第23章 解直角三角形重难点检测卷（教师版）-沪科版(2024)九上

第二十三章\o"第23章解直角三角形"解直角三角形重难点检测卷（满分150分，考试时间120分钟，共23题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：\o"第23章解直角三角形"解直角三角形；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（10小题，每小题4分，共40分）1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，所对的边分别为a、b、c，下列等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，逐一验证各选项的正确性．【详解】在中，，则：，，，．选项A：由，得，而非，故选项A不成立．选项B：由，两边乘以得，此式恒成立，故选项B正确．选项C：由，得，而非．若代入，则，化简得，仅当时成立，故选项C不一定成立．选项D：由，得，而非．若代入，则，化简得，同样仅当时成立，故选项D不一定成立．综上，只有选项B一定成立．故选：B2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据余弦的定义计算，得到答案．【详解】解：在中，米，，∵，∴（米），故选：A．3．（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答．【详解】解：在中，，，，，，则的值为．故选：A．4．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查直角三角形中余切值的计算，需根据余切的定义确定邻边与对边的比值即可．【详解】解：在中，，，，∴，故选C．5．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）在平面直角坐标系内，点Q的坐标为，射线与x轴正半轴的夹角为，那么下列四个选项中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．根据点构造直角三角形，利用三角函数定义逐一验证选项即可．【详解】解：如下图，连接，过点作轴于点，∵点Q的坐标为，∴，，∴在中，，∴，选项A正确，符合题意；，选项B错误，不符合题意；，选项C错误，不符合题意；，选项D错误，不符合题意．故选：A．6．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形和勾股定理．利用锐角三角函数求出的长度，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意得，在中，，由勾股定理得，，故选：A．7．（2025·上海杨浦·模拟预测）一座无人机在飞过上海环球金融中心时（高约米），与建筑底部的控制人员的俯角为，则无人机到控制人员的距离为（

）米A． B． C．1260 D．315【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，可得米，，，解，即可求解．【详解】解：如图，根据题意可得米，，∴∴米故选：A．8．（2025·广东深圳·二模）航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（

）（参考数据：）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，千米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，在中，，千米，（千米），（千米），在中，，（千米），（千米），天舟二号从A处到B处的距离的长约为千米，故选：D．9．（2025·宁夏·中考真题）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（

