河北省保定市六校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考试题 数学含解析

河北省保定市六校联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考

数学试题

一、单选题

1．直线3x2y10的一个方向向量是（）

A．2,3B．2,3C．3,2D．3,2

y2

2．双曲线x21(m0)的焦点到其一条渐近线的距离为（）

m

A．mB．mC．m1D．1

3．设直线l的方程为xysin20，则直线l的倾斜角的范围是（）

πππ3ππππ3π

A．0,πB．,C．,D．,,

42444224

4．若点P1,2在圆x2y2x2y2k0的外部，则实数k的取值范围是（）

55

A．5,B．,5C．5,D．5,

84

5．如图，在四面体OABC中，OAa，OBb，OCc，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，

则MN（）

121211

A．abcB．abc

232322

111221

C．abcD．abc

222332

6．已知点M4,11，直线l1:xmy3m40与直线l2:mxy2m50交于点P，则PM的值可以为

（）．

A．7B．6C．8D．19

7．PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的

余弦值是（）

6321

A．B．C．D．

3322

x2y2

8．已知F1c,0,F2c,0分别为椭圆M:1ab0的左、右焦点，从点A2c,0射出的一条光

a2b2

32

线经直线yc反射后经过点F2，且反射后的光线与M在第四象限交于点P．若PF1PF2a，则M

2

的离心率为（）

3322

A．B．C．D．

2323

二、多选题

9．已知曲线C:x2my21，下列结论正确的有（）

1

A．若m0，则C是椭圆B．若m，则C是焦点在y轴上的椭圆

2

C．若m0，则C是双曲线D．若m0，则C是两条平行于y轴的直线

22

10．（多选）已知圆C:x1y225，直线l:2m1xm1y7m40.则以下几个命题正确的

有（）

A．直线l恒过定点3,1B．圆C被y轴截得的弦长为46

C．直线l与圆C恒相交D．直线l被圆C截得最长弦长时，直线l的方程为2xy50

11．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱C1D1，CC1，

AA1的中点，则下列说法正确的有（）

A．过M，N，Q三点的平面截正方体所得的截面图形是正六边形

B．直线PM与直线QN是异面直线

C．当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥PMNQ体积的最大值为1

D．若P到棱CD，A1D1的距离相等，则点P的轨迹是双曲线

三、填空题

12．若向量a(2,3,1)，b(2,0,3)，c(1,2,2)，则a(bc)的值为

13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为63m，

行车道总宽度BC为211m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部

（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度

是．

14．已知曲线C:xymm0.

（1）若m1，则由曲线C围成的图形的面积是．

x2

（2）曲线C与椭圆y21有四个不同的交点，则实数m的取值范围是．

4

四、解答题

15．（1）求平行于直线xy20，且与它的距离为22的直线的方程；

（2）已知圆C:x2y24，直线l过点A(2,1)，当直线l与圆C相切时，求直线l的方程.

16．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点，

作EFPB交PB于点F.

(1)求证：PB平面EFD；

(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.

17．（1）求圆心在直线3xy0上，与x轴相切，且被直线xy0截得的弦长为27的圆的方程；

（2）M是一个动点，MA与直线yx垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线yx垂直，垂足B位于第

四象限.若四边形OAMB（O为坐标原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程.

△

18．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，E为棱CC1的中点，AB1C为等边三角形．

(1)求证：AB1B1C1；

(2)若ACBC,AC4,BC3，求平面AA1B1B和平面AB1E夹角的余弦值．

x2y2

19．已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为F,C上一动点D到F的距离的取值范围为[62,62].

a2b2

(1)求C的标准方程；

(2)设斜率为k(k0)的直线l过F点，交C于A，B两点.记线段AB的中点为N，直线ON交直线x3于点M，

直线MF交C于P，Q两点.

求MFA的大小；

①求四边形APBQ面积的最小值.

②

1．A

33

【详解】因为直线3x2y10的斜率为，所以直线的一个方向向量为1,，

22

3

又因为2,3与1,共线，所以3x2y10的一个方向向量可以是2,3，

2

故选：A.

2．B

求出焦点坐标及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求出距离.

y2

【详解】解：由x21(m0)，得cm1，渐近线方程为ymx，

m

由双曲线的对称性，不妨取双曲线的右焦点m1,0，一条渐近线方程为mxy0，

则焦点m1,0到渐近线mxy0的距离为

mm1

dm.

m1

故选：B.

