2025 九年级数学下册二次函数图像与直线相切的判别式应用课件

一、温故知新：从位置关系到判别式的逻辑铺垫演讲人温故知新：从位置关系到判别式的逻辑铺垫01典型例题：判别式应用的四类常见题型02原理推导：二次函数与直线相切的充要条件03总结与提升：判别式应用的核心逻辑与学习建议04目录2025九年级数学下册二次函数图像与直线相切的判别式应用课件各位同学，今天我们将共同探索二次函数图像与直线相切的判别式应用。这是九年级下册“二次函数”章节的核心内容之一，也是后续学习解析几何的重要基础。作为陪伴大家三年的数学老师，我深知这部分知识需要从“理解原理—掌握方法—灵活应用”逐步推进，因此今天的课程我将结合多年教学经验，通过“温故知新—原理推导—典型例题—拓展应用”四大模块，带大家系统掌握这一知识点。01温故知新：从位置关系到判别式的逻辑铺垫1二次函数与直线的三种位置关系回顾在学习一次函数与二次函数的图像时，我们已经接触过两者的位置关系。回忆一下，当一条直线与抛物线（二次函数图像）相遇时，可能出现几种情况？通过画图观察，我们发现有三种典型情形：（1）相交：直线与抛物线有两个不同的公共点（如y=x²与y=x+2，联立后方程x²-x-2=0有两个不等实根）；（2）相切：直线与抛物线仅有一个公共点（如y=x²与y=2x-1，联立后方程x²-2x+1=0有两个相等实根）；（3）相离：直线与抛物线没有公共点（如y=x²与y=-x-3，联立后方程x²+x1二次函数与直线的三种位置关系回顾+3=0无实根）。这三种位置关系的本质是什么？其实是联立方程后得到的一元二次方程根的个数问题——这正是判别式（Δ=b²-4ac）的核心作用：Δ>0时，方程有两个不等实根（相交）；Δ=0时，方程有两个相等实根（相切）；Δ<0时，方程无实根（相离）。1.2判别式的“前世今生”：从一元二次方程到函数图像的桥梁判别式是我们在八年级学习一元二次方程时接触的概念，当时它的作用是判断方程根的情况。而当我们将二次函数与一次函数联立，本质上是在求解两个函数值相等时的自变量x的值，即解方程ax²+bx+c=kx+m（其中a≠0，k为直线斜率）。整理后得到标准一元二次方程形式：ax²+(b−k)x+(c−m)=0。此时，判别式Δ=(b−k)²−4a(c−m)的符号直接决定了方程根的个数，进而对应图像的位置关系。1二次函数与直线的三种位置关系回顾这里需要特别强调：判别式的应用前提是联立后的方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0（因为二次函数的定义要求a≠0）。若a=0，原函数退化为一次函数，此时直线与“抛物线”的位置关系实为两条直线的位置关系（平行或重合），但这种情况不在我们今天的讨论范围内。02原理推导：二次函数与直线相切的充要条件1相切条件的数学表达既然相切对应联立方程有且仅有一个实根，那么根据判别式的性质，相切的充要条件就是Δ=0。我们可以用数学语言严格表述这一过程：已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），直线y=kx+m（k、m为常数）。联立方程：ax²+bx+c=kx+m⇒ax²+(b−k)x+(c−m)=0。判别式：Δ=(b−k)²−4a(c−m)。相切条件：Δ=0⇨(b−k)²=4a(c−m)。这一公式是解决所有“二次函数与直线相切”问题的核心工具。需要注意的是，公式中的参数对应关系：k是直线的斜率，m是直线的截距，a、b、c是二次函数的系数。在具体问题中，这些参数可能以“已知”或“未知”的形式出现，需要我们根据题目要求灵活代入。2从几何直观到代数证明的思维跨越为了帮助大家更深刻理解这一条件，我们可以结合几何图形进行验证。以最常见的抛物线y=x²为例，取一条斜率为k的直线y=kx+m，观察其与抛物线相切的情况。当k=2时，假设直线y=2x+m与y=x²相切，联立方程得x²−2x−m=0，此时Δ=(−2)²−4×1×(−m)=4+4m。令Δ=0，解得m=−1，对应的直线方程为y=2x−1。我们可以画图验证：抛物线y=x²在点(1,1)处的切线斜率为2（通过求导或顶点法可得），而直线y=2x−1恰好经过该点且与抛物线仅有一个交点，这与我们的计算完全一致。这一过程体现了“代数—几何”的双向验证：代数计算通过判别式得到相切条件，几何图形则直观展示了相切的位置特征。这种思维方式在后续学习解析几何时会反复用到，希望同学们逐步养成“数形结合”的解题习惯。03典型例题：判别式应用的四类常见题型1已知二次函数与直线相切，求直线参数例1：已知抛物线y=2x²−4x+3与直线y=kx+1相切，求k的值。分析：根据相切条件，联立方程后判别式Δ=0。步骤：（1）联立方程：2x²−4x+3=kx+1⇒2x²−(4+k)x+2=0；（2）计算判别式：Δ=[−(4+k)]²−4×2×2=(k+4)²−16；（3）令Δ=0：(k+4)²−16=0⇒(k+4)²=16⇒k+4=±4⇒k=0或k=−8。验证：当k=0时，直线为y=1，联立方程得2x²−4x+2=0⇒2(x−1)²=0，根为x=1（重根），符合相切；当k=−8时，直线为y=−8x+1，联立方程得2x²+4x+2=0⇒2(x+1)²=0，根为x=−1（重根），同样符合相切。