大学高数章节考试题及答案

大学高数章节考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.当\(x\to0\)时，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小3.函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导是\(f(x)\)在点\(x_0\)处连续的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设\(y=\sinx\)，则\(y^\prime\)=（）A.\(\cosx\)B.-\(\cosx\)C.\(\sinx\)D.-\(\sinx\)5.曲线\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线斜率为（）A.1B.2C.3D.46.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，则\(\intf(x)dx\)=（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)（\(C\)为常数）C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)7.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.28.设\(z=x^2+y^2\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(2x\)B.\(2y\)C.\(x^2\)D.\(y^2\)9.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收敛的B.发散的C.条件收敛的D.绝对收敛的10.微分方程\(y^\prime=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=x^2+C\)（\(C\)为常数）C.\(y=2x^2\)D.\(y=2x^2+C\)二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，是奇函数的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导的等价条件有（）A.\(f(x)\)在点\(x_0\)处左右导数存在且相等B.\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在C.\(f(x)\)在点\(x_0\)处连续D.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在4.下列求导公式正确的有（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)5.下列积分中，值为0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}xdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^2dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\sinxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)6.设\(z=f(x,y)\)，则下列说法正确的有（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}\)表示固定\(y\)时\(z\)对\(x\)的变化率B.\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)（在二阶混合偏导数连续时）C.\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)D.\(z\)在某点处可微则一定在该点处连续7.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)8.对于幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，下列说法正确的有（）A.存在收敛半径\(R\)B.当\(|x|<R\)时，幂级数绝对收敛C.当\(|x|>R\)时，幂级数发散D.当\(|x|=R\)时，幂级数可能收敛也可能发散9.下列方程中，是一阶线性微分方程的有（）A.\(y^\prime+y=x\)B.\(y^\prime+xy=x^2\)C.\(y^{\prime\prime}+y=0\)D.\(y^\prime=y^2\)10.设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则（）A.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)存在B.存在\(\xi\in[a,b]\)，使得\(\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)\)C.\(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)三、判断题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定义域是\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=B\)，则\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]=A+B\)。（）3.函数\(y=|x|\)在\(x=0\)处不可导。（）4.若\(f^\prime(x)=g^\prime(x)\)，则\(f(x)=g(x)\)。（）5.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值与积分变量用什么字母表示无关。（）6.设\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=2x\)。（）7.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)是绝对收敛的。（）8.幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的收敛半径为1。（）9.微分方程\(y^\prime+y=0\)的通解是\(y=Ce^{-x}\)（\(C\)为常数）。（）10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，则\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定连续。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)答：利用重要极限\(\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，当\(x\to0\)时，\(u\to0\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\times3=3\)。2.求函数\(y=x^3-3x^2+1\)的极值。答：先求导\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。当\(x<0\)，\(y^\prime>0\)；\(0<x<2\)，\(y^\prime<0\)；\(x>2\)，\(y^\prime>0\)。所以极大值\(y(0)=1\)，极小值\(y(2)=-3\)。3.计算\(\intxe^xdx\)答：用分部积分法，设\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，则\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。4.求函数\(z=x^2+2xy-y^2\)在点\((1,2)\)处的全微分。答：先求偏导数，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x+2y\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2x-2y\)。将\((1,2)\)代入，\(\frac{\partialz}{\partialx}|_{(1,2)}=6\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}|_{(1,2)}=-2\)。全微分\(dz=6dx-2dy\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)处的连续性。答：\(f(x)\)在\(x=1\)处无定义。但\(\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)。由于函数在该点无定义，所以不连续，属于可去间断点。2.讨论级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)（\(p\)为常数）的敛散性。答：当\(p>1\)时，根据\(p-\)级数性质，级数收敛；当\(p=1\)时，为调和级数，发散；当\(p<1\)时，通过比较判别法等可知级数发散。3.讨论二元函数\(z=f(x,y)\)在某点处偏导数存在与可微的关系。答：可微则偏导数一定存在，但偏导数存在不一定可微。可微要求函数在该点处的变化能用线性关系近似，偏导数存在只是函数沿坐标轴方向变化率存在，二者概念不同。4.讨论微分方程\(y^\prime=f(x,y)\)中，分离变量法的原理及适用条件。答：原理是将方程变形为\(g(y)dy=h(x)dx\)形式，两边积分求解。适用条件是方程能写成一边只含\(y\