2025 九年级数学下册二次函数图像与直线 y=c 的交点个数判断课件

一、知识铺垫：二次函数与直线y=c的基本特征演讲人知识铺垫：二次函数与直线y=c的基本特征总结与升华常见误区与提升策略解题步骤与典型例题深度分析：从判别式到图像的对应关系目录2025九年级数学下册二次函数图像与直线y=c的交点个数判断课件各位同学、同行老师们：今天我们要共同探讨的主题是“二次函数图像与直线y=c的交点个数判断”。这一内容是九年级下册二次函数章节的核心知识点之一，既是对二次函数图像性质的深化理解，也是后续学习二次方程、不等式关系的重要基础。在多年的教学实践中，我发现许多同学在面对这类问题时，容易混淆“代数计算”与“图像分析”的联系，或是遗漏对二次函数开口方向的考虑。因此，今天我们将从基础概念出发，结合代数推导与几何直观，逐步拆解这一问题的本质逻辑。01知识铺垫：二次函数与直线y=c的基本特征知识铺垫：二次函数与直线y=c的基本特征要判断两者的交点个数，首先需要明确两个对象的数学表达与几何意义。1二次函数的一般形式与图像特征二次函数的一般形式为(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其图像是一条抛物线。抛物线的关键特征包括：开口方向：由二次项系数(a)的符号决定。当(a>0)时，抛物线开口向上，顶点为图像的最低点；当(a<0)时，开口向下，顶点为图像的最高点。顶点坐标：通过配方法或顶点公式(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))可求得，顶点纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a})是抛物线的极值（最小值或最大值）。对称轴：直线(x=-\frac{b}{2a})，抛物线关于对称轴对称。1二次函数的一般形式与图像特征1.2直线y=c的几何意义直线(y=c)是一条平行于x轴的水平直线，其所有点的纵坐标均为(c)。当(c>0)时，直线位于x轴上方；(c=0)时与x轴重合；(c<0)时位于x轴下方。3交点的数学本质：联立方程求解两个图像的交点坐标需同时满足(y=ax^2+bx+c)和(y=c)（注意此处直线的常数项与二次函数中的常数项重名，为避免混淆，后文直线统一记为(y=k)）。联立方程可得：[ax^2+bx+c=k]即(ax^2+bx+(c-k)=0)。这是一个关于(x)的一元二次方程，其实数根的个数直接对应二次函数与直线(y=k)的交点个数。根据一元二次方程根的判别式(\Delta=b^2-4a(c-k))，我们有以下结论：当(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根，对应两个交点；3交点的数学本质：联立方程求解当(\Delta=0)时，方程有一个实数根（重根），对应一个交点（相切）；当(\Delta<0)时，方程无实数根，无交点。02深度分析：从判别式到图像的对应关系深度分析：从判别式到图像的对应关系虽然判别式法是通用的代数工具，但结合二次函数的图像特征（开口方向与顶点纵坐标），可以更直观地理解交点个数的变化规律。这也是我们需要重点掌握的“数”与“形”结合的思维方法。1开口向上的二次函数（(a>0)）对于开口向上的抛物线，顶点是其最低点，顶点纵坐标为(k_{\text{min}}=\frac{4ac-b^2}{4a})（即(k_{\text{min}}=c-\frac{b^2}{4a})）。此时，直线(y=k)与抛物线的交点个数可分三种情况讨论：当(k>k_{\text{min}})：直线位于抛物线最低点上方，图像会“穿过”抛物线，此时方程(ax^2+bx+(c-k)=0)的判别式(\Delta=b^2-4a(c-k)=b^2-4ac+4ak=4a\left(k-\frac{4ac-b^2}{4a}\right)=4a(k-k_{\text{min}}))。由于(a>0)且(k>k_{\text{min}})，故(\Delta>0)，有两个交点。1开口向上的二次函数（(a>0)）当(k=k_{\text{min}})：直线恰好经过抛物线的最低点，此时直线与抛物线相切，判别式(\Delta=0)，有一个交点。当(k<k_{\text{min}})：直线位于抛物线最低点下方，此时抛物线整体在直线上方，无交点，判别式(\Delta<0)。举例：考虑二次函数(y=x^2-2x+3)（开口向上，顶点纵坐标(k_{\text{min}}=3-\frac{(-2)^2}{4}=3-1=2)）。