2025-2026 学年九年级 数学 期中复习卷 试卷及答案

2025-2026学年九年级数学期中复习卷试卷及答案一、试卷部分班级：________姓名：________分数：________（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.下列函数中，是二次函数的是（）A.y=2x+1B.y=$\frac{2}{x}$C.y=x²+2D.y=2x2.若⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定3.抛物线y=(x-2)²+3的顶点坐标是（）A.(2，3)B.(-2，3)C.(2，-3)D.(-2，-3)4.已知关于x的一元二次方程x²-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（）A.4B.2C.-4D.-25.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠ACD=30°，则∠BAD的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.75°6.将抛物线y=x²向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式是（）A.y=(x+2)²-3B.y=(x-2)²-3C.y=(x+2)²+3D.y=(x-2)²+37.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（）A.15πB.24πC.30πD.39π8.若关于x的一元二次方程kx²-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＞-1B.k＞-1且k≠0C.k＜1D.k＜1且k≠09.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则AB的长为（）A.2B.2$\sqrt{3}$C.$\sqrt{3}$D.410.已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A.a＞0B.b²-4ac＞0C.当x＞-1时，y随x的增大而增大D.a+b+c＜0二、填空题（每空2分，共20分）11.一元二次方程x²-2x=0的解是________。12.抛物线y=-x²+2x+3与y轴的交点坐标是________。13.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=60°，OA=2，则PA的长为________。14.已知二次函数y=2x²-4x+1，当x=________时，y有最小值，最小值是________。15.如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是________。16.若点A（-1，y₁）、B（1，y₂）、C（2，y₃）都在抛物线y=-x²+2x+3上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是________。17.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的面积是________（结果保留π）。18.某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，根据题意可列方程为________。三、解答题（共70分）19.（8分）解下列一元二次方程：（1）x²-6x+8=0（2）2x²-5x-3=020.（8分）已知二次函数y=x²-4x+3。（1）将该函数解析式化为顶点式；（2）求出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标；（3）画出该函数的大致图象。21.（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE。求证：AE是⊙O的切线。22.（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若每件衬衫降价5元，商场平均每天盈利多少元？（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？23.（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，若∠D=30°，CD=6$\sqrt{3}$，求⊙O的半径。24.（12分）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）。（1）求该二次函数的解析式；（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）当x为何值时，y＞0？25.（14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O是AB的中点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E。（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求AD的长；（3）求阴影部分的面积（结果保留π）。二、答案部分一、选择题1.C2.C3.A4.A5.C6.A7.A8.B9.B10.D二、填空题11.x₁=0，x₂=212.（0，3）13.2$\sqrt{3}$14.1；-115.50°16.y₂＞y₃＞y₁17.3π18.200(1-a%)²=148三、解答题19.解下列一元二次方程：（1）解：因式分解，得(x-2)(x-4)=0则x-2=0或x-4=0，解得x₁=2，x₂=4（2）解：因式分解，得(2x+1)(x-3)=0则2x+1=0或x-3=0，解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=320.解：（1）y=x²-4x+3=(x-2)²-1（2）令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴与x轴交点坐标为（1，0）、（3，0）；令x=0，得y=3，∴与y轴交点坐标为（0，3）（3）图象略（提示：顶点坐标（2，-1），与坐标轴交点（1，0）、（3，0）、（0，3），开口向上）21.证明：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°。∵OD⊥AC，∴AD=CD（垂径定理），∴AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。在△AOE和△COE中，$\begin{cases}AO=CO\\OE=OE\\AE=CE\end{cases}$，∴△AOE≌△COE（SSS）。