2025 九年级数学下册二次函数图像上下平移后与 y 轴交点变化课件

学习背景与目标演讲人2025九年级数学下册二次函数图像上下平移后与y轴交点变化课件目录01学习背景与目标02二次函数基础性质回顾二次函数基础性质回顾图像上下平移的规律解析平移后与y轴交点的变化推导03典型例题与思维拓展04总结与升华05学习背景与目标学习背景与目标作为九年级数学下册“二次函数”章节的核心内容之一，图像平移与坐标轴交点的关系是学生理解函数动态变化的关键切入点。在前期学习中，学生已掌握二次函数的基本形式、图像特征及顶点坐标等知识，但对“平移操作如何具体影响图像位置”“不同平移方向对特殊点（如与y轴交点）的作用机制”等问题仍存在认知模糊。本节课目标：理解二次函数图像上下平移的数学表达；推导并掌握平移后与y轴交点的坐标变化规律；通过实例应用深化对“函数平移-解析式变化-几何特征关联”的整体认知；培养“以数解形，以形助数”的数形结合思维。06二次函数基础性质回顾二次函数基础性质回顾要探究平移后的交点变化，需先明确二次函数的基本形式与关键特征。1二次函数的三种表达式二次函数的一般形式为：[y=ax^2+bx+c\quad(a\neq0)]其顶点式为：[y=a(x-h)^2+k\quad(a\neq0)]其中，((h,k))为顶点坐标，(a)决定开口方向与大小。2与y轴交点的确定方法函数图像与y轴的交点是当(x=0)时的点。将(x=0)代入一般式，得：[y=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c]因此，二次函数与y轴的交点坐标恒为((0,c))，交点的纵坐标即为常数项(c)的值。教学反思：学生常混淆“与y轴交点”和“顶点”的坐标，需强调“顶点是图像的最高/最低点，而与y轴交点是图像与y轴的交叉点，两者无必然重合关系”。例如，函数(y=x^2+2x+3)的顶点为((-1,2))，与y轴交点为((0,3))，显然不同。07图像上下平移的规律解析图像上下平移的规律解析图像平移是函数变换的基本操作之一，上下平移指图像沿y轴方向移动，不改变开口方向与形状。1上下平移的数学表达设原二次函数为(y=f(x)=ax^2+bx+c)，若将其图像向上平移(m)个单位（(m>0)），则每个点的纵坐标均增加(m)，新函数为：[y=f(x)+m=ax^2+bx+(c+m)]同理，向下平移(m)个单位时，新函数为：[y=f(x)-m=ax^2+bx+(c-m)]2平移对解析式的影响对比原函数与平移后的函数，可发现：二次项系数(a)与一次项系数(b)保持不变（因平移不改变图像的开口方向、大小及对称轴位置）；常数项(c)变为(c\pmm)（上下平移直接改变图像的垂直位置）。直观验证：以(y=x^2)为例，向上平移2个单位后得到(y=x^2+2)，向下平移3个单位后得到(y=x^2-3)。通过几何画板动态演示，学生可观察到图像整体“上移”或“下移”，但形状、对称轴（(x=0)）完全一致。08平移后与y轴交点的变化推导平移后与y轴交点的变化推导结合前两部分内容，可推导出上下平移对与y轴交点的具体影响。1原函数与平移后函数的交点对比原函数与y轴交点为((0,c))；向上平移(m)个单位后的函数与y轴交点为：[x=0\impliesy=a\cdot0^2+b\cdot0+(c+m)=c+m]即交点为((0,c+m))；同理，向下平移(m)个单位后的交点为((0,c-m))。结论：二次函数图像向上平移(m)个单位，与y轴交点的纵坐标增加(m)；向下平移(m)个单位，纵坐标减少(m)。交点的横坐标始终为0（因y轴方程为(x=0)）。2变化的本质：常数项的线性调整从解析式角度看，与y轴交点的纵坐标直接由常数项(c)决定。上下平移操作通过改变(c)的值（(c\toc\pmm)），进而改变交点的纵坐标。这一过程体现了“函数解析式变化”与“几何特征变化”的一一对应关系。