）A．的长，的度数B．的长，的度数C．的长，的度数D．的长，的度数【答案】D【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设，．，．，．则．，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到．【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米，因此，要求只需先求．设，．在中，，则．在中，，则．所以．又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同，所以，若已知的长，设，则，代入可解得，进而求得，最终得到．综上，需要测量、，这样就能通过解方程组求出，从而得到．选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解：选项缺少，无法联立方程组：选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到；选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到．故选：D10．（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，结合线段的和差关系，三角形的面积公式，进行求解，判断即可．【详解】解：如图，在中，，；在中，，；∴，，∴；故选项A，C，D正确；无法得到；故选项B错误；故选B．第II卷（非选择题）填空题（4小题，每小题5分，共20分）11．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，，那么长为．【答案】/【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握正切函数的定义和勾股定理是解题的关键．先根据正切函数的定义求出的长度，再利用勾股定理求出的长度．【详解】解：∵在中，，，，∴，解得，∵∴故答案为：．12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为600米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即的长）为．【答案】米【分析】此题考查锐角三角函数的应用、解直角三角形等知识与方法，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．在中，，斜边是已知边，是已知角，而要求的是的对边的长，所以选择的正弦，即可求出结果．【详解】解：如图，在中，，（米），（米）．故答案为：米．13．（23-24九年级上·上海·自主招生）如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为（精确到米，参考数据：，，）．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，需要用到坡度坡角、三角函数、矩形的性质相关知识，解题可先根据斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距离，再结合三角函数求出相关线段长度，进而求出建筑物的高度．【详解】作于点，作于点，作，如图，设，，由勾股定理，得，解得：，不合题意，舍去，∴，，∴．∵，∴，∵，，，∴，∴．故答案为：．14．（2023·上海普陀·二模）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MN⊥AE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果△FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC=．=【答案】【分析】延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，易证△ABE≌△A′CE，得出AB=A′C=4；利用勾股定理求出AE的长，进而得出sin∠A′．利用互余角的三角函数的关系，得出cos∠2，在Rt△FHN和Rt△A′FN中利用cos∠2的值列出方程，即可求得结论．【详解】解：延长AE，DC交于点A′，过点F作FH⊥CD于H，∵ABCD是正方形，∴AB=BC=4，AB∥CD，∴∠1=∠A′．在△ABE和△A′CE中，．∴△ABE≌△A′CE（AAS）．∴AB=A′C=4．∵E为边BC的中点，∴BE=EC=BC=2．∴AE=．∴sin∠1=．∴sin∠A′=．∵AE⊥MN，∴∠A′FN=90°．∴∠A′+∠2=90°．∴cos∠2=sin∠A′=．∵FN=FC，FH⊥CN，∴NH=CH=CN．设NH=x，则NC=2x．∴A′N=A′C+NC=4+2x．在Rt△FHN中，，∴FN=x．在Rt△A′FN中，cos∠2=，∴．∴x=．∴FC=FN=x=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用已知条件通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题（9小题，共90分）15．（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，已知，，，解这个直角三角形．【答案】，，【分析】根据勾股定理求出b，并求出，再由特殊角的三角函数值即可求解三角形.【详解】解：在中，∵，，，∴∵∴∴【点睛】本题侧重考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键．16．（2024·上海·模拟预测）计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）-【分析】根据特殊的锐角三角函数值以及基本的四则运算法则可直接求解最后结果．【详解】解：（1）原式===．（2）原式===-=-【点睛】本题考查了锐角三角函数函数值，熟记特殊的锐角三角函数值是解决本题的关键．17．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿摆成如图所示．已知，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角．此时鱼线被拉直，鱼线．点O恰好位于海面，鱼线与海面的夹角．求海面与地面之间的距离的长．（结果保留一位小数，参考数据：，）【答案】0.9m【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作，并延长交于点E，根据矩形的性质得，在中，根据求出，在中，根据，求出，最后根据求出答案．【详解】过点B作，交于点C，延长交于点E，∴四边形是矩形，∴．根据题意可知，在中，，∴，即，解得．在中，，∴，即，解得，∴（m）．所以海面与地面之间得距离的长0．9m．18．（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，）【答案】59.8米【分析】本题考查了仰俯角的解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，解，求出，解，求出，最后再根据线段和差进行计算即可．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形和四边形都是矩形，，在中，由题意知米，∴（米）在中，由题意知米，∴（米），（米）．答：小山的高度约为59.8米．19．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年10月中旬，中国航天迎来了令人振奋的时刻，神舟十七号飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．如图所示，飞船从地面L处发射，在距离L处的地面雷达站R处测得：当飞船到达A点时，飞船底部与地面的仰角为，一秒后，雷达站测得飞船底部与地面的仰角为，问飞船从A点飞到B点的平均速度是多少？（雷达高度忽略不计，）【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别在、中，利用正切的定义求出，，进而求出，然后根据速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴，∴飞船从A点飞到B点的平均速度是．20．（2025·上海宝山·模拟预测）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图．信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计）信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”．(1)求：展板最低点B到地面的距离；(2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：）【答案】(1)展板最低点到地面的距离为；(2)当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线．（1）过作于，过点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可；（2）过点作于点，作于点，设，则，根据，求出结果即可．【详解】（1）解：如图2，过作于，过点作于，作于，在中，，，，，，又，，，，在中，，，答：展板最低点到地面的距离为；（2）如图，过点作于点，作于点，由（1）知，，，，，，，，设，，，，，，在中，，，，答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为．21．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，为了测量古塔高度，所得测量数据如下：米，，．求古塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，）【答案】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．根据解直角三角形表示出，再根据建立等式求解，即可解题．【详解】解：，，，米，，，解得．22．（2023·上海·模拟预测）如图，斜坡的坡度为，坡顶B到水平地面（）的距离为3米，在B处、C处分别测得顶部点E的仰角为和，点A、C、D在一直线上，求的高度（精确到1米）．（参考数据：，，，，，）【答案】高度是18米【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角、俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，设米，根据锐角