2025 九年级数学下册位似图形的坐标变换规律课件

一、知识铺垫：从相似到位似的逻辑延伸演讲人知识铺垫：从相似到位似的逻辑延伸01应用提升：从规律掌握到问题解决的迁移02探究规律：从具体实例到一般结论的归纳03总结升华：从规律到思想的深度凝练04目录2025九年级数学下册位似图形的坐标变换规律课件各位同学、同仁，今天我们将共同走进“位似图形的坐标变换规律”这一主题。作为九年级下册“图形的相似”章节的核心内容之一，位似图形的坐标变换不仅是相似图形性质的深化应用，更是连接几何直观与代数运算的重要桥梁。我从事初中数学教学十余年，深知这部分内容对学生空间观念、坐标意识及逻辑推理能力的培养具有关键作用。接下来，我将结合教学实践与同学们的认知特点，从“知识铺垫—探究规律—应用提升—总结升华”四个维度展开讲解。01知识铺垫：从相似到位似的逻辑延伸1相似图形的回顾在学习位似图形之前，我们首先需要明确其“血缘关系”——相似图形。相似图形的本质是形状相同、大小可能不同的图形，其判定依据是对应角相等、对应边成比例，比例系数称为相似比（或位似比）。例如，两个边长分别为2cm和4cm的正方形，相似比为1:2；放大3倍的三角形与原三角形也是相似图形。2位似图形的定义与特性位似图形是相似图形的特殊情形，其特殊性体现在存在一个公共点（位似中心），使得所有对应点的连线都经过该点，且对应点到位似中心的距离之比等于相似比。例如，用放大镜观察文字时，原文字与放大后的文字就是以放大镜中心为位似中心的位似图形；地图与实际地形之间的缩放关系，若以地图的某个固定点（如坐标原点）为位似中心，也可视为位似图形。关键区分点：相似图形不一定位似（如平移后的相似图形），但位似图形一定相似，且具有“共点性”这一独特属性。3平面直角坐标系的工具价值当位似图形被放置在平面直角坐标系中时，其位置关系可以通过坐标数值的变化精确描述。坐标系的引入，使得我们能够将几何变换转化为代数运算，这正是“数形结合”思想的典型应用。例如，一个顶点在(1,1)的三角形，若以原点为位似中心放大2倍，其对应顶点的坐标变化规律可通过计算直接推导。02探究规律：从具体实例到一般结论的归纳1位似中心在坐标原点的情形这是最基础且常见的位似变换场景，我们通过具体实例展开探究。实例1：已知△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,1)、C(2,4)，以原点O为位似中心，位似比为2，画出位似图形△A'B'C'，并观察对应点坐标的关系。操作步骤：（1）连接OA并延长至A'，使OA':OA=2:1，则A'的坐标可通过向量放大2倍得到：A'(1×2,2×2)=(2,4)；（2）同理，B'(3×2,1×2)=(6,2)，C'(2×2,4×2)=(4,8)；（3）验证△A'B'C'与△ABC的相似性：计算边长AB=√[(3-1)²+(1-2)²]=√5，A'B'=√[(6-2)²+(2-4)²]=√(16+4)=√1位似中心在坐标原点的情形20=2√5，比例为2:1，符合位似比。观察结论：当位似中心在原点、位似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)。实例2：若位似比为-2（即位似图形与原图形在位似中心的两侧），则A'的坐标为(1×(-2),2×(-2))=(-2,-4)，B'=(-6,-2)，C'=(-4,-8)。此时对应点坐标为(-kx,-ky)。规律提炼：当位似中心在原点时，若位似比为k（k≠0），则原图形上点P(x,y)的对应点P'的坐标为：当k>0时，P'(kx,ky)（位似图形与原图形在位似中心同侧）；1位似中心在坐标原点的情形当k<0时，P'(kx,ky)（本质是k的绝对值为相似比，负号表示方向相反，即位似图形与原图形在位似中心异侧）。2位似中心不在坐标原点的情形实际问题中，位似中心可能是任意点（如(2,3)），此时坐标变换规律需要更复杂的推导。实例3：已知△DEF的顶点为D(0,0)、E(2,0)、F(0,2)，以点G(1,1)为位似中心，位似比为2，求对应点D'E'F'的坐标。分析思路：位似变换的本质是以位似中心为端点的射线缩放。对于任意一点P，其对应点P'满足向量GP'=k向量GP（k为位似比）。具体计算：（1）向量GD=D-G=(0-1,0-1)=(-1,-1)，则向量GD'=2向量GD=(-2,-2)，因此D'=G+向量GD'=(1-2,1-2)=(-1,-1)；2位似中心不在坐标原点的情形（2）向量GE=E-G=(2-1,0-1)=(1,-1)，向量GE'=2(1,-1)=(2,-2)，因此E'=G+(2,-2)=(1+2,1-2)=(3,-1)；（3）向量GF=F-G=(0-1,2-1)=(-1,1)，向量GF'=2(-1,1)=(-2,2)，因此F'=G+(-2,2)=(1-2,1+2)=(-1,3)。验证相似性：计算DE=2（水平边长），D'E'=√[(3-(-1))²+(-1-(-1))²]=√[16+0]=4=2×DE，符合位似比2:1。