相似三角形对应周长和面积的性质课件-湘教版（2012）九年级数学上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册第3章

图形的相似3.4.2.2相似三角形对应周长和面积的性质问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ABCA1B1C1问题引入人教版初中数学九年级下册《3.1.2成比例线段》教学过程设计本节课是比例知识在几何领域的延伸，前承比例的基本性质，后启相似图形的判定与性质，是连接代数比例与几何相似的核心纽带。教学目标设定为：理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法与比例性质的几何应用，能解决线段比例的计算问题；通过度量、猜想、验证培养几何直观与逻辑推理能力；感受数学在图形度量中的应用价值。教学重点为成比例线段的概念与判定，难点为成比例线段的顺序性及比例性质的灵活应用。一、情境导入，衔接旧知（5分钟）1.生活情境引思呈现两组图片：①同一底片洗出的不同尺寸照片（小照片长5cm、宽3cm，大照片长10cm、宽6cm）；②国旗的不同规格（小号长96cm、宽64cm，大号长144cm、宽96cm）。提问引导：“这些形状相同的图形，对应边的长度之间有什么关系？我们能用之前学的比例知识描述这种关系吗？”2.旧知回顾铺垫引导学生回忆：①比例的定义（两个比相等的式子）；②比例的基本性质（内项积=外项积）。计算两组图形对应边的比：小照片长:宽=5:3，大照片长:宽=10:6=5:3；小号国旗长:宽=96:64=3:2，大号国旗长:宽=144:96=3:2。小结发现：形状相同的图形，对应边的比相等。引出课题：今天我们就来研究这种具有比例关系的线段——成比例线段。二、概念构建，明确核心（8分钟）1.成比例线段的定义给出定义：在四条线段$a$、$b$、$c$、$d$中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（或$a:b=c:d$），那么这四条线段$a$、$b$、$c$、$d$叫做成比例线段，简称比例线段。其中，$a$叫做第一比例项，$b$叫做第二比例项，$c$叫做第三比例项，$d$叫做第四比例项。2.关键概念辨析（1）顺序性：线段的比例关系与顺序有关举例说明：若线段$a=2$cm，$b=4$cm，$c=1$cm，$d=2$cm，因为$\frac{a}{b}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{c}{d}=\frac{1}{2}$，所以$a$、$b$、$c$、$d$是成比例线段，记为$a:b=c:d$；若写成$a:c=b:d$，需验证$\frac{a}{c}=\frac{2}{1}=2$，$\frac{b}{d}=\frac{4}{2}=2$，此时也成立，但比例项的名称随之改变。

易错提醒：成比例线段是“四条线段”的关系，且比例式中线段的顺序不能随意颠倒，否则比例关系可能不成立。

（2）单位统一性：计算比时单位必须一致举例：线段$m=1$m，$n=50$cm，$p=0.8$m，$q=40$cm，判断是否成比例。先统一单位：$n=0.5$m，$q=0.4$m；计算比：$\frac{m}{n}=\frac{1}{0.5}=2$，$\frac{p}{q}=\frac{0.8}{0.4}=2$，故$m$、$n$、$p$、$q$是成比例线段。3.特殊情况：比例中项若四条线段中有两条线段相等，即$a:b=b:c$，则$b$叫做$a$和$c$的比例中项，此时根据比例基本性质得$b²=ac$。例如：线段$a=1$cm，$b=2$cm，$c=4$cm，因为$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，所以$b$是$a$和$c$的比例中项。4.即时判断练习给出一组线段长度，让学生判断是否为成比例线段：①$a=3$cm，$b=6$cm，$c=2$cm，$d=4$cm；②$a=2$cm，$b=5$cm，$c=3$cm，$d=4$cm。（答案：①是，$3:6=2:4$；②否）通过练习强化“单位统一、顺序匹配”的判定要点。三、探究性质，深化应用（15分钟）1.成比例线段的基本性质（比例性质的几何应用）回顾比例基本性质：若$a:b=c:d$（$b$、$d≠0$），则$ad=bc$；反之，若$ad=bc$（$b$、$d≠0$），则$a:b=c:d$。这一性质同样适用于成比例线段，是解决线段比例计算的核心依据。2.核心题型探究（1）题型1：判定四条线段是否成比例例1：已知线段$a=4$cm，$b=6$cm，$c=8$cm，$d=12$cm，判断这四条线段是否成比例。解题示范：①统一单位（均为cm，无需转换）；②将线段按长度从小到大排序：$a=4$，$b=6$，$c=8$，$d=12$；③计算最长与最短的积、中间两条的积：$a×d=4×12=48$，$b×c=6×8=48$；④因$a×d=b×c$，故$a:b=c:d$，四条线段成比例。技巧总结：判定四条线段是否成比例，可先将线段排序，再验证“最长×最短=中间两线段积”，避免漏解。（2）题型2：求比例中的未知线段例2：已知线段$a=2$cm，$b=3$cm，$c=6$cm，且$a$、$b$、$c$、$d$是成比例线段，求线段$d$的长度。解题示范：①根据成比例线段定义，$a:b=c:d$；②由比例基本性质得$ad=bc$；③代入数值：$2d=3×6$；④解得$d=9$cm；⑤检验：$\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$，比例成立，故$d=9$cm。变式练习：若$a$、$c$、$b$、$d$是成比例线段，求$d$的长度。（答案：$d=4.5$cm）通过变式强调顺序性的重要性。（3）题型3：利用比例中项求线段长度例3：已知线段$AB=4$cm，线段$CD$是$AB$和$EF$的比例中项，且$CD=6$cm，求线段$EF$的长度。解题示范：①由比例中项定义得$CD²=AB×EF$；②代入数值：$6²=4×EF$；③解得$EF=36÷4=9$cm；④检验：$4:6=6:9$，比例成立，故$EF=9$cm。（4）题型4：结合图形的比例线段计算例4：如图，在矩形$ABCD$中，$AB=6$cm，$BC=8$cm，点$E$在$BC$上，且$BE:EC=3:1$，点$F$在$AD$上，若$AB$、$BE$、$AF$、$FD$是成比例线段，求$AF$的长度。解题示范：①先求$BE$的长度：$BE+EC=BC=8$cm，$BE:EC=3:1$，故$BE=6$cm，$EC=2$cm；②设$AF=x$cm，则$FD=(8-x)$cm；③根据成比例线段定义列比例：$AB:BE=AF:FD$，即$6:6=x:(8-x)$；④由比例性质得$6(8-x)=6x$；⑤解得$x=4$cm；⑥检验：$6:6=4:4$，比例成立，故$AF=4$cm。四、实践应用，巩固提升（10分钟）1.生活实际应用例5：某设计师设计的矩形海报，宽与长的比为$\sqrt{5}-1:2$（黄金比例），已知海报长为120cm，求宽的长度（精确到0.1cm）。解答：设宽为$x$cm，根据题意列比例$x:120=(\sqrt{5}-1):2$；由比例性质得$2x=120×(\sqrt{5}-1)$；计算得$x=60×(2.236-1)=60×1.236≈74.2$cm。答：宽约为74.2cm。2.分层练习1.基础题：已知线段$a=5$cm，$b=10$cm，$c=3$cm，求第四条线段$d$，使$a$、$b$、$c$、$d$成比例。（答案：$d=6$cm或$d=1.5$cm或$d=\frac{50}{3}$cm，需考虑不同比例顺序）2.提高题：已知线段$a$、$b$、$c$满足$a:b:c=2:3:4$，且$a+b+c=27$cm，求$a$、$b$、$c$的长度，并判断$a$、$b$、$c$是否能构成比例中项关系。（答案：$a=6$cm，$b=9$cm，$c=12$cm；$b²=81$，$a×c=72$，不能构成）3.拓展题：在$\triangleABC$中，$AB=12$，$BC=18$，$CA=24$，点$D$在$AB$上，且$AD=8$，点$E$在$AC$上，若$AD$、$AB$、$AE$、$AC$是成比例线段，求$AE$的长度。（答案：$AE=16$）五、课堂小结与作业布置（7分钟）1.课堂小结（师生共同梳理）-核心概念：成比例线段的定义（四条线段，比相等）、比例中项的定义；-关键要点：判定时需“单位统一、排序验证”，比例关系与线段顺序有关；-核心技能：判定成比例线段、求未知线段长度、比例中项应用，解题后必检验；-思想方法：转化思想（将几何线段问题转化为代数比例问题）。2.分层作业-基础作业：教材对应习题，完成3道判定题、2道未知线段计算题；-提高作业：已知四条线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，求证$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$（合比性质初探）；-实践作业：测量校园内两个形状相同的矩形物体（如宣传栏、窗户）的长和宽，分别写出对应边的比，验证是否为成比例线段。六、板书设计（突出核心，条理清晰）3.1.2成比例线段一、核心概念1.成比例线段：四条线段a、b、c、d，若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则称其为成比例线段

