2025 九年级数学下册相似三角形对应高的比计算课件

一、知识铺垫：相似三角形的基本性质回顾演讲人CONTENTS知识铺垫：相似三角形的基本性质回顾核心探究：相似三角形对应高的比等于相似比应用实践：从理论到解题的跨越易错警示：学生常见错误与应对策略总结与升华：从“高的比”看相似三角形的本质目录2025九年级数学下册相似三角形对应高的比计算课件各位同学、老师们：今天我们将共同探索相似三角形中一个重要的性质——对应高的比。作为相似三角形性质的延伸内容，这部分知识既是对前面“相似三角形判定与基本性质”的深化，也是后续学习“相似多边形周长比、面积比”的基础。在正式展开前，我想先分享一个教学中的观察：每当讲到“相似三角形对应线段的比”时，总有同学会疑惑“高、中线、角平分线这些线段是否都满足相同的比例关系”。今天，我们就从“对应高的比”入手，通过严谨的推导、丰富的实例，解开这个疑问。01知识铺垫：相似三角形的基本性质回顾知识铺垫：相似三角形的基本性质回顾要理解“对应高的比”，首先需要明确相似三角形的核心定义与基础性质。1相似三角形的定义相似三角形是指三个角分别相等，三边成比例的两个三角形。用符号表示为△ABC∽△A'B'C'，其中对应顶点的字母顺序决定了对应关系（如∠A对应∠A'，边AB对应边A'B'）。相似的本质是“形状相同，大小可能不同”，这种“相同形状”的特征，决定了它们的对应线段（如高、中线、角平分线）必然存在某种比例关系。2相似三角形的基本性质对应角相等：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'；周长比等于相似比：△ABC周长/△A'B'C'周长=k；根据定义，相似三角形有以下核心性质：对应边成比例：AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k（k为相似比，k>0）；面积比等于相似比的平方：S△ABC/S△A'B'C'=k²（这一性质我们后续会详细探讨）。这些性质中，“对应边成比例”是最基础的，而“对应高的比”正是由这一性质推导而来的衍生性质。01020304050602核心探究：相似三角形对应高的比等于相似比核心探究：相似三角形对应高的比等于相似比2.1问题的提出：高是否属于“对应线段”？在△ABC∽△A'B'C'中，若CD是△ABC中AB边上的高（即CD⊥AB于D），C'D'是△A'B'C'中A'B'边上的高（C'D'⊥A'B'于D'），那么CD与C'D'的比是多少？是否等于相似比k？要解决这个问题，我们需要明确两个关键点：（1）CD和C'D'是否是“对应高”？即它们是否对应于相似三角形的对应边上的高；（2）如何通过已知的相似性质推导出高的比例关系。2严谨推导：从相似到高的比已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，即AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k；CD⊥AB于D，C'D'⊥A'B'于D'，其中CD是△ABC中AB边上的高，C'D'是△A'B'C'中A'B'边上的高（对应边的高）。求证：CD/C'D'=k。证明过程：步骤1：分析高所形成的直角三角形。因为CD⊥AB，C'D'⊥A'B'，所以∠CDA=∠C'D'A'=90（直角定义）。步骤2：利用相似三角形的对应角相等。由△ABC∽△A'B'C'，可知∠A=∠A'（对应角相等）。2严谨推导：从相似到高的比步骤3：证明△ACD∽△A'C'D'。在△ACD和△A'C'D'中：∠A=∠A'（已证）；∠CDA=∠C'D'A'=90（已证）；根据“两角分别相等的两个三角形相似”（AA判定定理），可得△ACD∽△A'C'D'。步骤4：推导高的比等于相似比。由△ACD∽△A'C'D'，可知对应边成比例，即CD/C'D'=AC/A'C'（相似三角形对应边成比例）。2严谨推导：从相似到高的比而△ABC∽△A'B'C'的相似比k=AC/A'C'（对应边的比），因此CD/C'D'=k。结论：相似三角形对应边上的高的比等于它们的相似比。3关键辨析：“对应高”的界定在推导中，“对应高”的定义至关重要。所谓“对应高”，是指：高所在的边是相似三角形的对应边（如AB与A'B'是对应边，CD和C'D'分别是这两边上的高）；高的垂足在对应边上的位置也需满足相似关系（即AD/A'D'=AB/A'B'=k）。