2025 九年级数学下册二次函数图像与 x 轴相切条件判断课件

一、知识铺垫：二次函数与x轴交点的基本逻辑演讲人知识铺垫：二次函数与x轴交点的基本逻辑总结：从“相切”看二次函数的核心关联常见误区与深化理解相切条件的应用：从理论到实践相切条件的双重验证：代数与几何的统一目录2025九年级数学下册二次函数图像与x轴相切条件判断课件引言：从“抛物线的相遇”说起各位同学，当我们在九年级接触二次函数时，已经知道它的图像是一条抛物线。这条曲线与x轴的位置关系，就像两个朋友的相遇——有时擦肩而过（无交点），有时牵手同行（两个交点），而最特别的是“刚好触碰到”的瞬间（一个交点）。今天我们要深入探讨的，正是这种“刚好触碰到”的特殊情形——二次函数图像与x轴相切的条件。在正式学习前，我想先问大家一个问题：你们是否观察过生活中的抛物线？比如篮球抛出的轨迹、喷泉的水线，或者桥梁的拱顶。这些抛物线有的会“吻”到地面（x轴）后弹起，有的则高高掠过。这种“吻”的瞬间，就是数学中“相切”的直观体现。接下来，我们将从代数和几何两个维度，逐步揭开这个现象背后的数学规律。01知识铺垫：二次函数与x轴交点的基本逻辑知识铺垫：二次函数与x轴交点的基本逻辑要理解“相切”的条件，首先需要回顾二次函数与x轴交点的本质。1二次函数的代数表达与图像特征二次函数的一般形式是(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其图像是一条抛物线。抛物线的开口方向由二次项系数(a)决定：当(a>0)时，开口向上；当(a<0)时，开口向下。抛物线的顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，这是抛物线的最高点或最低点。2二次函数与x轴交点的代数本质x轴上所有点的纵坐标(y=0)，因此二次函数与x轴的交点问题，等价于求解方程(ax^2+bx+c=0)的实数根。根据一元二次方程根的判别式(\Delta=b^2-4ac)，我们知道：当(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有两个不同的交点；当(\Delta=0)时，方程有两个相等的实数根（即一个实根），对应抛物线与x轴有一个公共点；当(\Delta<0)时，方程无实数根，对应抛物线与x轴无交点。这里的“一个公共点”，就是我们今天的核心——“相切”。3从几何视角理解“相切”抛物线与x轴相切，意味着抛物线仅在某一点与x轴接触，且在该点处抛物线不会穿过x轴（即该点是抛物线的顶点）。例如，开口向上的抛物线若顶点在x轴上，那么它只会在顶点处与x轴接触一次；开口向下的抛物线同理。因此，“相切”的几何本质是：抛物线的顶点位于x轴上。02相切条件的双重验证：代数与几何的统一相切条件的双重验证：代数与几何的统一既然“相切”对应方程有两个相等实根（代数）和顶点在x轴上（几何），我们需要证明这两个条件是等价的，从而形成完整的判断逻辑。1代数条件：判别式(\Delta=0)从方程(ax^2+bx+c=0)的求根公式(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a})可知，当(\Delta=0)时，根为(x=-\frac{b}{2a})（重根）。此时，抛物线与x轴仅在(\left(-\frac{b}{2a},0\right))处相交，这是唯一的交点，符合“相切”的定义。示例1：判断二次函数(y=x^2-2x+1)的图像是否与x轴相切。解：计算判别式(\Delta=(-2)^2-4\times1\times1=4-4=0)，因此(\Delta=0)，该抛物线与x轴相切，切点为(x=-\frac{-2}{2\times1}=1)，即点((1,0))。2几何条件：顶点纵坐标为0抛物线的顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，顶点的纵坐标为(\frac{4ac-b^2}{4a})。若顶点在x轴上，则纵坐标必须为0，即(\frac{4ac-b^2}{4a}=0)。两边同乘(4a)（(a\neq0)），得(4ac-b^2=0)，即(b^2=4ac)，这与判别式(\Delta=b^2-4ac=0)完全一致。示例2：已知二次函数(y=2x^2+bx+8)的图像与x轴相切，求(b)的值。2几何条件：顶点纵坐标为0解：方法一（代数）：由(\Delta=b^2-4\times2\times8=0)，得(b^2-64=0)，故(b=\pm8)。方法二（几何）：顶点纵坐标(\frac{4\times2\times8-b^2}{4\times2}=0)，即(64-b^2=0)，同样得(b=\pm8)。3两种条件的等价性总结通过上述推导可知，“判别式(\Delta=0)”与“顶点纵坐标为0”是完全等价的条件。这体现了代数与几何的内在统一：代数上的“重根”对应几何上的“顶点在x轴”，二者共同刻画了抛物线与x轴相切的本质。03相切条件的应用：从理论到实践相切条件的应用：从理论到实践理解相切条件后，我们需要学会在不同情境中应用这一知识，解决具体问题。