（要点：单位统一、顺序有关）2.比例中项：a:b=b:c→b²=ac二、判定方法1.排序：将线段按长度从小到大排列2.验证：最长×最短=中间两线段积

→

成比例三、应用：求未知线段例：a=2，b=3，c=6，a:b=c:d→2d=3×6→d=9四、关键提醒1.顺序性：a:b=c:d≠a:c=b:d（除非特殊情况）2.检验：解后代入比例式验证七、衔接过渡与新知导入（5分钟）回顾上节课核心：成比例线段的判定需满足“比相等”或“乘积相等”。提问：“在几何图形中，是否存在特殊位置关系的线段，天然满足成比例关系？比如我们熟悉的平行线，它们截两条直线后，所形成的线段是否成比例？”演示教具：用两根平行的细木棒，截另外两根相交的细木棒，让学生观察截得的线段长度。引出课题：3.2平行线分线段成比例。八、实验探究，提炼性质（15分钟）1.动手操作：探究平行线分线段的比例关系组织学生分组实验，提供方格纸、直尺、铅笔：-步骤1：在方格纸上画三条互相平行的直线l₁、l₂、l₃，间距分别为1格和2格；-步骤2：画两条相交直线a、b，分别与l₁、l₂、l₃交于点A、B、C和点D、E、F；-步骤3：测量线段AB、BC、DE、EF的长度，计算$\frac{AB}{BC}$和$\frac{DE}{EF}$的比值。学生汇报结果：多数小组测得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$（如AB=2格，BC=4格，DE=3格，EF=6格，比值均为$\frac{1}{2}$）。2.性质猜想与验证引导猜想：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。教师用几何画板演示：改变平行线间距、改变相交直线的夹角，实时显示线段比值，验证猜想始终成立。给出性质：平行线分线段成比例定理——两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。符号语言：若l₁∥l₂∥l₃，直线a交l₁、l₂、l₃于A、B、C，直线b交l₁、l₂、l₃于D、E、F，则$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$。3.特殊情况：平行线截三角形的推论将直线a、b的交点移至l₁上，形成△ADF，l₂∥l₃分别交AD、AF于B、E。提问：“此时线段比例关系如何？”学生观察得出：$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{DF}$。总结推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

