2025年北京北师大实验中学高二（上）期末数学试题含答案

2024-2025学年北京市北京师范大学附属实验中学高二上学期期末考试一、单选题：本大题共10小题，共50分。1.在空间直角坐标系o−xyz中，点M(2,−3,1)关于原点对称的点的坐标为()A.(−2,−3,−1)B.(2,3,−1)C.(−2,3,1)D.(−2,3,−1)2.已知直线l的一个方向向量为(−1,1)，则直线l的倾斜角为()A.45∘B.90∘C.120∘D.135∘3.抛物线y2=12x的焦点为F，点P在此抛物线上，PF=6，则点P的横坐标为()A.2B.3C.4D4.圆(x−3)2+(y+2)2=1与圆(x−7)2+(y−1)2=16的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.内含的展开式中，常数项为()A.60B.15C.−60D.−156.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为()A.6B.12C.247.已知正四棱锥P−ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上的一动点，则△HBD面积的取小值为()A.2B.42C38.已知直线l:3x+y−4=0，圆Γ:x2+y2=r2(r>0)，若直线l上存在两点A,B，圆Γ上存在点C，使得=2，且∠ACB=90∘,则r的取值范围是()A.1,3B.2,3C.[1,+∞)D.[2,+∞)9.已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，倾斜角分别为α1,α2，则“cos(α1−α2)≤0”是“k1k2≤0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.一个平面区域内，两点间距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x2+y4=2围成的平面区域的直径为()4A.32B.3C.224二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.如图，直线l:x−2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为.12.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a的值为13.设(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4=.14.双曲线M:x2−的渐近线方程为；若M与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于A,B,C,D四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r=.15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面AA1P⊥平面BB1E，给出下列四个结论：①▵AA1P的面积的最大值为5；②满足▵AA1P的面积为2的点P有且仅有4个；③点P可能为CC1的中点；④线段AP的最大值为3.其中所有正确结论的序号是.三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名.(1)将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？(2)从6名中选出3人参加某公益活动.(i)共有多少种不同的选择方法？(ii)如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？17.已知A2,4,B(−1,1),O为坐标原点，圆C为▵AOB的外接圆.(1)求圆C的标准方程；(2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为32，求直线l的方程.18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC，AC=BC=2,CC1=3，点D,E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证：C1M⊥B1D；(2)求二面角C1−B1E−D的余弦值.19.已知椭圆a>b>0的右焦点为F1,0，离心率为，直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.(1)求椭圆C的方程；(2)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率.20.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为BC的中点.点M在BD1上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题.条件①：MA=MC条件②：EM⊥AD；条件③：EM//平面CDD1C1.(1)求证：M为BD1的中点；(2)求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的距离.21.已知椭圆a>b>0的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)设A为椭圆E的右顶点，B为椭圆的上顶点，直线l:y=与椭圆交于C,D两点(C在第三象限)，P是椭圆上的动点(不与顶点重合)，直线AP,BP分别交直线l于点E,F，记，求证：λ+μ为定值.2.D3.B4.C5.A6.D7.B8.C9.A10.B15.①④16.(1)男生先排有A种，女生插空有A种，所以共有AA=480种不同排法.(2)(i)6名中选出3人共有C=20种方法；(ii)6名中选出3名男生有C=4种方法，所以至少有1位女生入选，共有20−4=16种不同的选择方法.17.解：(Ⅰ)设△AOB的外接圆的方程为X2+Y2+DX+EY+F=0，∵A，B，O均在圆C上，解得,(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心C(1,2)，半径为5，因为直线l被圆C截得的弦长为32，所以点C到直线l的距离为当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx—y=0，则两边同时平方得，解得k=1或k=7，当直线l的斜率不存在时，不满足条件，)，设平面B1ED的一个法向量为=(x,y,z)，B1E=(0,2,1),B1D=(2,2,219.(1)由题意可知，c=1，e=:椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=k(X一1)(k≠0，AX1,y1，BX2,y2)，,y3):当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为20.(1)选条件①：由MA=MC，根据正方体ABCD一A1B1C1D1的对称性，此时点M为BD1上的任意一点，所以不成立；又因为EM⊥AD，AD//BC，所以EM⊥BC，因为EM,CD1⊂平面BCD1，所以EM//CD1，又因为E为BC的中点，所以M为BD1的中点.选择条件③：EM//平面CDD1C1，连接CD1，因为EM//平面CDD1C1，EM⊂平面BCD1，且平面BCD1∩平面CDD1C1=CD1，所以EM//CD1，因为E为BC的中点，所以M为BD1的中点.(2)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，DA,DC,DD1两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0),C(0,2,0),E(1,2,0),M(1,1,1)，设直线EM与平面MCD所成的角为θ,则sinθ=所以直线EM与平面M