2025年北京西城区高二（上）期末数学试题和答案

高中2025北京西城高二（上）期末数学2025.1本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知直线经过两点,,那么直线的斜率为（A）（B）（C）（D）（2）双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（3）已知椭圆的一个焦点与抛物线（）的焦点重合,则等于（A）（B）（C）（D）（4）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（A）（B）（C）（D）（5）在的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（6）正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（A）（B）（C）（D）（7）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（A）6（B）8（C）10（D）12（8）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（A）（B）（C）（D）（10）在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（A）椭圆的一部分（B）线段（C）圆的一部分（D）抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知直线与垂直，那么=_____.（12）已知，则_____.（13）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为_____cm.（14）已知曲线与轴交点为，与抛物线交于两点，则_____，的面积为_____.（15）已知是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为，给出下列四个结论：①；②设点，则直线的斜率的最大值为；③，；④的面积小于.其中所有正确结论的序号是__________．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题10分）某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了5种不同的荤菜和种不同的素菜.（Ⅰ）当时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？（Ⅱ）若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求的最小值.（17）（本小题15分）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）求点到平面的距离.

（18）（本小题15分）已知圆经过点，，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若圆与直线交于两点，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求的值.（19）（本小题15分）不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点.（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）若线段的中点为，求点坐标.

（20）（本小题15分）如图，在四棱锥中，，，，，，为的中点，为中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设平面与平面的交线为，（ⅰ）求二面角的余弦值；（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值.（21）（本小题15分）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为.是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.（1）A（2）C（3）C（4）A（5）D（6）D（7）C（8）A（9）D（10）D二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.（11）（12）（13）（14）（15）②③④注：第14题第一空2分，第二空3分；第15题全部选对得5分，选对2个得4分，选对1个得3分，不选或错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.（16）（本小题10分）解：（Ⅰ）从5种不同的荤菜和4种不同的素菜中，选取1荤3素，不同的选择方法为（种）. 4分（Ⅱ）从5种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取2荤2素，不同的选择方法为（种）.由题意，得， 6分所以. 8分因为，所以. 9分所以的最小值为7. 10分（17）（本小题15分）解：（Ⅰ）由，，可得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 2分则，，，，所以，，. 4分设平面的法向量为，所以即 6分令，则，，于是， 8分设直线与平面所成角为，则， 9分所以直线与平面所成角的正弦值为. 10分（Ⅱ）因为， 12分所以点到平面的距离为. 15分（18）（本小题15分）解：（Ⅰ）根据圆心在直线上，设圆心. 1分因为圆经过，所以， 2分所以. 3分解得. 4分所以圆心，所以圆的方程为. 5分（Ⅱ）（ⅰ）由题意，， 8分所以，即，所以的取值范围是. 10分（ⅱ）因为四边形为平行四边形，又因为，所以为菱形. 11分因为，所以点到直线的距离， 14分所以，符合题意. 15分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为.由题意，得 3分所以椭圆的短轴长， 4分离心率. 6分（Ⅱ）直线的方程为， 7分令，得，所以. 8分直线的方程为， 9分令，得，所以. 10分因为的中点为，所以. 12分若，则，与重合，舍去. 若，则，解得. 13分将代入，得. 14分所以或. 15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为平面， 所以， 1分又因为，，所以， 3分所以. 4分（Ⅱ）（ⅰ）取的中点，连接，因为，，，，所以四边形为矩形，所以.又因为平面，可得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系. 5分则，，，，.因为分别为中点，所以，，所以，，， 是平面的一个法向量. 6分设平面的法向量为，即 7分令，则，，于是， 8分所以， 9分因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 10分（ⅱ）设平面平面，因为平面与平面的交线为，平面，所以交线即为直线.设，则.因为，所以，所以.①因为在直线上，所以. ②由①②解得，所以， 11分所以. 12分因为， 13分设直线与直线所成角为，所以. 14分所以直线与直线所成角的余弦值为. 15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意，得 2分所以. 3分所以椭圆的方程为. 4分（Ⅱ）由题意，过的直线的