1已知函数表达式，判断是否相切这类问题的关键是计算判别式(\Delta)，若(\Delta=0)，则相切；否则不相切。示例3：判断(y=-3x^2+6x-3)与x轴的位置关系。解：计算(\Delta=6^2-4\times(-3)\times(-3)=36-36=0)，因此该抛物线与x轴相切，切点为(x=-\frac{6}{2\times(-3)}=1)，即点((1,0))。2已知相切，求参数值这类问题需要利用(\Delta=0)建立方程，解出未知参数。示例4：若二次函数(y=kx^2+(k-2)x+1)的图像与x轴相切，求(k)的值。解：由相切条件(\Delta=0)，得((k-2)^2-4\timesk\times1=0)，展开得(k^2-4k+4-4k=0)，即(k^2-8k+4=0)。解得(k=\frac{8\pm\sqrt{64-16}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2}=4\pm2\sqrt{3})。注意：此处需确保二次项系数(k\neq0)，而(4\pm2\sqrt{3})均不为0，故解有效。3实际问题中的相切分析二次函数在实际生活中常用来描述抛物线型轨迹，如投掷物体的运动路径、拱桥的形状等。判断这类问题中的“相切”，本质仍是判断顶点是否在x轴（或指定直线）上。示例5：一位同学投掷铅球，其运动轨迹可近似为二次函数(y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3})（单位：米，(x)为水平距离，(y)为高度）。问铅球是否会触碰到地面（x轴）？若触碰，是“轻轻擦过”（相切）还是“砸出两个坑”（两个交点）？解：地面对应(y=0)，即解方程(-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0)。两边乘-12得(x^2-8x-20=0)，计算判别式(\Delta=(-8)^2-4\times1\times(-20)=64+80=144>0)，因此有两个不同的实数根，说明铅球会落地两次？这显然不符合实际——因为铅球投掷后只会落地一次。3实际问题中的相切分析这里的问题出在哪里？原来，二次函数描述的是铅球从出手到落地的完整轨迹，但实际中(x)应取非负值（水平距离不能为负）。解方程得(x=\frac{8\pm\sqrt{144}}{2}=\frac{8\pm12}{2})，即(x=10)或(x=-2)。由于(x=-2)无实际意义，因此铅球仅在(x=10)米处落地，此时轨迹与x轴有一个有效交点，但代数上判别式(\Delta>0)，说明存在两个数学上的交点，其中一个是“虚拟”的（负水平距离）。这提醒我们：实际问题中需结合变量的实际意义，对解进行筛选。但“相切”的条件（(\Delta=0)）在数学上是严格的，无论变量是否有实际限制，只要(\Delta=0)，抛物线就与x轴仅有一个公共点。04常见误区与深化理解常见误区与深化理解在学习过程中，同学们容易出现以下误区，需要特别注意：1忽略二次项系数(a\neq0)例如，若题目给出“函数(y=ax^2+bx+c)与x轴相切”，隐含条件是(a\neq0)（否则是一次函数，图像为直线，与x轴要么相交要么平行，不存在“相切”）。示例6：若函数(y=(m-1)x^2+2x+1)与x轴相切，求(m)的值。错误解法：直接令(\Delta=2^2-4(m-1)\times1=0)，得(4-4m+4=0)，即(m=2)。1忽略二次项系数(a\neq0)正确解法：除了(\Delta=0)，还需(m-1\neq0)（即(m\neq1)）。而(m=2)满足(m\neq1)，故解正确。若题目改为(y=(m^2-1)x^2+2x+1)，则需(m^2-1\neq0)，即(m\neq\pm1)。2混淆“顶点在x轴”与“函数值为0”顶点在x轴上时，顶点的纵坐标为0，但函数在其他点的函数值可能为正或负（取决于开口方向）。例如，(y=(x-1)^2)的顶点在((1,0))，开口向上，当(x\neq1)时，(y>0)，这说明“相切”点是函数的最小值点（或最大值点）。3误用判别式符号部分同学可能记错判别式与根的关系，例如认为(\Delta\geq0)时抛物线与x轴相切。需明确：(\Delta>0)对应两个交点，(\Delta=0)对应一个交点（相切），(\Delta<0)对应无交点。05总结：从“相切”看二次函数的核心关联总结：从“相切”看二次函数的核心关联回顾整节课，我们围绕“二次函数图像与x轴相切的条件”展开，主要收获如下：1知识层面相切的代数条件：判别式(\Delta=b^2-4ac=0)；01相切的几何条件：抛物线的顶点纵坐标为0（即顶点在x轴上）；02两者等价，共同揭示了代数方程与几何图像的内在联系。032思想方法层面数形结合：通过代数计算（判别式）验证几何现象（顶点位置），体现了数学中“数”与“形”的统一；01分类讨论：根据判别式符号，将二次函数与x轴的位置关系分为三类（无交点、一个交点、两个交点），培养逻辑严谨性；02实际应用：将数学知识与生活情境结合（如运动轨迹、工程设计），体会数学的实用性。033学习建议多画图：通过绘制抛物线图像，直观感受相切时的顶点位置；多练习：通过不同类型的题目（判断相切