核心区别：定理适用于“两条直线被一组平行线截”，推论适用于“三角形中平行线截两边”，推论是定理的特殊形式，本质一致。九、分类应用，突破难点（18分钟）1.题型1：直接利用定理求线段长度例1：如图，l₁∥l₂∥l₃，直线m、n分别交l₁、l₂、l₃于A、B、C和D、E、F，已知AB=3，BC=6，DE=4，求EF的长度。解题示范：①由平行线分线段成比例定理得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$；②代入已知值：$\frac{3}{6}=\frac{4}{EF}$；③交叉相乘：3EF=24；④解得EF=8。练习：若上题中DF=15，AB=2，BC=3，求DE的长度。（答案：DE=6）2.题型2：利用推论解决三角形中的比例问题例2：在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，已知AD=5，DB=3，AE=4，求EC的长度。解题示范：①由推论得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$；②代入数值：$\frac{5}{3}=\frac{4}{EC}$；③解得EC=$\frac{12}{5}=2.4$；④检验：$\frac{5}{3}=\frac{4}{2.4}$，比例成立。变式：若DE∥BC，AD:AB=2:5，EC=9，求AE的长度。（答案：AE=6）3.题型3：结合比例性质的综合应用例3：如图，l₁∥l₂∥l₃，AB:BC=2:3，DF=15，求DE和EF的长度。解题示范：①由定理得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$；②设DE=2x，EF=3x，则2x+3x=15；③解得x=3；④故DE=6，EF=9。

易错提醒：应用定理时需找准“对应线段”，即被同一条直线截得的线段为一组对应线段，不可混淆不同直线上的线段。十、实践应用，巩固提升（10分钟）1.实际测量应用例4：要测量池塘两端A、B的距离，无法直接测量。已知DE∥AB，AD、BE交于点C，测得CD=2，DA=6，CE=3，求CB的长度。解答：①由DE∥AB得$\frac{CD}{DA}=\frac{CE}{CB}$；②CD=2，DA=6，CE=3，代入得$\frac{2}{6}=\frac{3}{CB}$；③解得CB=9。答：池塘两端距离为9。2.分层练习1.基础题：△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，求AC的长度。（答案：AC=7.5）2.提高题：l₁∥l₂∥l₃，AB=4，BC=6，DE+EF=25，求EF的长度。（答案：EF=15）3.拓展题：在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证$\frac{AD}{DB}=\frac{BF}{FC}$。（提示：分别用两次推论）十一、课堂小结与作业布置（7分钟）1.小结梳理（师生共建）-核心定理：平行线分线段成比例（两条直线被一组平行线截，对应线段成比例）；-重要推论：平行于三角形一边的直线截两边，对应线段成比例；-解题关键：找准对应线段，结合比例基本性质计算，必要时设未知数。2.分层作业-基础作业：教材对应习题，完成3道定理应用、2道推论应用题目；-提高作业：△ABC中，DE∥BC，AD:DB=1:2，S△ADE=2，求S△ABC（提示：面积比为相似比平方，初探相似）；-实践作业：用“平行线分线段成比例”的方法，测量校园内一棵大树的高度（记录测量过程与数据）。十二、板书设计（新增部分）3.2平行线分线段成比例一、核心定理1.定理：两条直线被一组平行线截，对应线段成比例

（符号：l₁∥l₂∥l₃

→$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$）2.推论：平行于△一边的直线截另两边，对应线段成比例

（DE∥BC→$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$）二、应用关键1.找准对应线段（同一直线截得的线段）2.设未知数简化计算3.检验比例成立十三、衔接过渡与新知导入（5分钟）回顾上节课核心：平行线截线段可产生成比例关系，而这种比例关系往往出现在“形状相同”的图形中。展示一组图片：①同一底片洗出的不同尺寸照片；②大小不同的两个正方形；③放大镜下的三角形与原三角形。提问引导：“这些图形的形状相同，但大小不同，它们的对应边、对应角之间有什么关系？这种特殊的图形关系就是我们今天要研究的——3.3相似图形。”十四、概念构建，理解本质（10分钟）1.相似图形的定义让学生观察图形并总结共同特征：形状相同，大小不一定相同。给出定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形。补充说明：①相似图形的“形状相同”是指图形的轮廓、各部分比例关系一致，与位置、方向无关（举例：正放与倒放的相同尺寸五角星是相似图形）；②大小可以相同（此时为全等图形，全等是相似的特殊情况），也可以不同。2.相似图形的识别与辨析呈现一组图形，让学生判断是否为相似图形：①两个等腰直角三角形；②两个等腰三角形（顶角分别为30°和120°）；③两个长方形；④两个正方形。师生总结：①全等图形一定相似，相似图形不一定全等；②边数相同的正多边形一定相似（如正方形、正五边形）；③形状是否相同需看“对应角相等、对应边成比例”（提前渗透核心性质）。

