函数图像上下平移后与x轴交点变化课件01引言：从“形”到“数”的桥梁——二次函数图像平移的重要性引言：从“形”到“数”的桥梁——二次函数图像平移的重要性作为九年级数学下册“二次函数”章节的核心内容之一，图像平移既是学生理解函数动态变化的关键切入点，也是衔接“数”与“形”的重要桥梁。我在一线教学中发现，许多学生在学习二次函数时，往往能熟练计算表达式、求解顶点坐标，却对“图像平移如何影响函数性质”存在认知断层。特别是当涉及“上下平移后与x轴交点的变化”时，学生容易混淆平移方向与交点数量、位置的关系，甚至因缺乏系统分析方法而陷入机械记忆的误区。本节课，我们将以“二次函数图像上下平移”为起点，通过“观察—猜想—验证—归纳”的探究路径，深入剖析平移操作对函数与x轴交点的具体影响，帮助大家建立“表达式变化—图像变化—交点变化”的完整逻辑链条。02知识铺垫：二次函数的基本形式与图像特征1二次函数的三种常见表达式要理解图像平移的本质，首先需要明确二次函数的不同表达式及其几何意义：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）其中，(a)决定开口方向与宽窄，(b)与(a)共同决定对称轴位置（(x=-\frac{b}{2a})），(c)是函数在(y)轴上的截距（即(x=0)时的函数值）。顶点式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)）直接体现顶点坐标((h,k))，(a)的意义与一般式一致，(h)、(k)分别控制图像的左右、上下平移量。交点式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)，且(x_1)、(x_2)为函数与x轴交点的横坐标）仅当函数与x轴有两个交点时可用，直接反映交点位置。2二次函数与x轴交点的判定依据A函数与x轴的交点本质是方程(ax^2+bx+c=0)的实数根。根据一元二次方程根的判别式：B当(\Delta=b^2-4ac>0)时，方程有两个不相等的实数根，函数图像与x轴有两个交点；C当(\Delta=0)时，方程有两个相等的实数根，函数图像与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；D当(\Delta<0)时，方程无实数根，函数图像与x轴无交点。E这一判定规则是分析平移后交点变化的核心工具。03核心探究：二次函数图像上下平移的本质与交点变化核心探究：二次函数图像上下平移的本质与交点变化3.1上下平移的数学表达：常数项的“加减法”二次函数图像的上下平移是最基础的平移操作之一。以顶点式(y=a(x-h)^2+k)为例：向上平移(m)个单位（(m>0)），相当于所有点的纵坐标增加(m)，表达式变为(y=a(x-h)^2+(k+m))；向下平移(m)个单位（(m>0)），则表达式变为(y=a(x-h)^2+(k-m))。若从一般式(y=ax^2+bx+c)出发，上下平移(m)个单位后，表达式变为(y=ax^2+bx+(c\pmm))——本质是常数项(c)的增减。这一变化看似简单，却直接影响了函数与x轴的交点情况。2平移对判别式的影响：从“数”到“形”的转化由于交点数量由判别式(\Delta=b^2-4ac)决定，当函数上下平移(m)个单位后，新的一般式为(y=ax^2+bx+(c\pmm))，对应的判别式变为：(\Delta'=b^2-4a(c\pmm)=\Delta\mp4am)这一公式揭示了关键规律：上下平移会通过改变常数项，进而改变判别式的值，最终影响交点数量。具体分析需结合原函数的交点情况（即原判别式(\Delta)的符号），分三种情形展开：2平移对判别式的影响：从“数”到“形”的转化3.2.1原函数与x轴有两个交点（(\Delta>0)）例1：取原函数(y=x^2-2x-3)（(a=1)，(b=-2)，(c=-3)），其判别式(\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=16>0)，与x轴交于((-1,0))和((3,0))。