当(k=4)（(k>k_{\text{min}})）时，联立方程(x^2-2x+3=4)，即(x^2-2x-1=0)，判别式(\Delta=4+4=8>0)，有两个交点；1开口向上的二次函数（(a>0)）当(k=2)（(k=k_{\text{min}})）时，方程为(x^2-2x+1=0)，判别式(\Delta=0)，有一个交点（(x=1)）；当(k=1)（(k<k_{\text{min}})）时，方程为(x^2-2x+2=0)，判别式(\Delta=4-8=-4<0)，无交点。2.2开口向下的二次函数（(a<0)）对于开口向下的抛物线，顶点是其最高点，顶点纵坐标为(k_{\text{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a})（此时(a<0)，故(k_{\text{max}})是最大值）。1开口向上的二次函数（(a>0)）类似地，直线(y=k)与抛物线的交点个数规律如下：当(k<k_{\text{max}})：直线位于抛物线最高点下方，图像会“穿过”抛物线，判别式(\Delta=4a(k-k_{\text{max}}))。由于(a<0)且(k<k_{\text{max}})，则(k-k_{\text{max}}<0)，故(\Delta=4a(\text{负数})=正数)（负负得正），有两个交点；当(k=k_{\text{max}})：直线经过抛物线的最高点，判别式(\Delta=0)，有一个交点；1开口向上的二次函数（(a>0)）当(k>k_{\text{max}})：直线位于抛物线最高点上方，抛物线整体在直线下方，无交点，判别式(\Delta<0)。举例：考虑二次函数(y=-x^2+4x-1)（开口向下，顶点纵坐标(k_{\text{max}}=-1+\frac{4^2}{4}=-1+4=3)）。当(k=2)（(k<k_{\text{max}})）时，联立方程(-x^2+4x-1=2)，即(-x^2+4x-3=0)（或(x^2-4x+3=0)），判别式(\Delta=16-12=4>0)，有两个交点（(x=1)和(x=3)）；1开口向上的二次函数（(a>0)）当(k=3)（(k=k_{\text{max}})）时，方程为(-x^2+4x-4=0)（或(x^2-4x+4=0)），判别式(\Delta=16-16=0)，有一个交点（(x=2)）；当(k=4)（(k>k_{\text{max}})）时，方程为(-x^2+4x-5=0)（或(x^2-4x+5=0)），判别式(\Delta=16-20=-4<0)，无交点。3特殊情况：二次函数的顶点式简化分析若二次函数写成顶点式(y=a(x-h)^2+k)（其中((h,k))为顶点），则与直线(y=c)的联立方程为(a(x-h)^2+k=c)，即(a(x-h)^2=c-k)。此时分析更直观：当(a>0)时，左边(a(x-h)^2\geq0)，故方程有解的条件是(c-k\geq0)（即(c\geqk)）：(c>k)时，((x-h)^2=\frac{c-k}{a}>0)，有两个不同的解；(c=k)时，((x-h)^2=0)，有一个解；3特殊情况：二次函数的顶点式简化分析(c<k)时，无解。当(a<0)时，左边(a(x-h)^2\leq0)，故方程有解的条件是(c-k\leq0)（即(c\leqk)）：(c<k)时，((x-h)^2=\frac{c-k}{a}>0)（因(a<0)且(c-k<0)，分数为正），有两个不同的解；(c=k)时，((x-h)^2=0)，有一个解；(c>k)时，无解。这进一步验证了前文通过判别式得出的结论，也说明顶点式在分析交点个数时的简洁性。03解题步骤与典型例题解题步骤与典型例题掌握理论后，我们需要将其转化为可操作的解题步骤，并通过例题巩固。1通用解题步骤判断二次函数(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）与直线(y=k)的交点个数，可按以下步骤进行：确定二次函数的开口方向（由(a)的符号判断）；计算顶点纵坐标(k_{\text{ext}})（(k_{\text{ext}}=\frac{4ac-b^2}{4a})，开口向上时为最小值，向下时为最大值）；比较(k)与(k_{\text{ext}})的大小关系，结合开口方向判断交点个数；或1通用解题步骤联立方程，计算判别式(\Delta=b^2-4a(c-k))，根据(\Delta)的符号判断。两种方法本质一致，可根据题目条件选择更简便的方式（如已知顶点式时用顶点法，一般式时用判别式法）。2典型例题解析例1：已知二次函数(y=2x^2-4x+1)，判断其与直线(y=-1)、(y=0)、(y=1)的交点个数。解析：开口方向：(a=2>0)，开口向上，顶点为最低点；顶点纵坐标(k_{\text{min}}=\frac{4\times2\times1-(-4)^2}{4\times2}=\frac{8-16}{8}=-1)；比较(k)与(k_{\text{min}})：当(k=-1)（等于(k_{\text{min}})）：有1个交点；2典型例题解析当(k=0)（大于(k_{\text{min}})）：有2个交点；当(k=1)（大于(k_{\text{min}})）：有2个交点。