易错提醒：“形状相同”≠“大小成比例”，如长方形的长和宽比例不同时，即使大小变化也不相似（举例：长2宽1的长方形与长3宽2的长方形，形状不同）。3.相似多边形的定义（重点）针对边数相同的多边形，给出更精确的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。符号表示：若四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，记为“四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'”，其中“∽”读作“相似于”，对应顶点需写在对应位置上（如A对应A'，B对应B'）。十五、探究性质，深化理解（15分钟）1.相似多边形的核心性质组织学生分组探究：给定两个相似的正六边形（边长分别为2cm和4cm）和两个相似的三角形（对应角分别为30°、60°、90°），测量并分析对应角、对应边的关系。学生汇报结果，师生总结相似多边形的性质：-性质1：相似多边形的对应角相等；-性质2：相似多边形的对应边成比例（相似比为k）；-延伸性质：相似多边形的周长比等于相似比k（推导：周长=各边和，对应边成比例，周长比=对应边比）。2.性质的应用与验证例1：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3，∠A=60°，AB=4cm，求∠A'的度数和A'B'的长度。解题示范：①由相似多边形对应角相等得∠A'=∠A=60°；②由对应边成比例得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3}$；③代入AB=4cm，得$\frac{4}{A'B'}=\frac{2}{3}$，解得A'B'=6cm；④检验：相似比2:3，对应边比4:6=2:3，符合性质。例2：两个相似的长方形，长分别为10cm和15cm，已知小长方形的宽为6cm，求大长方形的宽和两个长方形的周长比。解题示范：①相似比=小长:大长=10:15=2:3；②设大长方形宽为xcm，由对应边成比例得$\frac{6}{x}=\frac{2}{3}$，解得x=9cm；③小周长=2×(10+6)=32cm，大周长=2×(15+9)=48cm，周长比=32:48=2:3，与相似比一致。3.相似图形的判定（初步感知）引导思考：“如何判断两个多边形是否相似？”结合定义得出初步判定方法：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例，三者缺一不可。举例说明：两个菱形边数相同、对应边成比例，但对应角不一定相等，故不一定相似；两个矩形边数相同、对应角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似。十六、应用巩固，突破难点（12分钟）1.核心题型应用（1）题型1：利用性质求未知边或角例3：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，相似比为1:2，∠B=120°，CD=5cm，求∠B'的度数和C'D'的长度。（答案：∠B'=120°，C'D'=10cm）（2）题型2：结合生活场景的相似问题例4：某地图的比例尺为1:5000（即图上距离与实际距离的相似比为1:5000），若图上某条道路长2cm，求实际道路的长度；若实际某建筑宽30m，求图上宽度。解答：①设实际道路长为xcm，由相似比得$\frac{2}{x}=\frac{1}{5000}$，解得x=10000cm=100m；②30m=3000cm，设图上宽度为ycm，$\frac{y}{3000}=\frac{1}{5000}$，解得y=0.6cm。答：实际道路长100m，图上宽度0.6cm。2.分层练习1.基础题：两个相似三角形，对应边比为3:4，其中一个三角形的周长为24cm，求另一个三角形的周长（分两种情况）。（答案：18cm或32cm）2.提高题：已知□ABCD∽□A'B'C'D'，AB=6，A'B'=9，∠A=70°，求相似比及∠A'、AD与A'D'的比值。（答案：相似比2:3，∠A'=70°，AD:A'D'=2:3）3.拓展题：判断两个正五边形是否相似，并说明理由；若边长分别为3和5，求它们的周长比和对应角的关系。（答案：相似，正五边形各角相等、各边相等，满足“边数相同+对应角相等+对应边成比例”；周长比3:5，对应角相等）十七、课堂小结与作业布置（8分钟）1.课堂小结（师生共同梳理）-核心概念：相似图形（形状相同，大小可同可不同）、相似多边形（边数相同+对应角相等+对应边成比例）、相似比（对应边的比）；-关键性质：相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比；-核心技能：利用性质求未知边/角/周长，依据定义判断图形是否相似；-思想方法：对应思想（找准相似图形的对应元素）、转化思想（将图形相似问题转化为线段比例问题）。2.分层作业-基础作业：教材对应习题，完成3道相似性质应用题、2道相似判断题；-提高作业：已知两个相似多边形的周长比为2:5，其中一个多边形的某条边长为4，求另一个多边形的对应边长（分两种情况）；-实践作业：①找出生活中3组相似图形（如树叶、交通标志、缩放的照片）并记录；②测量家中相似的两件物品（如两个碗的直径、高度），计算它们的相似比。十八、板书设计（相似图形部分）3.3相似图形一、核心概念1.相似图形：形状相同（大小可同可不同）

（特例：全等是相似比为1的相似图形）2.相似多边形：边数相同+对应角相等+对应边成比例

（记法：△ABC∽△A'B'C'，对应顶点对齐）3.相似比：对应边的比（k）二、关键性质1.对应角相等；2.对应边成比例（比值为k）；3.周长比=相似比k。三、应用示例例：△ABC∽△A'B'C'，k=2:3，AB=4，∠A=60°

→A'B'=6（对应边成比例）

→∠A'=60°（对应角相等）四、判断要点边数相同、对应角相等、对应边成比例，三者缺一不可十九、衔接过渡与新知导入（5分钟）1.复习旧知，类比迁移提问引导：“我们已经学习了相似三角形的两种判定方法，谁能分别说说它们的内容？”（学生回答：判定定理1“两角分别相等”，判定定理2“两边成比例且夹角相等”）追问：“全等三角形的判定有‘SSS’，对应到相似三角形，是否存在‘三边成比例’的判定方法呢？”展示教具：用三根细木棒搭成△ABC（边长3cm、4cm、5cm），再搭△A'B'C'（边长6cm、8cm、10cm），让学生观察两个三角形的形状关系，引出课题：3.4.1.4相似三角形的判定定理3。二十、实验探究，猜想定理（12分钟）1.动手操作，感知规律组织学生分组实验，每组发放直尺、量角器、方格纸：-活动1：画△ABC，使AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm；-活动2：画△A'B'C'，使A'B'=4cm，B'C'=6cm，A'C'=8cm（即三边均为△ABC的2倍）；-活动3：测量两个三角形的三个内角的度数，计算对应边的比值。学生汇报结果：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{2}$。2.更换数据，验证猜想引导学生调整边长重复实验：画△DEF，DE=3cm，EF=5cm，DF=6cm；画△D'E'F'，D'E'=6cm，E'F'=10cm，D'F'=12cm。反馈结果：依然满足对应角相等，对应边成比例（比值为1:2）。提出猜想：三边成比例的两个三角形相似。3.反例辨析，强化认知提问：“若三边不成比例，两个三角形是否相似？”演示反例：△ABC（2cm、3cm、4cm）与△MNP（2cm、3cm、5cm），测量发现内角不相等，形状不同，验证“三边成比例”是形状相同的关键条件。二十一、逻辑证明，确立定理（10分钟）1.定理推导，严谨论证已知：在△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$。求证：△ABC∽△A'B'C'。证明引导：-步骤1：构造全等与平行。在AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E。由平行线分线段成比例推论得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=k$，且∠ADE=∠B，∠AED=∠C。-步骤2：证AE=A'C'，DE=B'C'。∵$\frac{AE}{AC}=k$，$\frac{AC}{A'C'}=k$，∴AE=k·AC=A'C'；同理DE=k·BC=B'C'。-步骤3：证△ADE≌△A'B'C'。∵AD=A'B'，AE=A'C'，DE=B'C'，∴△ADE≌△A'B'C'（SSS），故∠A=∠A'，∠ADE=∠B'，∠AED=∠C'。-步骤4：推相似。由DE∥BC得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，故∠B=∠B'，∠C=∠C'；又$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，即对应边成比例。-步骤5：结论。∵△ABC和△A'B'C'对应角相等、对应边成比例，∴△ABC∽△A'B'C'。2.定理表述，明确要点相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。符号语言：在△ABC和△A'B'C'中，若$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，则△ABC∽△A'B'C'。

