福建省百校2026届高三上学期12月联合测评数学试卷（含答案）

福建省百校2025-2026学年高三上学期12月联合测评数学试题一、单选题1．复数的实部为（

）A． B． C．3 D．12．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．33．函数f（x）=x+lnx﹣2的零点所在区间是A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．5．如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（

）A．3 B． C． D．6．如图，在边长为的正方形中，边，的中点分别为，，现将，，分别沿，BC，CA折起，使得点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥．若三棱锥的外接球的表面积为，则（

）A． B． C．2 D．7．已知等比数列的首项，，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（

）A．10 B．11 C．12 D．138．已知函数是定义在R上且单调递减的奇函数，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，则（

）A． B．C． D．10．已知函数，则（

）A．函数的图象在点处的切线方程为B．函数的最小值为1C．当时，若，则D．若且，则11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆的左、右焦点分别为，．过原点的直线在第一象限与椭圆，分别交于，两点，则（

）A．椭圆的离心率相等 B．椭圆的长轴长与椭圆的焦距相等C． D．三、填空题12．已知向量，，若，则．13．已知且，则的最大值为．14．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为．四、解答题15．已知是等差数列的前项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和为．16．如图，在正方体中，E是的中点，点P是直线上的一点，且平面．(1)请确定点P的位置；(2)求平面与平面的夹角的正弦值．17．已知函数．(1)求函数在区间上的值域；(2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围．18．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点是抛物线上的动点（点P不在x轴上）．当时，．(1)求抛物线的标准方程；(2)若的角平分线与y轴相交于点，直线PQ与抛物线C的准线相交于点T．（ⅰ）求的值；（ⅱ）证明：．19．设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是．(1)若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围；(2)当，时，证明：；(3)在中，求的最大值．

参考答案1．C2．D3．B4．B5．C6．B7．A8．D9．BD10．BC11．ABD12．/0.513．14．15（1）设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，有，故数列的通项公式为.（2）由（1）可得，所以，则，两式作差得，所以.16．（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，设，则，，因为平面，所以，，故，解得，所以点P的坐标为；（2），，设平面的一个法向量为，则，设得，故，显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角的大小为，则，所以，故平面与平面的夹角的正弦值为.17．（1）函数．所以.因为，所以，所以.令，根据二次函数的性质，在上单调递减，所以.因为，.所以在区间上的值域为.（2）令，则，所以.列出零点为，因为函数在区间上有4个零点，所以，解得.所以的取值范围为.18（1）抛物线的准线方程为，由点在抛物线上，所以，可得，又，则，所以，可得，故抛物线的标准方程为.（2）（ⅰ）由（1）可得，准线方程为，由点在抛物线上，有，当时，解得，不妨取，此时的角平分线为，令可得，即，此时，同理取也可得到；当时，可得直线的方程为，又由的角平分线与轴交于点，可得，且点到轴的距离与到直线的距离相等.可得，有，有，有，有，有或，可得或，又由，可得，故；综上可得；（ⅱ）当时取，此时，所以的方程为，即，由，解得，即，显然满足；当时，由（ⅰ）可得，可得直线的方程为，整理为；又由抛物线的准线方程为，代入到直线的方程，可得，可得点的坐标为；直线的斜率，又由，所以；综上可得.19．（1）因为，则，所以对任意的恒成立，所以，令，其中，则，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故，因此实数的取值范围是.（2）令，则，所以，所以函数为上的下凸函数，则，即，整理得.（3）令，