向上平移2个单位：新函数为(y=x^2-2x-1)，判别式(\Delta'=4-4\times1\times(-1)=8>0)，仍有两个交点，但位置改变（解方程(x^2-2x-1=0)得(x=1\pm\sqrt{2})，交点更靠近顶点）；2平移对判别式的影响：从“数”到“形”的转化向上平移4个单位：新函数为(y=x^2-2x+1)，判别式(\Delta'=4-4\times1\times1=0)，此时顶点((1,0))恰好在x轴上，仅有一个交点；向上平移5个单位：新函数为(y=x^2-2x+2)，判别式(\Delta'=4-4\times1\times2=-4<0)，无交点。结论：当原函数有两个交点（(\Delta>0)）时，向上平移会使判别式逐渐减小（(\Delta'=\Delta-4am)），交点数量可能从两个变为一个，最终无交点；向下平移则使判别式增大（(\Delta'=\Delta+4am)），交点始终保持两个，但位置向两侧远离顶点。2平移对判别式的影响：从“数”到“形”的转化3.2.2原函数与x轴有一个交点（(\Delta=0)）例2：取原函数(y=x^2-4x+4)（(a=1)，(b=-4)，(c=4)），其判别式(\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=0)，顶点((2,0))在x轴上，仅有一个交点。向上平移1个单位：新函数为(y=x^2-4x+5)，判别式(\Delta'=16-4\times1\times5=-4<0)，无交点；向下平移1个单位：新函数为(y=x^2-4x+3)，判别式(\Delta'=16-4\times1\times3=4>0)，有两个交点（解方程得(x=1)和(x=3)）。2平移对判别式的影响：从“数”到“形”的转化结论：当原函数顶点在x轴上（(\Delta=0)）时，向上平移会使判别式变为负（无交点），向下平移会使判别式变为正（两个交点），且向下平移的距离越大，两个交点间的距离越远。3.2.3原函数与x轴无交点（(\Delta<0)）例3：取原函数(y=x^2-2x+3)（(a=1)，(b=-2)，(c=3)），其判别式(\Delta=4-12=-8<0)，图像全部在x轴上方，无交点。向下平移1个单位：新函数为(y=x^2-2x+2)，判别式(\Delta'=4-8=-4<0)，仍无交点；2平移对判别式的影响：从“数”到“形”的转化向下平移3个单位：新函数为(y=x^2-2x+0)（即(y=x(x-2))），判别式(\Delta'=4-0=4>0)，有两个交点（(0)和(2)）；向下平移5个单位：新函数为(y=x^2-2x-2)，判别式(\Delta'=4+8=12>0)，仍有两个交点，但位置更远离顶点。结论：当原函数无交点（(\Delta<0)）时，向下平移需满足(4am>|\Delta|)（即平移距离(m>\frac{|\Delta|}{4a})）才能产生两个交点；向上平移会使判别式更小（(\Delta'=\Delta-4am)），图像更远离x轴，始终无交点。3交点位置的定量分析：根与系数的关系除了交点数量，平移还会改变交点的位置。以一般式(y=ax^2+bx+c)向下平移(m)个单位为例，新函数为(y=ax^2+bx+(c-m))，对应的方程(ax^2+bx+(c-m)=0)的根为：(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta+4am}}{2a})与原方程的根(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a})相比，新根的横坐标变化由根号内的增量(4am)决定。例如，当原函数有两个交点（(\Delta>0)）时，向下平移会使根号内的值增大，两个根分别向左右两侧移动；向上平移则使根号内的值减小，两个根向顶点靠近，直至重合（(\Delta'=0)）后消失。04实践应用：从理论到解题的转化1典型例题解析例4：已知二次函数(y=-x^2+4x-3)。（1）求其与x轴的交点坐标；（2）若将该函数向上平移(k)个单位后与x轴仅有一个交点，求(k)的值；（3）若向下平移(2)个单位，求新函数与x轴的交点坐标。