3．C

直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围；

【详解】直线l的方程为xysin20，设直线的倾斜角为，

π

当sin0时，，

2

1

②当sin0时，直线的斜率ktan，

sin

由于1sin0或0sin1，

所以tan(,1][1,)，

πππ3π

所以[,)(,]，

4224

π3π

综上所述：[,]；

44

故选：C．

4．C

根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可．

【详解】由已知圆x2y2x2y2k0，则148k0，

又点P1,2在圆x2y2x2y2k0的外部，

则14142k0，

58k05

即，解得5k，

102k08

故选：C．

5．B

根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解.

12

【详解】MNONOMOBOCOA

23

211

abc.

322

故选：B

6．C

由题意确定直线l1与l2互相垂直，得到点P轨迹，即可求解.

【详解】由题意可知，当m0时，直线l1与l2互相垂直，

1

当m0时，m1，直线l与l互相垂直，

m12

且l1直线经过定点A4,3，直线l2经过定点B2,5，所以PAPB0.

22

设Px,y，则4x2x3y5y0，即x1y125，

则点P在以点1,1为圆心，5为半径的圆（除去A4,3与B2,5、2,3）上，

22

所以PM的最大值为41111513518，

22

最小值为4111151358.

故PM的取值范围是8,18.

故选：C

7．B

作图，找到直线PC在平面PAB上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；

也可将PA,PB,PC三条射线截取出来放在正方体中进行分析.

【详解】解法一：

如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD，

作CGPD于点G，CHPA于点H，连接HG，

易得CGPA，又CHCGC,CH,CG平面CHG，则PA平面CHG，又HG平面CHG，则PAHG，

PH

cosCPA

PC

有

PGPHPH

cosCPDcosAPD

PCPGPC

故cosCPAcosCPDcosAPD．

已知APC60,APD30，

cosCPAcos603

故cosCPD为所求．

cosAPDcos303

解法二：

如图所示，把PA,PB,PC放在正方体中，PA,PB,PC的夹角均为60．

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则P(1,0,0),C(0,0,1),A(1,1,1),B(0,1,0)，

所以PC(1,0,1),PA(0,1,1),PB(1,1,0)，

nPAyz0

设平面PAB的法向量n(x,y,z)，则

nPBxy0

令x1，则y=1,z=-1，所以n(1,1,1)，

PCn26

所以cosPC,n．

|PC||n|233

6

设直线PC与平面PAB所成角为，所以sin|cosPC,n|，

3

3

所以cos1sin2．

3

故选B．

8．B

首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于a,c的齐次方程，

即可求解离心率.

32

【详解】设从点A2c,0射出的一条光线射到直线yc的点为Q，反射后经过点F2c,0，

2

c32

所以点，所以直线的斜率为，

Q,cQF22

22

3

所以cosFFP

123

PF1PF22a3a

由，得PF1a，PF2，

PF1PF2a22

9a2a3

中，根据余弦定理可知22，整理为22，

F1F2Pa4c22c6c3ac3a0

4423

即6e23e30，2e33e30，

3

解得：e

3

3

所以椭圆M的离心率为.

3

故选：B

9．BCD

1

对于A，举例判断，对于B，将m代入结合椭圆的标准方程判断，对于C，由双曲线的标准方程分析判

2

断，对于D，将m0代入化简变形判断.

【详解】对于A，若m1，则曲线C表示圆，故A错误；

1y2

对于B，若m，则x2my21可化为x21，此时曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故B正确；

