2026届广西桂林市重点名校高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2026届广西桂林市重点名校高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示学生甲乙丙丁估算结果（）其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁2．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）A. B.C. D.3．下列各式正确的是（）A. B.C. D.4．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）A. B.C. D.5．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.6．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个A.12 B.24C.36 D.487．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.8．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.2 B.2C.1 D.19．已知抛物线=的焦点为F，M、N是抛物线上两个不同的点，若，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.8 B.4C. D.910．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A. B.C.或 D.或11．已知双曲线的左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为A. B.C. D.12．若等比数列满足，，则数列的公比为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P是双曲线右支上的一点，且以点P及焦点为定点的三角形的面积为4，则点P的坐标是_____________14．的展开式中所有项的系数和为_________15．已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为______.16．已知椭圆：的右焦点为，且经过点（1）求椭圆的方程以及离心率；（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点（1）求证：；（2）求直线AB与平面所成角的正弦值18．（12分）已知，C是圆B：（B是圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线交BC于点P（1）求动点P的轨迹的方程；（2）设E，F为与x轴的两交点，Q是直线上动点，直线QE，QF分别交于M，N两点，求证：直线MN过定点19．（12分）芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素．根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据统计如下：（1）根据折线图数据,求y关于x的线性回归方程(系数精确到整数部分);（2）为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．参考数据,20．（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和21．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值22．（10分）如图，在四棱锥中中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,,,所以花瓶的容积，故最接近的是丁同学的估算，故选：D2、A【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.【详解】由椭圆的对称性可知，,所以，又椭圆方程为，所以，解得，所以，故选：A3、C【解析】利用导数的四则运算即可求解.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：C4、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.故选：A.5、B【解析】利用渐近线方程和直线解出Q点坐标，再由得P点坐标，代入双曲线方程得到a、b、c的齐次式可解.【详解】如图，因为与渐近线垂直所以的斜率为，方程为解的Q的坐标为设P点坐标为则，因为，所以，得点P坐标为，代入得：所以，即所以渐近线方程为故选：B.6、D【解析】设等比数列的首项为，公比，根据题意，由求解.【详解】设等比数列的首项为，公比，由题意得：，即，解得，所以，故选：D7、C【解析】取AC的中点M，过点M作，且使得，进而证明平面，然后判断出是与平面所成的角，最后求出答案.【详解】如图，取AC的中点M，因为，则，过点M作，且使得，则四边形BDNM是平行四边形，所以.由题意，平面ABC，则平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，连接DA,NA，则是与平面所成的角.而，于是，.故选：.8、C【解析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.【详解】由题设，，则且，所以，即，可得.故选：C9、B【解析】过分别作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得，再过MN的中点作垂直于准线，垂足为，然后利用梯形的中位线定理可求得结果【详解】抛物线=的焦点，准线方程为直线如图，过分别作垂直于准线，垂足为，过MN的中点作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得，因为，所以，因为是梯形的中位线，所以，所以线段MN的中点到y轴的距离为4，故选：B10、D【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为，∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，故选：D﹒11、D【解析】求得，根据的面积列方程，由此求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线为，则，所以，所以，所以.所以双曲线渐近线方程为.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的有关计算，属于中档题.12、D【解析】设等比数列的公比为，然后由已知条件列方程组求解即可【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，所以，解得，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可得P到x轴的距离为1，把代入，得，可得P点坐标【详解】设，由题意知，所以，则，由题意可得，把代入，得，所以P点坐标为故答案为：14、##0.015625【解析】赋值法求解二项式展开式中所有项的系数和.【详解】令得：，即为展开式中所有项的系数和.故答案为：15、【解析】由函数的图象得出当时，，再由函数是偶函数，其图象的性质，即可得出答案.【详解】是偶函数，且，所以，由图象得当时，.又函数是偶函数，其图像关于y轴对称，当时，，所以不等式的解集为.故答案为：.16、（1），；（2）存在定点，为【解析】（1）利用，，求解方程（2）设直线方程为，与椭圆联立利用判别式等于0得，并求得切点坐标及，假设存在点，利用化简求值【详解】（1）由已知得，，，，椭圆的方程为，离心率为；（2）在轴存在定点，为使，证明：设直线方程为代入得，化简得由，得，，设，则，，则，设，则，则假设存在点解得所以在轴存在定点使【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用，利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由线面垂直、等腰三角形的性质易得、，再根据线面垂直的判定及性质证明结论；（2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱中，平面，则平面，由平面，则，，则，又为的中点，则，又，则平面，由平面，因此，.【小问2详解】以为原点，以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得：，，，，，，.∴，，，，设为面的法向量，则，令得，设与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据，利用椭圆的定义求解；（2）（解法1）设，得到，的方程，与椭圆方程联立，求得M，N的坐标，写出直线的方程求解；（解法2）上同解法1，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，然后由求解；（解法3）设，由，，设：，：，其中，与椭圆方程联立，整理得，由F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，得到：求解.【小问1详解】解：由题知，则，由椭圆的定义知动点P的轨迹为以A，B为焦点，6为长轴长的椭圆，所以轨迹的方程为【小问2详解】（解法1）易知E，F为椭圆的长轴两端点，不妨设，，设，则，，于是：，：，联立得，解得或，易得，同理当，即时，：；当时，有，于是：，即综上直线MN过定点（解法2）上同解法1，得，，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直线MN过定点（解法3）设，则，，当时，直线MN即为x轴；当时，因为，所以，则，设：，：，其中，联立，得，整理得，易知F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，所以：，由及的任意性，知直线MN过定点19、（1）（2）85亿元【解析】(1)利用公式和数据计算即可(2)代入回归直线计算即可小问1详解】由折线图中数据知,,,因为,所以所以y关于x的线性回归方程为【小问2详解】当时,亿元,此时公司的实际收益的预测值为亿元20、（1）；（2）【解析】（1）由等差数列以及等比中项的公式代入联立求解出，再利用等差数列的通项公式即可求得答案；（2）利用分组求和法，根据求和公式分别求出等差数列与等比数列的前项和再相加即可.【详解】（1）由题意，，，即，联立解得，所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，，所以【点睛】关于数列前项和的求和方法：分组求和法：两个数列等差或者等比数列相加时利用分组求和法计算；裂项相加法：数列的通项公式为分式时可考虑裂项相消法求和；错位相减法：等差乘以等比数列的情况利用错位相减法求和.21、（1）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是（2）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.【小问1详