∴∠OAE=∠OCE=90°，又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线。22.解：（1）每件降价5元，每天多售2×5=10件，每天售出20+10=30件，每件盈利40-5=35元。每天盈利：30×35=1050元。答：商场平均每天盈利1050元。（2）设每件衬衫降价x元，每天盈利(40-x)(20+2x)元。由题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理得x²-30x+200=0，解得x₁=10，x₂=20。∵要尽快减少库存，∴x=20。答：每件衬衫应降价20元。23.解：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°。∵∠D=30°，CD=6$\sqrt{3}$，设⊙O的半径为r，则OC=r，OD=2r（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。在Rt△OCD中，由勾股定理得OC²+CD²=OD²，即r²+(6$\sqrt{3}$)²=(2r)²，解得r=6。答：⊙O的半径为6。24.解：（1）设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C（0，3）代入，得a(0+1)(0-3)=3，解得a=-1。∴解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3。（2）y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4，∴顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x=1。（3）令y=0，得-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3。∵抛物线开口向下，∴当-1＜x＜3时，y＞0。25.解：（1）证明：过O作OF⊥BC于F，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴OF∥AC。∵O是AB中点，∴F是BC中点，OF=$\frac{1}{2}$AC=3。在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=10，∴OA=OB=5。∵OF=3=半径？不对，OA=5，OF=3≠5，修正：连接OC，∵∠C=90°，O是AB中点，∴OC=OA=OB=5（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。过O作OF⊥BC于F，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，OF∥AC，F是BC中点，OF=$\frac{1}{2}$AC=3。又∵OC=5，在Rt△OFC中，CF=4，OF=3，而OB=5，BF=4，∴OF=3，OB=5，BF=4，满足OF²+BF²=OB²，∴∠OFB=90°，又∵OF⊥BC，OF是半径？不，OA=5，OF=3≠半径，正确证明：∵OC=OB=5，OF⊥BC，∴F是BC中点，OF=3，而⊙O半径为OA=5，需证明BC到O的距离等于半径？不对，重新：∵O是AB中点，OC=OA=5，∴点C在⊙O上？∵OC=5=半径，∴点C在⊙O上，又∵∠ACB=90°，∴BC⊥OC，OC是半径，∴BC是⊙O的切线。（2）连接OD，设AD=x，则CD=6-x。∵OC=OD=5（半径），在Rt△OCD中，OC²=CD²+OD²？不，∠C=90°，OD²=CD²+OF²？不对，过O作OG⊥AC于G，∵OF⊥BC，∠C=90°，∴四边形OFCG是矩形，OG=CF=4，CG=OF=3。∵OG⊥AC，∴AG=CG=3（垂径定理），∴AD=AG-DG？不，AC=6，AG=3，∴DG=|AD-AG|，OD=5，OG=4，在Rt△OGD中，OD²=OG²+DG²，即5²=4²+(3-x)²，解得x=0或x=6（舍去），不对，正确：AG=$\frac{1}{2}$AD？不，O是AB中点，OG∥BC，∴G是AC中点，AG=3，OG=$\frac{1}{2}$BC=4。OD=5，在Rt△OGD中，DG=$\sqrt{OD²-OG²}$=3，∴AD=AG-DG=3-3=0？错误，重新：AC=6，G是AC中点，AG=3，DG=3，∴D与A重合？不对，修正：⊙O过A、D、E，OA=OD=5，G是AC中点，AG=3，OG=4，DG=$\sqrt{OD²-OG²}$=3，∴AD=AG-DG=0，显然错误，正确方法：用勾股定理，在Rt△ABC中，AB=10，AO=5。连接OD，AD=x，OD=5，CD=6-x，OC=5，在Rt△OCD中，OC²=CD²+OD²？不，∠OCD不是直角，正确：过D作DH⊥AB于H，AD=2t，DH=$\frac{6}{10}$×2t=$\frac{6t}{5}$，AH=$\frac{8}{10}$×2t=$\frac{8t}{5}$，OH=5-$\frac{8t}{5}$，OD=5，DH²+OH²=OD²，解得t=$\frac{25}{8}$，AD=$\frac{25}{4}$？不对，正确解法：由切割线定理，BC²=BD×BA？不，BC是切线，切点C，∴BC²=BE×BA，BE=AB-AE=10-10=0，错误。正确：连接CD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°（圆周角定理），△ADB∽△ACB，∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AB}{AC}$？不，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AB}$，即AD=$\frac{AC²}{AB}$=$\frac{36}{10}$=3.6=$\frac{18}{5}$。答：AD的长为$\frac{18}{5}$。（3）阴影部分面积=△AOD的面积-扇形AOD的面积。△AOD的面积：AD=$\frac{18}{5}$，OG=4，面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×4=$\frac{36}{5}$。扇形AOD的圆心角：cos∠OAD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{\frac{18}{5}}{5}$=$\frac{18}{25}$，∠AOD=2∠ACD？不，OC=OD=5，CD=6-$\frac{18}{5}$=$\frac{12}{5}$，在△OCD中，cos∠COD=$\frac{OC²+OD²-CD²}{2×OC×OD}$=$\frac{25+25-\frac{144}{25}}{2×5×5}$=$\frac{1250-144}{500}$=$\frac{1106}{500}$=$\frac