22

对于C，若m0，则曲线C表示双曲线，故C正确；

对于D，若m0，则x2my21可化为x21，此时曲线C表示两条平行于y轴的直线，故D正确．

故选：BCD

10．ABC

【解析】求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．

2xy70x3

【详解】直线l方程整理得m(2xy7)xy40，由，解得，∴直线l过定点P(3,1)，

xy40y1

A正确；

在圆方程中令x0，得1(y2)225，y226，∴y轴上的弦长为46，B正确；

(31)2(12)2525，∴P(3,1)在圆内，直线与圆一定相交，C正确；

1

直线l被圆C截得弦最长时，直线过圆心(1,2)，则(2m1)2(m1)7m40，m，直线方程为

3

125

xy0，即x2y50．D错．

333

故选：ABC．

11．ACD

【详解】如图所示，作出各棱中点，在正方体中，根据三角形中位线的关系，可知QT//MN，SQ//NR，

SM//TR，且截面各边长都是相等的，是正六边形，所以A正确；

当点P在AB中点T处，由选项A可知，此时PM与直线QN为相交直线，所以B错误；

正方体棱长为2，则线段MN2，则正六边形边长均为2，

则QM(2)2(2)2222cos1206，QN2SM22，

1

所以QN2QM2MN2，所以QMN为直角三角形，可得S623，

QMN2

建立如图所示的空间直角坐标系，

设P(m,n,0)，0m2，0n2，

则T(2,1,0)，R(1,2,0)，N(0,2,1)，TR(1,1,0)，TN(2,1,1)，

设平面TRNMSQ的法向量为n(x,y,z)，

TNn2xyz0,

则取x1，则n(1,1,1)，

TRnxy0,

|PTn||3(mn)|

又PT(2m,1n,0)，则点P到平面TRNMSQ的距离d，

|n|3

3

故当mn0时，即P与点D重合时，距离最大为3，

3

1

故体积的最大值为331，所以C正确；

3

如图所示，过P作PGCD于G，过P作PEAD于E，作EFA1D1于F，连接PF，

以D为坐标原点，以DC，AD为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，

由于PEAD，AD//A1D1，PEA1D1，

又EFA1D1，PEEFE，PE,PF平面PEF，故A1D1平面PEF，

又PF平面PEF，故A1D1PF，

设P(x,y)，则PFPE2EF2x24，PG|y|，

22

2yx

当P到棱CD，A1D1距离相等时，即PGPF，x4|y|，化简得1，即点P的轨迹是双曲线，

44

所以D正确.

故选：ACD.

12．5

根据空间向量线性运算的坐标表示，以及空间向量数量积的坐标表示，求出结果.

【详解】因为b(2,0,3)，c(1,2,2)，所以bc(3,2,5)，

因为a(2,3,1)，所以a(bc)23(3)2155.

故答案为：5.

7

13．3.5m/m

2

通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可.

【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作BGAD，交圆弧于点G，作GHMN于点H，

连接OE、OG.

11

由题可知，MP523m，EPAD33m，GHBC11m

22

设OEOMr，则OPr3

在OEP中，有OE2OP2EP2

即r2(r3)2(33)2，解得r6

2

OHOG2GH262115m

MHOMOH651m

BGNHMNMH514m

故车辆通过隧道的限制高度是40.53.5m.

故答案为：3.5m

14．21m2或m5

（1）若m1，曲线C:xy1，表示对角线长为2的正方形，可得曲线C围成的图形的面积是2；

x2

（2）椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，1m2时，曲线C与椭圆y21有四个不同的交点；再考

4

虑相切时的情形，即可得出结论.

【详解】（1）若m1，曲线C:xy1，易知曲线C关于x轴，y轴对称，

作出当x0，y0时xy10的图象，根据对称性得到曲线C的图象如下图：

曲线C表示对角线长为2的正方形，

故曲线C围成的图形的面积是2；

（2）由（1）可知，曲线C:xymm0表示对角线长为2m的正方形，

因为椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，

x2

所以当1m2时，曲线C与椭圆y21有四个不同的交点；

4

xym0

当，时，联立2，

x0y0x2

y1

4

可得5x28mx4m240，

2

22x

当Δ64m454m40时，直线xym0与椭圆y21相切，

4

此时m5，m0，m5，

x2

根据曲线C的对称性知，此时曲线C与椭圆y21有四个不同的交点，

4

所以1m2或m5.

故答案为：2；1m2或m5.

15．（1）xy20，xy60；（2）x2或3x4y100.

（1）根据直线平行设该直线为xyc0，根据平行线间的距离公式可得c的值，从而得直线方程；

（2）讨论直线斜率不存在时、斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径即可得直线方程.

【详解】（1）因为所求直线平行于直线xy20，所以可设该直线为xyc0c2，

|c2|

又因为所求直线与直线xy20的距离为22，所以22，

1212

可得|c2|4，解得c2，c6，

所以平行于直线xy20，且与它的距离为22的直线的方程为：xy20，xy60.

（2）已知圆C的圆心是C(0,0)，半径是2，

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10，

|2k1|3

则圆心C到直线l的距离为2，解得k，

k214

故直线l的方程为3x4y100.

综上，直线l的方程为x2或3x4y100.

16．(1)证明见解析

(2)60

（1）由向量数量积坐标运算证明PBDE，结合已知EFPB线面垂直可证；

（2）利用垂直关系找到二面角的平面角，转化为两向量FE与FD的夹角运算求解可得.

【详解】（1）以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴､y轴､z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设DC1.

11

依题意得A1,0,0,P0,0,1,E0,,.B1,1,0，

22

11

故PB1,1,1.DE0,,，

22

11

故PBDE00，所以PBDE.

22

由已知EFPB，且EFDEE，EF平面EFD，DE平面EFD，

所以PB平面EFD.

（2）已知PBEF，由（1）PB平面EFD，又DF平面EFD，

所以PBDF，且EFD为锐角，故EFD是平面CPB与平面PBD的夹角.

设点F的坐标为x,y,z，则PFx,y,z1，

由题意F在线段PB上，所以PFkPB,k0,1，

所以x,y,z1k1,1,1k,k,k，

即xk，yk,z1k.