若高所在的边不对应（例如△ABC中AB边上的高与△A'B'C'中B'C'边上的高），则它们的比不一定等于相似比。这一点在解题中容易出错，需要特别注意。03应用实践：从理论到解题的跨越1基础应用：已知相似比求高的比例1：已知△ABC∽△DEF，相似比为2:3，△ABC中BC边上的高为4cm，求△DEF中EF边上的高。分析：相似比k=2/3（注意顺序：△ABC对应△DEF）；对应高的比等于相似比，即h_ABC/h_DEF=k；已知h_ABC=4cm，代入得4/h_DEF=2/3→h_DEF=6cm。答案：6cm。总结：解题时需明确相似比的顺序（前项对应第一个三角形，后项对应第二个），避免比例颠倒。2逆向应用：已知高的比求相似比或边长例2：△MNP∽△XYZ，MN边上的高为8dm，XY边上的高为12dm，且△MNP的周长为20dm，求△XYZ的周长。分析：对应高的比=8/12=2/3，因此相似比k=2/3（△MNP:△XYZ）；相似三角形的周长比等于相似比，即C_MNP/C_XYZ=2/3；已知C_MNP=20dm，代入得20/C_XYZ=2/3→C_XYZ=30dm。答案：30dm。总结：本题综合了“高的比”与“周长比”的性质，需注意相似比的一致性（高的比、周长比均等于相似比）。3综合应用：结合面积比的计算例3：如图，△ABC∽△ADE，相似比为3:1，△ABC的面积为18cm²，AD边上的高为2cm，求DE的长度。分析：相似比k=3:1（△ABC:△ADE），因此面积比=k²=9:1；△ADE的面积=18/9=2cm²；△ADE的面积=1/2×AD×h_DE（h_DE为DE边上的高）；但题目中给出的是“AD边上的高”，即从E到AD的垂线段长度为2cm，记为h'；由于△ADE中，AD边上的高h'=2cm，面积=1/2×AD×h'=2→1/2×AD×2=2→AD=2cm；由相似比k=AB/AD=3/1（对应边AB与AD），得AB=3×AD=6cm；3综合应用：结合面积比的计算1又DE与BC是对应边，相似比k=BC/DE=3/1→DE=BC/3；但题目未直接给BC，需换角度思考：2另一种思路：△ABC的面积=1/2×AB×h_BC=18（h_BC为BC边上的高）；而△ADE的面积=1/2×AD×h_DE=2（h_DE为DE边上的高）；3由对应高的比=k=3:1，若h_BC=3h_DE，则1/2×AB×3h_DE=18，1/2×AD×h_DE=2；4由AD=AB/3（相似比k=AB/AD=3），代入第二个式子得1/2×(AB/3)×h_DE=2→1/2×AB×h_DE=6；5结合第一个式子1/2×AB×3h_DE=18→3×(1/2×AB×h_DE)=18→3×6=18，验证成立；3综合应用：结合面积比的计算0504020301因此DE的长度可通过相似比直接求：DE=BC/3，但题目未给BC，可能需要用面积与高的关系求DE；更简单的方法：△ADE的面积=1/2×DE×h_AD'（h_AD'为AD边上的高，即题目中给出的2cm），但这里AD与DE是邻边，高的对应关系需明确；实际上，题目中“AD边上的高”是从E到AD的垂线，与DE无关，因此正确的做法是利用相似三角形的边长比：相似比k=3:1，因此DE=BC/3；而△ABC的面积=1/2×BC×h_BC=18，△ADE的面积=1/2×DE×h_DE=2；又h_BC/h_DE=3（对应高的比=k=3），即h_BC=3h_DE；3综合应用：结合面积比的计算1代入△ABC面积：1/2×BC×3h_DE=18→(3/2)×BC×h_DE=18→BC×h_DE=12；2△ADE面积：1/2×DE×h_DE=2→DE×h_DE=4；3由于DE=BC/3（相似比），代入得(BC/3)×h_DE=4→BC×h_DE=12，与上式一致，因此DE=4/h_DE；4但h_DE未知，需结合AD边上的高为2cm。AD边上的高是从E到AD的垂线，记为h_E-AD=2cm；5在△ADE中，面积=1/2×AD×h_E-AD=2→1/2×AD×2=2→AD=2cm；6由相似比k=AB/AD=3/1→AB=6cm；3综合应用：结合面积比的计算010203040506又△ADE∽△ABC，对应边AD与AB，AE与AC，DE与BC；因此DE/BC=AD/AB=1/3→DE=BC/3；但题目要求求DE的长度，需找到BC或其他边长。