核心要点：①需验证“三边对应成比例”，即三条边的比两两相等；②对应边的顺序至关重要，需找准对应关系，可通过“长边对长边、短边对短边”确定。二十二、分类应用，突破难点（15分钟）1.题型1：直接利用定理判定相似例1：已知△ABC的边长分别为AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm；△A'B'C'的边长分别为A'B'=6cm，B'C'=8cm，A'C'=10cm。判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由。解题示范：①排序找对应边：将两三角形的边按从小到大排序，△ABC：3cm、4cm、5cm；△A'B'C'：6cm、8cm、10cm；②计算对应边比值：$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$；③应用定理：∵三边对应成比例（比值均为$\frac{1}{2}$），∴△ABC∽△A'B'C'（三边成比例的两个三角形相似）。练习：△DEF的边长为2cm、3cm、4cm，△MNP的边长为4cm、6cm、7cm，判断两三角形是否相似。（答案：不相似，$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}≠\frac{4}{7}$）2.题型2：利用定理求未知边或相似比例2：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3，AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，求△A'B'C'的三边长度。解题示范：①由相似三角形对应边成比例得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$；②分别计算三边：$A'B'=AB×\frac{3}{2}=4×\frac{3}{2}=6$cm，$B'C'=5×\frac{3}{2}=7.5$cm，$A'C'=6×\frac{3}{2}=9$cm；③检验：6:7.5:9=4:5:6，与原三角形边长比一致，符合定理。3.题型3：结合图形的综合应用例3：如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证：△DEF∽△ABC。解题示范：①利用中位线性质：∵D、E、F是中点，∴DE=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$BC；②计算对应边比值：$\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BC}=\frac{1}{2}$；③应用定理：∵三边对应成比例，∴△DEF∽△ABC。

易错提醒：判定时若未明确对应边，需先将边按长度排序，再计算比值，避免因对应错误导致判断失误（如将短边与长边相比）。二十三、实践应用，巩固提升（8分钟）1.实际问题解决例4：某零件的形状为三角形，图纸上的三角形边长分别为10mm、15mm、20mm，实际生产的零件边长为20mm、30mm、40mm。质检员测得实际零件的一个内角为80°，请判断图纸上对应角的度数，并说明理由。解答：①判断相似：图纸与实际零件的边长比为10:20=15:30=20:40=1:2，三边成比例，故两三角形相似；②求对应角：相似三角形对应角相等，故图纸上对应角的度数为80°。答：图纸上对应角的度数为80°。2.分层练习1.基础题：△ABC的边长为5cm、12cm、13cm，△A'B'C'的边长为10cm、24cm、26cm，求两三角形的相似比及对应角的关系。（答案：相似比1:2，对应角相等）2.提高题：△ABC∽△A'B'C'，AB=2，BC=3，AC=4，A'B'=x，B'C'=y，A'C'=6，求x和y的值。（答案：x=3，y=4.5）3.拓展题：在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，DA=5；四边形A'B'C'D'中，A'B'=4，B'C'=6，C'D'=8，D'A'=10，求证：△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'D'C'。（提示：分别对两个三角形应用判定定理3）二十四、课堂小结与作业布置（5分钟）1.课堂小结（师生共同梳理）-核心定理：相似三角形判定定理3——三边成比例的两个三角形相似；-判定对比：定理1（角角）、定理2（边角边）、定理3（边边边），分别对应全等三角形的“ASA”“SAS”“SSS”；-解题技巧：判定时先排序找对应边，再计算比值，确保三边比相等；-思想方法：类比思想（从全等判定迁移到相似判定）、对应思想（明确相似三角形的对应元素）。2.分层作业-基础作业：教材对应习题，完成3道用定理3判定相似的题目、2道求未知边的题目；-提高作业：已知△ABC∽△A'B'C'，AB:A'B'=2:3，△ABC的周长为18cm，求△A'B'C'的周长；-实践作业：测量校园内一个三角形花坛的三边长，按1:100的比例画出图纸，计算图纸上三角形与实际花坛的相似比，并验证三边是否成比例。二十五、板书设计（相似三角形判定定理3部分）3.4.1.4相似三角形的判定定理3一、猜想与定理1.猜想：三边成比例的两个三角形相似2.定理：三边成比例的两个三角形相似

（符号：△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$→△ABC∽△A'B'C'）二、应用关键1.排序：将三边按长度从小到大排列，确定对应边；2.验证：计算三组对应边的比，若相等则相似。三、应用示例例1：△ABC（3,4,5），△A'B'C'（6,8,10）