设PBDF0，则1,1,1k,k,1kkk1k3k10，

111211

所以k，点F的坐标为,,，又点E的坐标为0,,，

333322

111112

所以FE,,，FD,,.

366333

1111121

,,,,

FEFD36633361

所以cosEFD，

66662

FEFD

6363

所以EFD60，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60.

17．（1）(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29；（2）x2y26(x0).

（1）方法一：根据圆心位置设圆的方程为(xa)2(y3a)29a2，利用弦长公式列方程求解a的值，即可

得圆的方程；方法二：设所求的圆的方程是x2y2DxEyF0，确定圆心与半径，利用弦长公式列方

程求解D,E,F的值，即可得圆的方程；

（2）设M(x,y)，根据题意可知点M在yx和yx相交的右侧区域，结合距离公式与面积公式列方程即

可得轨迹方程.

【详解】（1）方法一：因为圆心在3xy0上，与x轴相切，

故设所求圆的方程为(xa)2(y3a)29a2，

|a3a|

圆心到直线xy0的距离d2|a|，

2

则2|a|9a2(7)2，解得a1，或a1，

所以所求圆的方程为(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.

DE122

方法二：设所求的圆的方程是x2y2DxEyF0，则圆心为,，半径为DE4F，

222

令y0，得x2DxF0，

由圆与x轴相切，得0，即D24F，①

DE

DE

又圆心,到直线xy0的距离为22，

22d

2

2

DE

2222222

由已知，得(7)r，即(DE)562(DE4F)，②

2

DE

又圆心,在直线3xy0上，则3DE0，③

22

联立①②③，解得D2，E6，F1或D2，E6，F1，

故所求圆的方程是x2y22x6y10或x2y22x6y10.

（2）设M(x,y)，根据题意可知点M在yx和yx相交的右侧区域，

|xy|xy

所以点M到直线yx的距离d1，

22

|xy|xy

到直线yx的距离d2，

22

x2y2

Sdd3，即x2y26(x0)，

OAMB122

所以动点M的轨迹方程为x2y26(x0).

18．(1)证明见解析

1

(2)

7

（1）根据题意，先证AB1平面A1BC，再由线面垂直的性质定理即可证明；

（2）根据题意，设AC，AB的中点分别为O，G，连接B1O,OG，以O为坐标原点，OG,OC,OB1的方向分

别为x轴y轴z轴的正方向，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.

【详解】（1）

如图，连接A1B，与AB1相交于点F，连接CF，A1C．

因为四边形AA1B1B为菱形，所以F为AB1的中点，且BFAB1．

△

因为AB1C为等边三角形，所以CFAB1，

因为BFCFF，BF、CF在面A1BC内，所以AB1平面A1BC．

因为BC平面A1BC，所以AB1BC．

因为B1C1∥BC，所以AB1B1C1．

（2）设AC，AB的中点分别为O，G，连接B1O,OG．

由（1）可知AB1BC，又ACBC,AB1ACA，AB1、AC在面AB1C内，

所以BC平面AB1C，OB1、OC在面AB1C内，则OB1、OC与BC垂直，

因为OG∥BC，所以OG平面AB1C，

△

因为AB1C为等边三角形，所以B1OAC．

以O为坐标原点，OG,OC,OB1的方向分别为x轴y轴z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系，

则A(0,2,0),C(0,2,0),B(3,2,0),B1(0,0,23)，

所以AB(3,4,0),BC(3,0,0)，

3

由ABAB,BCBC，得A1(3,4,23),C1(3,0,23),E,1,3，

11112

3

所以AE,3,3,AB1(0,2,23),AA1(3,2,23)．

2

设平面AA1B1B的法向量为nx1,y1,z1，

nAB3x4y0,

则11令，得．

y13n(4,3,3)

nAA13x12y123z10,

设平面AB1E的法向量为mx2,y2,z2，

3

mAEx23y23z20,

则2令z23，得m(4,3,3)．

mAB12y223z20,

设平面AA1B1B与平面AB1E的夹角为，

nm16931

所以coscosn,m，

nm169316937

1

即平面AABB与平面ABE夹角的余弦值为．

1117

x2y2

19．(1)1；

62

π

(2)；3.

2

（1①）设出②椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出|DF|的取值范围，进而求出a,b,c即可.

（2）①设出直线l的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出N,M坐标，利用斜率关系求出MFA；②

利用弦长公式求出|AB|,|PQ|，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值.

x2y2

【详解】（1）设椭圆C:1的半焦距为c，则ac|DF|ac，

a2b2

而点D到F的距离的取值范围为[62,62]，

ac62a6

因此，解得