1已知二次函数与直线相切，求直线参数易错点提醒：计算判别式时，注意符号问题（如例中二次项系数为2，一次项系数为−(4+k)，常数项为2），避免因符号错误导致结果偏差。3.2已知直线与二次函数相切，求二次函数参数例2：已知直线y=3x−5与抛物线y=ax²+2x+c相切，且抛物线经过点(1,−1)，求a和c的值。分析：题目给出两个条件——相切（Δ=0）和抛物线过点(1,−1)（代入求参数），需联立方程组求解。步骤：1已知二次函数与直线相切，求直线参数1（1）代入点(1,−1)：a×1²+2×1+c=−1⇒a+c=−3（方程①）；2（2）联立直线与抛物线方程：ax²+2x+c=3x−5⇒ax²−x+(c+5)=0；3（3）相切条件Δ=0：(−1)²−4×a×(c+5)=0⇒1−4a(c+5)=0（方程②）；4（4）联立方程①和②：由①得c=−3−a，代入②得1−4a(−3−a+5)=0⇒1−4a(2−a)=0⇒1−8a+4a²=0⇒4a²−8a+1=0；5（5）解二次方程：a=[8±√(64−16)]/8=[8±√48]/8=[8±4√3]/8=1±(√3)/2；1已知二次函数与直线相切，求直线参数（6）求c：当a=1+(√3)/2时，c=−3−[1+(√3)/2]=−4−(√3)/2；当a=1−(√3)/2时，c=−4+(√3)/2。总结：此类问题需结合“点在图像上”和“相切条件”两个方程，通过消元法求解参数，计算量较大，需耐心核对每一步。3求二次函数的切线方程例3：求抛物线y=x²−2x+1的斜率为3的切线方程。1分析：切线方程可设为y=3x+m，利用相切条件求m的值。2步骤：3（1）设切线方程为y=3x+m；4（2）联立方程：x²−2x+1=3x+m⇒x²−5x+(1−m)=0；5（3）判别式Δ=(−5)²−4×1×(1−m)=25−4+4m=21+4m；6（4）令Δ=0：21+4m=0⇒m=−21/4；73求二次函数的切线方程（5）切线方程为y=3x−21/4。拓展思考：若题目未指定斜率，如何求抛物线在某一点的切线方程？例如，求抛物线y=x²−2x+1在点(2,1)处的切线方程。此时可利用“点在切线上”和“相切条件”联立求解，或通过导数法（高中内容）直接求斜率，结果为y=2x−3（同学们可自行验证）。4实际问题中的相切应用例4：某公园计划修建一座抛物线型拱门，其横截面的抛物线方程为y=−0.5x²+h（h为拱门顶点高度），现需在拱门内安装一盏宽度为4米的路灯，路灯顶部所在直线为y=k（k为常数）。为确保路灯顶部刚好与拱门相切，求h与k的关系。分析：路灯顶部直线为y=k（水平直线），与抛物线y=−0.5x²+h相切，联立方程后判别式Δ=0。步骤：（1）联立方程：−0.5x²+h=k⇒−0.5x²+(h−k)=0⇒x²=2(h−k)；（2）该方程为一元二次方程（二次项系数−0.5≠0），判别式Δ=0²−4×(−0.5)×(h−k)=2(h−k)；4实际问题中的相切应用（3）令Δ=0：2(h−k)=0⇒h=k；（4）但需注意，原方程x²=2(h−k)有且仅有一个实根的条件是2(h−k)=0（即x=0），此时直线y=k与抛物线仅在顶点(0,h)处相切，符合题意。实际意义：当路灯顶部高度k等于拱门顶点高度h时，路灯刚好与拱门顶部相切，这是安装的临界位置，既不会因k>h导致路灯超出拱门，也不会因k<h导致路灯与拱门有两个交点（需预留空间）。此类问题体现了数学在实际工程中的应用价值。04总结与提升：判别式应用的核心逻辑与学习建议1知识体系的结构化总结通过今天的学习，我们构建了以下知识链条：二次函数与直线的位置关系→联立方程转化为一元二次方程→判别式Δ判断根的个数→Δ=0对应相切。这一过程的关键在于“转化”——将几何问题转化为代数问题，用判别式这一工具定量分析位置关系。需要特别强调的是，判别式的应用必须满足一元二次方程的前提（二次项系数不为0），这是解题时容易忽略的隐含条件。2常见误区与应对策略在教学中，我发现同学们容易出现以下错误：（1）联立方程时符号错误：如将y=ax²+bx+c与y=kx+m联立时，误写为ax²+bx+c−kx+m=0（正确应为ax²+(b−k)x+(c−m)=0），需注意移项时的符号变化；（2）忽略二次项系数非零：当题目中二次函数的系数含有参数时（如y=ax²+bx+c，a未知），需先判断a≠0，否则函数可能退化为一次函数；（3）实际问题中忽略几何意义：如例4中，若直接解方程x²=2(h−k)，可能会忽略“仅有一个实根”对应x=0的几何意义（顶点处相切），需结合图像理解代数结果。应对策略：养成“先画图后计算”的习惯，通过图像直观判断位置关系，再用代数方法验证；计算时分步书写，重点标注符号和系数，避免低级错误。3课后延伸与能力提升为了巩固所学知识，建议同学们完成以下任务：（1）基础练习：课本P56习题21.2第5题（已知二次函数与直线相切，求直线截距）；（2）拓展探究：尝试用判别式证明“抛物线y=ax²+bx+c的顶点处切线平行于x轴”（提示：顶点处切线斜率为0，联立y=0x+m与抛物线，利用Δ=0求m）；（3）生活实践：观察身边的抛