线性代数模拟试题02及答案详解

。第页《线性代数》试题02一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．设经过初等行变换变为，则（）.(下面的分别表示矩阵的秩)。；；；无法判定与之间的关系。2．设为阶方阵且，则（）。中有一行元素全为零；有两行（列）元素对应成比例；中必有一行为其余行的线性组合；的任一行为其余行的线性组合。3.设是阶矩阵(),,则下列结论一定正确的是()4．下列不是维向量组线性无关的充分必要条件是（）结论：矩阵乘法不一定满足交换律。矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论。存在一组不全为零的数使得；结论：矩阵乘法不一定满足交换律。矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论。不存在一组不全为零的数使得的秩等于；中任意一个向量都不能用其余向量线性表示5．设阶矩阵，若矩阵的秩为，则必为（）。1；；；.6．四阶行列式的值等于（）。；；；.7．设为四阶矩阵且，则的伴随矩阵的行列式为（）。；；；8．设为阶矩阵满足，为阶单位矩阵,则（）；；；9．设，是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。与的秩相同；与的特征值相同；与的特征矩阵相同；与的行列式相同；10．设为阶矩阵,则以为特征值是的（）。充分非必要条件；必要非充分条件；既非充分又非必要条件；充分必要条件；二、填空题（每小题3分，共18分）1．计算行列式。_______________________。二次型对应的对称矩阵为。已知，，是欧氏空间的一组标准正交基，则向量在这组基下的坐标为。已知矩阵的特征值为则___________。略6．设均为3维列向量，记矩阵，。如果，则。三、(8分),求。（10分）设向量组，，，，。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。五、（12分）讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其解。（14分）设，要求：求出的所有特征值和特征向量；（2）求正交矩阵，使得为对角矩阵。七、（8分）对任意的矩阵,证明：(1)为对称矩阵,为反对称矩阵；(2)可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。《线性代数》试题02参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3分，共18分）略略五、解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，此时方程组有唯一解。……（5分）当系数矩阵的秩为1，增广矩阵的秩为2，此时方程组无解。……（6分）当此时方程组有无穷多组解。对方程组的增广矩阵进行初等行变换：故原方程组与下列方程组同解:令可得上述非齐次线性方程组的一个特解;它对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个元素，令可得为该齐次线性方程组的一个解，它构成该齐次线性方程组的基础解系。此时原方程组的通解为……（12分）六、解：（1）由于的特征多项式故的特征值为，。……（3分）当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为,不全为零的任意常数。……（6分）当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为,为非零的任意常数。……（8分）（2）将正交化可得：。再将其单位化得：将单位化得：……（12分）则是的一组单位正交的特征向量。令则是一个正交矩阵，且……（14分）七、证明：（1）因为,因此为对称矩阵。……（2分）同