解析：（1）原函数与x轴交点即解方程(-x^2+4x-3=0)，因式分解得(-(x-1)(x-3)=0)，交点为((1,0))和((3,0))；1典型例题解析（2）向上平移(k)个单位后，函数为(y=-x^2+4x-3+k)，其判别式(\Delta'=16-4\times(-1)\times(-3+k)=16-4(3-k)=16-12+4k=4+4k)。令(\Delta'=0)，解得(k=-1)；（3）向下平移2个单位后，函数为(y=-x^2+4x-5)，解方程(-x^2+4x-5=0)即(x^2-4x+5=0)，判别式(\Delta=16-20=-4<0)，无交点？——此处需注意符号错误！正确平移后的函数应为(y=-x^2+4x-3-2=-x^2+4x-5)，但原函数开口向下，1典型例题解析顶点纵坐标为(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times(-1)\times(-3)-16}{4\times(-1)}=\frac{12-16}{-4}=1)，向下平移2个单位后顶点纵坐标为(1-2=-1)，此时函数图像开口向下，顶点在x轴下方，必然与x轴有两个交点。重新计算判别式：(\Delta'=16-4\times(-1)\times(-5)=16-20=-4<0)，这说明我的计算有误？不，原函数开口向下，向下平移后顶点更低，理论上应与x轴有两1典型例题解析个交点，但判别式却为负，这是矛盾的。问题出在哪里？哦，原函数(y=-x^2+4x-3)的顶点纵坐标计算应为(k=c-\frac{b^2}{4a}=-3-\frac{16}{4\times(-1)}=-3+4=1)，正确。向上平移(k)个单位后顶点纵坐标为(1+k)，向下平移2个单位后为(1-2=-1)。由于开口向下（(a=-1<0)），当顶点纵坐标为-1时，函数图像向下延伸，必然与x轴有两个交点。此时判别式计算错误，正确的判别式应为：(\Delta'=b^2-4a(c-m)=16-4\times(-1)\times(-3-2)=16-4\times(-1)\times(-5)=16-20=-4<0)，1典型例题解析这说明我的理论分析与图像直观矛盾，问题出在开口方向对判别式符号的影响上。实际上，当(a<0)时，判别式(\Delta'<0)表示函数图像全部在x轴下方（因为开口向下，顶点在x轴下方时，函数值始终小于0），所以确实无交点。这说明之前的结论需补充：当(a<0)时，若原函数有两个交点（开口向下，顶点在x轴上方），向下平移可能使顶点降至x轴下方，此时函数图像从“跨x轴”变为“完全在x轴下方”，导致无交点。这提醒我们分析时需结合开口方向综合判断。2学生常见误区与应对策略在教学实践中，学生常出现以下错误：混淆平移方向与常数项符号：如将向上平移(m)个单位错误地写成(c-m)，需通过“上加下减”的口诀强化记忆（向上平移，函数值增大，故常数项加(m)）；忽略开口方向对交点的影响：如例4中，开口向下时，顶点位置与x轴的相对关系直接决定交点数量，需强调“判别式符号+开口方向”的双重判断；机械记忆结论，缺乏动态分析：部分学生记住“向上平移可能减少交点”，但遇到具体函数时无法灵活应用判别式推导，需通过“表达式→判别式→交点”的步骤训练逻辑。05总结与升华：从“变化”中寻找“不变”的规律1核心规律总结二次函数图像上下平移后与x轴交点的变化，本质是常数项改变引发的判别式变化，具体规律可归纳为：|原交点情况（(\Delta)）|平移方向|判别式变化（(\Delta')）|新交点情况||---------------------------|----------|-----------------------------|------------||(\Delta>0)（两个交点）|向上|(\Delta'=\Delta-4am)|减少（两→一→无）|1核心规律总结|(\Delta>0)（两个交点）|向下|(\Delta'=\Delta+4am)|保持两个（位置远离）||(\Delta=0)（一个交点）|向