验证：联立(2x^2-4x+1=k)，即(2x^2-4x+(1-k)=0)，判别式(\Delta=16-8(1-k)=16-8+8k=8+8k=8(k+1))。(k=-1)时，(\Delta=0)，1个交点；(k=0)时，(\Delta=8>0)，2个交点；2典型例题解析(k=1)时，(\Delta=16>0)，2个交点。结果一致。例2：已知二次函数(y=-3x^2+6x+5)与直线(y=m)有且只有一个交点，求(m)的值。解析：开口方向：(a=-3<0)，开口向下，顶点为最高点；顶点纵坐标(k_{\text{max}}=\frac{4\times(-3)\times5-6^2}{4\times(-3)}=\frac{-60-36}{-12}=\frac{-96}{-12}=8)；2典型例题解析当直线与抛物线有且只有一个交点时，(m=k_{\text{max}}=8)。验证：联立方程(-3x^2+6x+5=m)，即(-3x^2+6x+(5-m)=0)，判别式(\Delta=36-4\times(-3)(5-m)=36+12(5-m)=36+60-12m=96-12m)。令(\Delta=0)，解得(96-12m=0)，即(m=8)，与顶点法结果一致。例3：若二次函数(y=ax^2+bx+c)（(a>0)）的图像与直线(y=2)有两个交点，与直线(y=5)无交点，求该二次函数顶点纵坐标的取值范围。2典型例题解析解析：开口向上，顶点纵坐标(k_{\text{min}})是最小值；与(y=2)有两个交点，说明(2>k_{\text{min}})（因开口向上时，(k>k_{\text{min}})才有两个交点）；与(y=5)无交点，说明(5<k_{\text{min}})（矛盾？此处需注意逻辑！）哦，这里可能出错了！开口向上的抛物线，当直线(y=k)位于顶点上方（(k>k_{\text{min}})）时有两个交点，位于顶点下方（(k<k_{\text{min}})）时无交点。2典型例题解析题目中说与(y=2)有两个交点，说明(2>k_{\text{min}})；与(y=5)无交点，说明(5<k_{\text{min}})。但(2>k_{\text{min}})且(5<k_{\text{min}})是不可能的，说明题目可能存在矛盾，或我理解有误？重新分析：题目中“与直线(y=5)无交点”，对于开口向上的抛物线，无交点的条件是(k<k_{\text{min}})，因此(5<k_{\text{min}})；而“与(y=2)有两个交点”的条件是(2>k_{\text{min}})。但(5<k_{\text{min}})且(2>k_{\text{min}})意味着(5<k_{\text{min}}<2)，这显然不可能。因此题目可能存在表述错误，或我需要重新检查逻辑。2典型例题解析哦，错误在于：开口向上时，直线(y=k)与抛物线有两个交点的条件是(k>k_{\text{min}})，无交点的条件是(k<k_{\text{min}})。因此题目中“与(y=2)有两个交点”说明(2>k_{\text{min}})，“与(y=5)无交点”说明(5<k_{\text{min}})，但(2>k_{\text{min}})和(5<k_{\text{min}})无法同时成立，因此题目条件矛盾，无解。这也提醒我们在解题时要注意逻辑的自洽性。04常见误区与提升策略常见误区与提升策略在教学中，我发现学生容易出现以下误区，需特别注意：1混淆开口方向对交点条件的影响部分同学会错误地认为“无论开口方向如何，只要(k)大于顶点纵坐标就有两个交点”。实际上，开口向上时(k>k_{\text{min}})有两个交点，开口向下时(k<k_{\text{max}})有两个交点。解决方法是结合图像记忆：开口向上的抛物线像“碗”，装水（直线(y=k)）时，水面高于碗底（(k>k_{\text{min}})）才会有两个接触点；开口向下的抛物线像“倒扣的碗”，水面低于碗顶（(k<k_{\text{max}})）才会有两个接触点。4.2忽略二次函数的定义（(a\neq0)）虽然题目明确是“二次函数”，但个别同学可能在联立方程后，错误地将其视为一次方程（如当(a=0)时）。需强调二次函数的定义中(a\neq0)，因此联立后的方程一定是一元二次方程，判别式法始终适用。3计算顶点纵坐标时符号错误顶点纵坐标公式(k=\frac{4ac-b^2}{4a})中，分子是(4ac-b^2)，分母是(4a)。部分同学会误写成(\frac{4ac+b^2}{4a})，或忘记分母的(4a)。建议通过配方法推导顶点式来强化记忆：[y=ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=a