规律推导：2位似中心不在坐标原点的情形设位似中心为H(h,k)，原图形上点P(x,y)，位似比为m，则对应点P'(x',y')满足：向量HP'=m向量HP⇒(x'-h,y'-k)=m(x-h,y-k)因此，坐标变换公式为：x'=h+m(x-h)=mx+h(1-m)y'=k+m(y-k)=my+k(1-m)特殊情形验证：当H为原点(0,0)时，公式简化为x'=mx，y'=my，与2.1节结论一致，说明规律具有普适性。3位似比的正负与图形位置关系位似比的正负不仅表示缩放比例，还决定了位似图形与原图形的相对位置：当m>0时，对应点与原图形在位似中心的同侧（如实例1）；当m<0时，对应点与原图形在位似中心的异侧（如实例2中m=-2时，A'(-2,-4)与A(1,2)分别在原点两侧）。教学观察：学生在理解位似比为负数时易混淆“方向”与“缩放”的关系，可通过绘制坐标系示意图辅助分析，例如在实例2中，连接OA并反向延长至A'，使OA'=2OA，直观展示异侧的位置关系。03应用提升：从规律掌握到问题解决的迁移1已知位似变换求坐标例题1：如图，四边形ABCD的顶点坐标为A(1,1)、B(3,2)、C(4,4)、D(2,3)，以原点为位似中心，位似比为-3，求四边形A'B'C'D'的顶点坐标。解题步骤：（1）明确位似中心在原点，位似比m=-3；（2）根据规律，A'(1×(-3),1×(-3))=(-3,-3)；（3）同理，B'(3×(-3),2×(-3))=(-9,-6)，C'(4×(-3),4×(-3))=(-12,-12)，D'(2×(-3),3×(-3))=(-6,-9)；1已知位似变换求坐标（4）验证：计算AB的长度为√[(3-1)²+(2-1)²]=√5，A'B'的长度为√[(-9+3)²+(-6+3)²]=√(36+9)=√45=3√5=|m|×AB，符合位似比。2已知坐标求位似中心与位似比例题2：△PQR与△P'Q'R'是位似图形，其中P(2,4)、P'(6,12)，Q(1,3)、Q'(3,9)，R(0,2)、R'(0,6)，求位似中心和位似比。分析思路：位似图形的对应点连线交于位似中心，因此可通过任意两组对应点连线的交点确定位似中心。解题步骤：（1）求直线PP'的方程：P(2,4)、P'(6,12)，斜率k=(12-4)/(6-2)=2，方程为y-4=2(x-2)，即y=2x；（2）求直线QQ'的方程：Q(1,3)、Q'(3,9)，斜率k=(9-3)/(3-1)=3，方程为y-3=3(x-1)，即y=3x；（3）联立y=2x与y=3x，解得交点为(0,0)，即位似中心为原点；2已知坐标求位似中心与位似比（4）计算位似比：OP'=√(6²+12²)=√(36+144)=√180=6√5，OP=√(2²+4²)=√20=2√5，位似比m=OP'/OP=6√5/(2√5)=3。易错点提醒：若对应点连线平行（即位似中心在无穷远处），此时图形为平移变换，不属于位似图形，需注意排除这种情况。3实际问题中的位似变换例题3：某城市规划图中，公园的四个顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3)，现需将公园在规划图中以点O(0,0)为位似中心放大，使放大后的公园面积为原面积的4倍，求放大后各顶点的坐标。解题思路：面积比等于相似比的平方，因此相似比m=√4=2（取正值，因面积放大）。解答过程：原公园为正方形，边长2，面积4；放大后面积16，边长4，相似比2。各顶点坐标：A'(1×2,1×2)=(2,2)，B'(3×2,1×2)=(6,2)，C'(3×2,3×2)=(6,6)，D'(1×2,3×2)=(2,6)。04总结升华：从规律到思想的深度凝练1核心规律总结位似图形的坐标变换规律可概括为“一中心两比例”：位似中心：决定变换的基准点，坐标为(h,k)；位似比m：决定缩放比例（|m|）和方向（m>0同侧，m<0异侧）；坐标公式：当位似中心为(h,k)时，原图形点(x,y)的对应点坐标为(mx+h(1-m),my+k(1-m))；当位似中心在原点时，公式简化为(mx,my)。2数学思想渗透本节课的学习过程中，我们深度体验了“数形结合”思想——通过坐标系将几何变换转化为代数运算；运用了“从特殊到一般”的归纳思想——从原点位似中心推广到任意位似中心；还强化了“类比推理”能力——将相似图形的性质与位似图形的特性对比分析。3学习价值延伸位似图形的坐标变换不仅是中考的高频考点（近五年全国卷中涉及位似的题目占比约8%），更是后续学习函数图像变换（如反比例函数的位似性）、投影与视图（中心投影的数学本质即位似）的重要基础。同学们在课后可尝试观察生活中的位似现象（如电影放映机的成像、地图比例尺等），用坐标变换的眼光重新认识世界，你会发现数学的“相似之美”无处不在。课后作业：基础题：课本P45练习1、2（位似中心在原点的坐标变换）；提升题：已知△ABC的顶点A(2,5)、B(4,3)、C(1,2)，以点D(3,4)为位似中心，位似比为-1/2，求△A'B'C'的顶点坐标；