辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高一上学期期中数学(解析版)

辽宁省大连市滨城高中联盟2025-2026学年高一上学期期中数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.2.“且”是“且”的什么条件（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】且，且，满足充分性；若“且”，不能推出“且”，如，满足“且”，故不满足必要性，“且”是“且”的充分不必要条件．故选：A．3.已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】函数的定义域为，则在函数中，，解得，因此函数的定义域为；由函数的值域为，得函数的值域为，即，则，故函数的值域为.故选：C.4.函数在下列哪个区间内一定有零点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，，，，则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为.故选：B.5.已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（）A. B.（1，4） C. D.【答案】A【解析】当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意；当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则，所以的取值范围为．故选：A.6.已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根，由可得两根为，又，所以，由可知，为增函数，又由，得，所以的图象与y轴的交点在x轴上方，只有C选项满足题意.故选：C.7.已知是定义在上的单调函数，，，，则（）A.B.C.D.与大小不确定【答案】C【解析】根据题意，不妨，则，当函数单调递增时，可得，所以，所以；当函数单调递减时，，所以，所以；综上可得，.故选：C.8.函数的定义域，当时，，函数是奇函数.记关于的方程的根为，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，，因为是奇函数，所以的图象关于对称，且，由此画出的图象如下图所示，直线过点，因为，所以过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为，过点和点的直线的斜率为，对应直线方程为，由图象以及对称性知，要使，则在上有3个交点，即需.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.若,下列不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】对于A：因为在上单调递增，且,故，即,故A正确；对于B：因为在上单调递减，且，故，即，故B正确；对于C：若，则，故C错误；对于D：若，则，故D错误.故选：AB.10.下列说法不正确的有（）A.“的内角都大于”的否定是“的内角都小于”B.若，则有最小值2.C.若不等式的解集为，则.D.函数在定义域上是增函数.【答案】ABD【解析】对于A，“的内角都大于”的否定是“的内角不都大于”，所以A错误；对于B，若，则，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以等号不成立，所以，所以B错误；对于C，若不等式的解集为，可得和是方程的两个实数根，则满足，解得，所以，所以C正确；对于D，由函数，可得函数的定义域为，则函数在上单调递增，在不是单调函数，所以D错误.故选：ABD.11.设函数，其中，则下列命题是真命题的是（）A.存在实数，使得；B.存在实数，当时，有成立；C.对任意实数，当时，都有成立；D.若，则实数的取值范围为.【答案】ACD【解析】对于A，当时，，则，所以存在，使得，所以A正确；对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为，所以在上单调递增，则；当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为，所以在上单调递增，则，所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确；对于C，要证，即证，即证，由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确；对于D，令，则，可得，所以为奇函数，且为上的递增函数，由，可得，即，即，因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.【答案】1【解析】由，则.故答案为：1.13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】令.，是关于的增函数.要使对成立，只需保证最大值.，解得.故答案为：.14.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】根据题意可知，函数与函数在区间上同增或者同减，①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，函数在定义域上单调递减，若在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0，即，可得解得；②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即此时不等式组无解，综上所述，．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.解：（1）首先，计算：，所以，，其次，计算：，所以，所以，故.（2），，故.（3），因此：.16.（1）若函数满足，求；（2）若函数满足，求；（3）已知函数，求解：（1）令，则，则，所以；（2）由题设，用替换，得，所以，则，可得；（3）当时，，此时，则，当时，，此时，则，当时，，，则，综上所述，.17.根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）.（1）求函数的解析式（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？解：（1）根据题意知，整理得；（2）当时，，由一元二次函数图象可知在时取得最大值，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以，所以的最大值是，所以当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.18.已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．（1）证明：；（2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设．①证明：；②已知，求在上的最小值．解：（1）令，得．（2）①因为，且，所以．②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断，又，结合题目条件可知，．又，所以．从而．的对称轴为．当时，在上单调递减，所以，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，；综上，当时，取最小值，当时，取最小值．19.已知是定义在上的奇函数.（1）求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；（2）函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域；（3）若函数，是否存在实数，使得对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，当时，，函数的定义域为关于原点对称，且，满足是奇函数，又由，任取且，则，因为，可得且，所以，即，所以函数是上的单调递增函数.（2）由（1）得，可得，因为