学生易混淆点：部分学生认为“左右平移也会影响与y轴交点”，需强调左右平移改变的是(x)的表达式（如(y=a(x-h)^2+k)中(h)的变化），此时(x=0)代入后，(y)的值为(a(-h)^2+k=ah^2+k)，与原函数(y=ax^2+k)（当(h=0)时）的交点((0,k))不同。因此，左右平移确实会改变与y轴交点，但机制与上下平移完全不同（上下平移仅改变常数项，左右平移改变的是二次项展开后的常数项）。3特殊情形验证取具体函数验证结论的普适性：例1：原函数(y=2x^2-3x+5)（与y轴交点((0,5))），向上平移4个单位后为(y=2x^2-3x+9)，与y轴交点为((0,9))（(5+4=9)）；例2：原函数(y=-x^2+x-1)（与y轴交点((0,-1))），向下平移2个单位后为(y=-x^2+x-3)，与y轴交点为((0,-3))（(-1-2=-3)）。所有案例均符合“交点纵坐标变化量等于平移量”的规律，说明结论具有一般性。09典型例题与思维拓展典型例题与思维拓展通过例题训练，强化对“平移-交点变化”关系的应用能力。1基础应用：已知平移量求交点例1：二次函数(y=3x^2-2x+4)的图像向下平移5个单位，求平移后的函数与y轴的交点坐标。解析：原函数常数项(c=4)；向下平移5个单位后，新常数项为(4-5=-1)；因此，平移后与y轴交点为((0,-1))。2逆向应用：已知交点变化求平移量例2：二次函数(y=-2x^2+6x+c)的图像向上平移后，与y轴交点变为((0,8))，若原交点为((0,3))，求平移的单位数。解析：原交点纵坐标为3，平移后为8；平移量(m=8-3=5)（因向上平移，(m>0)）；结论：向上平移了5个单位。3综合应用：结合顶点与交点例3：二次函数(y=x^2-4x+1)的图像向上平移(m)个单位后，与y轴交点为((0,5))，求平移后的函数顶点坐标。解析：原函数与y轴交点：(x=0)时，(y=0-0+1=1)，即((0,1))；平移后交点为((0,5))，故平移量(m=5-1=4)（向上平移4个单位）；平移后函数解析式：(y=x^2-4x+1+4=x^2-4x+5)；3综合应用：结合顶点与交点化为顶点式：(y=(x-2)^2+1)（配方过程：(x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1)）；顶点坐标为((2,1))。教学提示：此题需综合运用“交点变化求平移量”“解析式平移变换”“顶点式配方”等知识，引导学生逐步拆解问题，培养逻辑链构建能力。4思维拓展：多平移操作的影响例4：将二次函数(y=2x^2+x-3)先向下平移2个单位，再向上平移5个单位，最终与y轴的交点坐标是多少？解析：连续平移可合并为一次平移：向下2个单位再向上5个单位，相当于向上平移(5-2=3)个单位；原常数项(c=-3)，平移后常数项为(-3+3=0)；最终交点为((0,0))。此例说明，多次上下平移的总效果等于各次平移量的代数和（向上为正，向下为负）。10总结与升华总结与升华本节课围绕“二次函数图像上下平移后与y轴交点的变化”展开，核心内容可总结为：1知识脉络平移规律：上下平移(m)个单位，解析式中常数项(c)变为(c\pmm)；1交点变化：与y轴交点由((0,c))变为((0,c\pmm))，纵坐标变化量等于平移量；2本质关联：函数解析式的常数项直接决定与y轴交点的纵坐标，平移操作通过调整常数项实现交点的垂直移动。32数学思想数形结合：通过解析式变化（数）理解图像平移（形），再通过交点坐标（形）验证解析式变化（数）；变与不变：平移过程中，(a)（开口）、(b)（对称轴）不变，仅(c)（垂直位置）改变，体现“核心特征稳定，次要特征变化”的数学规律。3学习建议熟练掌握“代入(x=0)求y轴交点”的基本方法；理解“上下平移仅改变常数项”的本质，