→$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$→△ABC∽△A'B'C'四、判定方法对比|全等判定|相似判定|条件特征||----------|----------------|----------------||ASA|定理1（角角）|两角分别相等||SAS|定理2（边角边）|两边成比例+夹角相等||SSS|定理3（边边边）|三边成比例|二十六、衔接过渡与新知导入（5分钟）1.复习旧知，激活关联提问引导：“我们之前学习过‘平行线分线段成比例定理’，谁能回忆一下它的推论内容？”（学生回答：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）追问：“当这条平行线截三角形两边时，会形成一个小三角形和原三角形，这两个三角形的形状有什么关系？它们相似吗？”展示图形：在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，让学生观察△ADE与△ABC的形状，引出课题：3.4.1利用平行判定三角形相似。二十七、探究推导，确立定理（10分钟）1.图形分析，提出猜想结合图形△ABC，DE∥BC，分析两个三角形的角与边：-角的关系：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B（同位角相等），∠AED=∠C（同位角相等）；又∠A是△ADE和△ABC的公共角，故∠A=∠A。-边的关系：由平行线分线段成比例推论得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$。提出猜想：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。2.逻辑证明，验证猜想已知：在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB、AC于点D、E。求证：△ADE∽△ABC。证明过程：-步骤1：证角相等。∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）；又∠A=∠A（公共角），故△ADE与△ABC的三个角分别相等。-步骤2：证边成比例。由平行线分线段成比例推论得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，即对应边成比例。-步骤3：结论。∵△ADE与△ABC对应角相等、对应边成比例，∴△ADE∽△ABC。3.定理表述，明确要点利用平行判定相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。符号语言：在△ABC中，若DE∥BC，DE交AB于D，交AC于E，则△ADE∽△ABC。

核心特征：①存在“平行线”这一特殊位置关系；②新构成的三角形与原三角形“共角”（公共角或对顶角），另外两组角为同位角或内错角，天然相等。4.特殊情况：截两边延长线拓展说明：若DE∥BC，交AB的延长线于D，交AC的延长线于E，此时仍有△ADE∽△ABC。理由：∠A为公共角，∠D=∠ABC（同位角相等），∠E=∠ACB（同位角相等），满足“两角分别相等”的判定条件。二十八、分类应用，突破难点（15分钟）1.题型1：直接利用平行判定相似并求线段例1：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2cm，DB=3cm，AE=1.6cm，求EC的长度和DE与BC的比值。解题示范：①证相似：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC（利用平行判定相似）；②找对应边比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$；③计算AB长度：AB=AD+DB=2+3=5cm；④列比例求EC：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{2}{5}=\frac{1.6}{1.6+EC}$，交叉相乘得2(1.6+EC)=5×1.6，解得EC=2.4cm；⑤求DE与BC的比值：$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$。练习：△ABC中，DE∥BC，AD:DB=1:3，AE=2cm，求AC的长度。（答案：AC=8cm）2.题型2：结合比例性质的综合计算例2：在△ABC中，DE∥BC，若$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，BC=15cm，求DE的长度；若S△ADE=4cm²，求S△ABC的面积（提示：相似三角形面积比等于相似比的平方）。解题示范：①求相似比：$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$；②求DE：∵△ADE∽△ABC，∴$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，代入BC=15cm，得DE=6cm；③求面积：面积比=（相似比）²=$(\frac{2}{5})²=\frac{4}{25}$，故S△ABC=4÷$\frac{4}{25}$=25cm²。3.题型3：利用相似解决实际问题例3：某同学想测量校园内一棵大树的高度，他站在距大树底部10m的地方，眼睛距地面1.5m，此时他看大树顶端的视线与水平线的夹角为30°，同时他身边立一根1.5m长的标杆，标杆顶端的视线与水平线的夹角也为30°，且标杆距他1m。利用相似知识求大树的高度。解题示范：①构建图形：设大树高为hm，视线与水平线交点为O，过眼睛作水平线交大树于D，交标杆于E，则DE=10-1=9m，OD=10m，OE=1m，AD=1.5m，CE=1.5m；②证相似：∵∠COD=∠COE=30°，∠ODC=∠OEC=90°，∴△ODC∽△OEC（两角分别相等）；③列比例：$\frac{CD}{CE}=\frac{OD}{OE}$，即$\frac{h-1.5}{1.5}=\frac{10}{1}$；④解得h=16.5m。答：大树的高度为16.5m。