可能题目中存在图形信息未描述，假设DE为底边，AD为侧边，则可通过面积公式直接求：△ADE的面积=1/2×DE×h_AD'（h_AD'为DE边上的高），但题目中给出的是AD边上的高，因此可能我的分析有误；正确的简化方法：相似比为3:1，对应高的比为3:1，因此若△ABC中某边上的高为3h，则△ADE中对应边上的高为h；题目中△ADE的AD边上的高为2cm，假设AD在△ADE中对应的边是AB在△ABC中，则AB边上的高在△ABC中为3×2=6cm；3综合应用：结合面积比的计算△ABC的面积=1/2×AB×6=18→AB=6cm，因此AD=AB/3=2cm（符合之前结论）；但DE的长度需要更多信息，可能题目中存在疏漏，或我需要换角度思考：由于相似三角形的面积比为9:1，△ADE面积为2cm²，而AD边上的高为2cm，因此AD=2cm（由面积=1/2×底×高），DE作为对应边，与BC的比为1:3，但DE的具体长度无法确定，除非有更多条件。这说明在解题时，需明确已知条件与所求的对应关系，避免混淆。总结：综合题需结合相似三角形的多种性质（高的比、周长比、面积比），并注意“对应”的严格性。遇到复杂问题时，可通过标注对应顶点、画出图形辅助分析。04易错警示：学生常见错误与应对策略易错警示：学生常见错误与应对策略在教学中，我发现学生在应用“相似三角形对应高的比”时，容易出现以下错误：1错误1：混淆“对应高”与“任意高”案例：△ABC∽△DEF，相似比为2:1，△ABC中BC边上的高为5cm，求△DEF中AC边上的高。错误解答：直接认为高的比为2:1，因此△DEF中AC边上的高=5/2=2.5cm。错误原因：AC与BC不是对应边（假设△ABC的对应边为AB→DE，BC→EF，AC→DF），因此AC边上的高与BC边上的高不构成“对应高”，它们的比不一定等于相似比。应对策略：解题前先明确相似三角形的对应顶点（如△ABC∽△DEF意味着A→D，B→E，C→F），从而确定对应边（AB→DE，BC→EF，AC→DF），再确定对应边上的高（如BC边上的高对应EF边上的高）。2错误2：相似比的顺序颠倒案例：△MNP∽△XYZ，相似比为3:4，△MNP中MN边上的高为6cm，求△XYZ中XY边上的高。错误解答：高的比=3:4，因此6/h_XYZ=3/4→h_XYZ=8cm（正确）；但部分学生可能误将相似比视为4:3，导致h_XYZ=6×(4/3)=8cm（结果正确但过程错误），或在逆向问题中出错（如已知h_XYZ=8cm，求h_MNP时误算为8×(4/3)）。错误原因：相似比的定义是“前项三角形的边比后项三角形的边”，即k=△MNP的边/△XYZ的边=3/4，因此高的比=△MNP的高/△XYZ的高=3/4。应对策略：强调相似比的顺序与“对应”一致，可通过标注“k=△A的边/△B的边”来明确比例方向。3错误3：与面积比混淆壹案例：△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:1，△ABC的高为4cm，求△A'B'C'的高。肆应对策略：通过公式对比强化记忆：对应线段（高、中线、角平分线）的比=k，周长比=k，面积比=k²。叁错误原因：混淆了“高的比”（等于相似比k）与“面积比”（等于k²）。贰错误解答：认为面积比=4:1，因此高的比=4:1，得出△A'B'C'的高=1cm（正确相似比为2:1，高的比应为2:1，正确答案为2cm）。05总结与升华：从“高的比”看相似三角形的本质1知识体系的联结相似三角形对应高的比等于相似比，这一性质是相似三角形“对应线段成比例”的具体体现。它与对应中线、对应角平分线的比（均等于相似比）共同构成了相似三角形“线性量”的比例关系，而面积比（k²）则属于“二次量”的比例关系。这种“线性-二次”的比例规律，是相似图形的核心特征，也是后续学习相似多边形、位似图形的基础。2数学思想的渗透在推导“高的比”的过程中，我们运用了“从特殊到一般”的归纳思想（通过具体的高推导一般结论）、“转化”思想（将高的比转化为小三角形的相似比），以及“数形结合”思想（通过图形直观理解对应关系）。这些思想方法不仅适用于相似三角形，更是解决几何问题的通用工具。3学习价值的重申掌握“相似三角形对应高的比”，不仅能解决具体的几何计算问题（如求高、求边长、求面积