易错提醒：应用定理时需明确“哪两条直线平行”“构成的小三角形与原三角形的对应关系”，避免因图形复杂混淆对应边。二十九、实践应用，巩固提升（8分钟）1.基础巩固练习1.△ABC中，DE∥BC，AD=5，DB=10，AE=3，求AC和EC的长度。（答案：AC=9，EC=6）2.已知△ADE∽△ABC，DE∥BC，相似比为1:4，若DE=2cm，求BC的长度。（答案：BC=8cm）2.提高拓展练习1.在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC。（提示：先证DE∥BC得∠AED=∠C，再证EF∥AB得∠ADE=∠DEF=∠EFC，从而两角分别相等）2.△ABC中，DE∥BC，S△ADE:S△ABC=1:9，AD=2，求AB和DB的长度。（答案：AB=6，DB=4）三十、课堂小结与作业布置（5分钟）1.课堂小结（师生共同梳理）-核心定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，构成的三角形与原三角形相似；-判定本质：该定理是“两角分别相等”判定定理的特殊应用（平行线提供同位角相等，公共角为共角）；-解题关键：找准平行线，确定相似三角形的对应边，结合比例性质计算；-知识关联：连接“平行线分线段成比例”与“相似三角形判定”，体现图形位置关系与形状关系的联系。2.分层作业-基础作业：教材对应习题，完成3道利用平行判定相似的题目，其中2道需计算未知边；-提高作业：△ABC中，DE∥BC，AD:DB=3:2，S△ADE=18，求S四边形DECB的面积；-实践作业：用本节课所学知识，结合“标杆法”测量家中阳台护栏的高度，记录测量数据和推理过程。三十一、板书设计（利用平行判定三角形相似部分）三十二、衔接过渡与新知导入（5分钟）1.复习旧知，激活认知提问引导：“我们已经掌握了相似三角形的定义和多种判定方法，谁能说说相似三角形的核心特征是什么？”（学生回答：对应角相等，对应边成比例，对应边的比叫做相似比）追问：“在三角形中，除了边和角，还有高、中线、角平分线这些重要的线段。当两个三角形相似时，它们的对应高、对应中线、对应角平分线之间会有怎样的关系呢？是否也与相似比有关？”展示图形：△ABC∽△A'B'C'，标注出对应高AD和A'D'，让学生直观观察，引出课题：3.4.2.1相似三角形对应高、中线、角平分线的性质。三十三、探究推导，提炼性质（15分钟）1.探究1：相似三角形对应高的性质已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD是△ABC的高，A'D'是△A'B'C'的对应高。求证：$\frac{AD}{A'D'}=k$。推导过程：-步骤1：证角相等。∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'（对应角相等）；又AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，∴∠ADB=∠A'D'B'=90°。-步骤2：证三角形相似。∵∠B=∠B'，∠ADB=∠A'D'B'，∴△ABD∽△A'B'D'（两角分别相等的两个三角形相似）。-步骤3：推线段比例。由△ABD∽△A'B'D'得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$（相似三角形对应边成比例）。结论：相似三角形对应高的比等于相似比。2.探究2：相似三角形对应中线的性质小组活动：让学生模仿对应高的探究过程，自主推导对应中线的性质。已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AE是△ABC的中线（E为BC中点），A'E'是△A'B'C'的对应中线（E'为B'C'中点）。求证：$\frac{AE}{A'E'}=k$。学生汇报，教师补充：-步骤1：得边与角的关系。∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$（对应角相等，对应边成比例）。-步骤2：证对应边成比例。∵AE、A'E'是中线，∴BE=$\frac{1}{2}$BC，B'E'=$\frac{1}{2}$B'C'，故$\frac{BE}{B'E'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$。-步骤3：证三角形相似。∵$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BE}{B'E'}=k$，∠B=∠B'，∴△ABE∽△A'B'E'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。-步骤4：推线段比例。由△ABE∽△A'B'E'得$\frac{AE}{A'E'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。结论：相似三角形对应中线的比等于相似比。3.探究3：相似三角形对应角平分线的性质自主探究：让学生独立完成对应角平分线性质的推导，教师巡视指导。已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AF是△ABC的角平分线（平分∠BAC），A'F'是△A'B'C'的对应角平分线（平分∠B'A'C'）。求证：$\frac{AF}{A'F'}=k$。成果展示：-步骤1：得角与边的关系。∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠BAC=∠B'A'C'，∠B=∠B'，$\frac{AB}{A'B'}=k$（对应角相等，对应边成比例）。-步骤2：证对应角相等。∵AF、A'F'是角平分线，∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'F'=$\frac{1}{2}$∠B'A'C'，故∠BAF=∠B'A'F'。-步骤3：证三角形相似。∵∠BAF=∠B'A'F'，∠B=∠B'，∴△ABF∽△A'B'F'（两角分别相等的两个三角形相似）。-步骤4：推线段比例。由△ABF∽△A'B'F'得$\frac{AF}{A'F'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。4.性质总结，明确核心相似三角形对应线段的性质：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。

拓展延伸：相似三角形的对应线段不仅包括高、中线、角平分线，还包括对应中位线、对应外接圆半径、对应内切圆半径等，它们的比都等于相似比。三十四、分类应用，突破难点（15分钟）1.题型1：直接利用性质求线段长度例1：△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:5，△ABC的高AD=6cm，中线BE=9cm，求△A'B'C'的对应高A'D'和对应中线B'E'的长度。解题示范：①由对应高的比等于相似比得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{5}$，代入AD=6cm，得$\frac{6}{A'D'}=\frac{3}{5}$，解得A'D'=10cm；②由对应中线的比等于相似比得$\frac{BE}{B'E'}=\frac{3}{5}$，代入BE=9cm，得$\frac{9}{B'E'}=\frac{3}{5}$，解得B'E'=15cm。答：△A'B'C'的对应高为10cm，对应中线为15cm。练习：△DEF∽△D'E'F'，相似比为2:3，△D'E'F'的角平分线D'F'=12cm，求△DEF的对应角平分线DF的长度。（答案：DF=8cm）2.题型2：结合相似比求面积相关问题例2：△ABC∽△A'B'C'，相似比为1:4，△ABC的一条高为3cm，求△A'B'C'对应高的长度；若△ABC的面积为2cm²，求△A'B'C'的面积（提示：相似三角形面积比等于相似比的平方）。解题示范：①求对应高：设△A'B'C'对应高为hcm，由对应高的比等于相似比得$\frac{3}{h}=\frac{1}{4}$，解得h=12cm；②求面积：面积比=（相似比）²=1:16，故△A'B'C'的面积=2×16=32cm²。答：对应高为12cm，面积为32cm²。3.题型3：综合应用性质解决实际问题例3：某小区有两个相似的三角形绿化区域，相似比为2:3，已知大绿化区域的一条中线长为18米，求小绿化区域对应中线的长度；若养护大绿化区域每平方米需花费10元，且大绿化区域面积为54平方米，求养护小绿化区域的总花费。解题示范：①求小区域对应中线：设小区域对应中线为x米，由对应中线的比等于相似比得$\frac{x}{18}=\frac{2}{3}$，解得x=12米；②求小区域面积：面积比=（2:3）²=4:9，设小区域面积为S平方米，$\frac{S}{54}=\frac{4}{9}$，解得S=24平方米；③求养护花费：24×10=240元。答：小绿化区域对应中线长12米，养护总花费240元。

易错提醒：应用性质时需严格对应，必须是“对应”高、中线、角平分线的比才等于相似比，避免将非对应线段的比与相似比混淆。三十五、实践应用，巩固提升（8分钟）1.基础巩固练习1.△ABC∽△A'B'C'，相似比为5:7，△ABC的高为15cm，求△A'B'C'的对应高；若△A'B'C'的中线为21cm，求△ABC的对应中线。（答案：21cm，15cm）2.两个相似三角形的对应角平分线比为3:5，其中较小三角形的面积为27cm²，求较大三角形的面积。（答案：75cm²）2.提高拓展练习1.△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是对应高，BE、B'E'分别是对应中线，已知AD=4，A'D'=6，BE=5，求B'E'的长度，并求两三角形的相似比。（答案：相似比2:3，B'E'=7.5）2.在△ABC中，DE∥BC，△ADE∽△ABC，相似比为1:2，AF是△ABC的高，交DE于点G，求证：AG=GF，并求$\frac{S_{△ADE}}{S_{四边形DECB}}$的值。（提示：先证AG是△ADE的高，再用对应高的比等于相似比）三十六、课堂小结与作业布置（5分钟）1.课堂小结（师生共同梳理）-核心性质：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；-推导思路：利用相似三角形的判定（两角分别相等）证明对应线段所在的小三角形相似，进而推导出线段比等于相似比；-解题关键：找准“对应”关系，明确相似比，区分对应线段与非对应线段；-知识关联：连接相似三角形的定义（对应边成比例）与性质，为后续学习相似三角形其他性质奠定基础。2.分层作业-基础作业：教材对应习题，完成3道利用性质求线段长度的题目、2道结合面积比的题目；-提高作业：△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:4，△ABC的三条高分别为3cm、4cm、5cm，求△A'B'C'的三条对应高的长度；-实践作业：测量校园内两个相似三角形花坛的一组对应高，计算它们的相似比，再测量一组对应中线，验证中线比是否与相似比一致。三十七、板书设计（相似三角形对应线段性质部分）3.4.2.1相似三角形对应高、中线、角平分线的性质一、核心性质1.前提：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k2.结论：

①

对应高的比：$\frac{AD}{A'D'}=k$

②

对应中线的比：$\frac{AE}{A'E'}=k$

③

对应角平分线的比：$\frac{AF}{A'F'}=k$

（统称：对应线段的比等于相似比）二、推导关键1.证小三角形相似（如△ABD∽△A'B'D'）；2.用相似三角形对应边成比例推线段比。三、应用示例例：相似比3:5，△ABC高AD=6cm

→$\frac{6}{A'D'}=\frac{3}{5}$→A'D'=10cm四、易错提醒“对应”是核心，非对应线段比≠相似比3.4.1.4相似三角形的判定定理3一、猜想与定理1.猜想：三边成比例的两个三角形相似2.定理：三边成比例的两个三角形相似

（符号：△ABC和△A'B'C'中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$→△ABC∽△A'B'C'）二、应用关键1.排序：将三边按长度从小到大排列，确定对应边；2.验证：计算三组对应边的比，若相等则相似。三、应用示例例1：△ABC（3,4,5），△A'B'C'（6,8,10）

→$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$→△ABC∽△A'B'C'四、判定方法对比|全等判定|相似判定|条件特征||----------|----------------|----------------||ASA|定理1（角角）|两角分别相等||SAS|定理2（边角边）|两边成比例+夹角相等||SSS|定理3（边边边）|三边成比例|2.分层练习1.基础题：两个相似三角形，对应边比为3:4，其中一个三角形的周长为24cm，求另一个三角形的周长（分两种情况）。（答案：18cm或32cm）2.提高题：已知□ABCD∽□A'B'C'D'，AB=6，A'B'=9，∠A=70°，求相似比及∠A'、AD与A'D'的比值。（答案：相似比2:3，∠A'=70°，AD:A'D'=2:3）3.拓展题：判断两个正五边形是否相似，并说明理由；若边长分别为3和5，求它们的周长比和对应角的关系。（答案：相似，正五边形各角相等、各边相等，对应角相等、对应边成比例；周长比3:5，对应角相等）十七、课堂小结与作业布置（8分钟）1.课堂小结（师生共同梳理）-核心概念：相似图形（形状相同）、相似多边形（边数相同+对应角相等+对应边成比例）、相似比；-关键性质：相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长比=相似比；-核心技能：利用性质求未知边、角及周长，判断图形是否相似；-思想方法：类比思想（从线段比例到图形相似）、对应思想（找准相似图形的对应顶点、边、角）。2.分层作业-基础作业：教材对应习题，完成3道相似性质应用题、2道相似判断題；-提高作业：已知两个相似多边形的周长比为2:5，其中一个多边形的边长为4，求另一个多边形的对应边长（分两种情况）；-实践作业：①找出生活中3组相似图形（如交通标志、树叶）并记录；②用直尺测量家中相似的两个物品（如两个杯子的直径、高度），计算它们的相似比。十八、板书设计（相似图形部分）3.3相似图形一、核心概念1.相似图形：形状相同（大小可同可不同）

（特殊：全等是相似的特例，相似比=1）2.相似多边形：边数相同+对应角相等+对应边成比例

（记法：△ABC∽△A'B'C'，对应顶点对齐）二、关键性质1.对应角相等；2.对应边成比例（相似比k）；3.周长比=相似比k。三、应用举例例：△ABC∽△A'B'C'，k=2:3，AB=4

→A'B'=6（对应边成比例）

→∠A'=∠A（对应角相等）四、判断要点边数相同+角等+边成比例，三者缺一不可相似三角形周长比等于相似比问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，它们都相似吗？（都相似）(1)(2)(3)123(1)与(2)的相似比=______，(1)与(2)的周长比=______，(1)与(3)的相似比=______，(1)与(3)的周长比=______.有什么规律吗？结论：相似三角形的周长比等于______．相似比1∶21∶21∶31∶3证明：设△ABC∽

△A1B1C1，相似比为

k，求证：相似三角形的周长比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么证明这一结论呢？相似三角形周长的比等于相似比.归纳总结相似三角形的面积比等于相似比的平方问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，回答以下问题：123（1）（2）（3）(1)与(2)的相似比=______，(1)与(2)的面积比=______，(1)与(3)的相似比=______，(1)与(3)的面积比=______，1:21:41:31:9结论：相似三角形