《画法几何与机械制图(同济版)》教学课件-第七章轴测图

第7章轴测图掌握轴测图的形成及轴间角、轴向伸缩系数的定义，轴测图的特性及分类，正等轴测图和斜二等轴测图的特点及画法。【学习目标】【学习重点】正等轴测图和斜二等轴测图的特点及画法。常用的工程图样是三视图，是用正投影法将物体表达在平面上，如图7-1（a）所示。该图具有作图简便、度量性好等优点。但这种图的立体感不强，需要具备一定投影基础才能读懂。如果把它绘制成图7-1（b）所示的形式，物体的形状就很直观。这种图是用轴测投影的方法绘制出来的，称为轴测投影图，简称轴测图。轴测图具有直观性好、立体感强等优点，可以在设计中帮助构思物体的形状，以弥补正投影图的不足，又可在生产中说明机器及部件的外观、内部结构、安装、工作原理等情况。但它不能准确地反映物体的形状，作图较复杂，度量性差，常用作工程上的辅助图样。

图7-1三视图与轴测图轴测投影的基本知识7.1在图7-2中，用平行投影法将空间物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标面方向S，投射到单一投影面P上所得的投影，称为轴测投影。投影面P称为轴测投影面。当投射线垂直于轴测投影面P时得到的图形称为正轴测图，如图7-2（a）所示；当投射线倾斜于轴测投影面P时得到的图形则称为斜轴测图，如图7-2（b）所示。7.1.1轴测图的形成图7-2轴测图的形成轴测投影的基本知识7.1

7.1.2轴间角和轴向伸缩系数轴测投影的基本知识7.1轴测图根据投影法的不同分为两大类，即正轴测图和斜轴测图，如图7-2所示。根据轴向伸缩系数的不同，轴测图又可分为以下三种：（1）等轴测图。等轴测图即三个轴向伸缩系数都相等的轴测图，即p1=q1=r1。（2）二等轴测图。二等轴测图即有两个轴向伸缩系数相等的轴测图。（3）三等轴测图。三等轴测图即三个轴向伸缩系数均不相等的轴测图，即p1≠r1≠q1。因此，轴测图就有正等轴测图（简称正等测图）、正二等轴测图（简称正二测图）、正三等轴测图（简称正三测图）、斜等轴测图（简称斜等测图）、斜二等轴测图（简称斜二测图）、斜三等轴测图（简称斜三测图）等，工程上通常采用的是正等测图和斜二测图。7.1.3轴测图的分类轴测投影的基本知识7.1轴测图是平行投影法形成的，因此具有平行投影的投影特性，即平行性、定比性和度量性。（1）平行性。互相平行的直线，其轴测投影仍平行。（2）定比性。两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测投影中保持不变。（3）度量性。形体上与坐标轴平行的线段尺寸，在轴测图中均可沿轴测轴的方向测量，且长度等于沿该轴的轴向伸缩系数与该线段长度的乘积。由此可见，物体表面上平行于各坐标轴的线段，在轴测图上也平行于相应的轴测轴，且只能沿轴测轴的方向、按相应的轴向伸缩系数来度量。这也正是“轴测”二字的含义。绘制物体轴测图的方法有坐标法、切割法、叠加法等，下面分别介绍正等轴测图和斜二等轴测图的特点与画法。7.1.4轴测投影的特性正等轴测图7.2如图7-3所示，正等轴测图的三个轴间角相等，均为120°，规定Z轴是铅垂方向。根据理论计算，其轴向伸缩系数p1=q1=r1=0.82，为了作图简便，采用p1=q1=r1=1，这样沿轴向尺寸就可以直接量取物体实长，但画出的正等轴测图比原投影放大1/0.82≈1.22倍，如图7-4所示。图7-3正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数图7-4用两种轴向伸缩系数画轴测图的大小比较正等轴测图7.2画轴测图的基本方法是坐标法。坐标法即根据立体表面上每个顶点的坐标，画出它们的轴测投影，然后连接立体表面的轮廓线，从而得到立体轴测投影的方法。下面分别对平面立体和曲面立体举例加以说明。1.平面立体对于平面立体来说，即先根据平面立体的尺寸或角点的坐标画出点的轴测投影，然后将同一棱线上的两角点连成直线，即得平面立体的轴测图。7.2.1基本立体正等轴测图的画法正等轴测图7.2【例7-1】作正六棱柱的正等轴测图，如图7-5所示。7.2.1基本立体正等轴测图的画法图7-5用坐标法画正六棱柱的正等轴测图分析：如图7-5（a）所示的六棱柱，其左右、前后均对称，故将坐标原点定在上底面六边形的中心（也可定在下底面六边形的中心），以六边形的中心线作为X轴和Y轴，将六棱柱的轴线作为Z轴。为简化作图，轴测图中一般不画虚线。作图：（1）定出直角坐标的原点O和坐标轴X、Y、Z，如图7-5（a）所示。（2）画出正等轴测的轴测轴X1、Y1、Z1，并根据m1n1=mn，c1f1=cf定出点m1、n1、c1、f1。过点m1、n1作线段a1b1和d1e1平行于O1X1，再根据a1b1=ab、d1e1=de确定出点a1、b1、d1、e1，如图7-5（b）所示。（3）过点a1、b1、c1、d1、e1、f1分别作Z轴的平行线，长度等于六棱柱的高，确定出下底面的六边形的端点（看不见的部分没有绘出），然后连接端点，如图7-5（c）所示。（4）擦去作图线即得正六棱柱的正等轴测图，如图7-5（d）所示。

图7-6用坐标法画三棱锥的正等轴测图2.曲面立体对于曲面立体来说，可先画出曲线轮廓上适当点的轴测投影并连成曲线，然后画曲面立体的其他轮廓线，最后连接曲面立体表面的轮廓线，从而得到曲面立体轴测图。平行于三坐标面的圆的正等轴测图为椭圆，该椭圆长、短轴的方向及其轴向伸缩系数如图所示。采用简化轴向伸缩系数后的长轴为1.22d，短轴为0.7d(图中加括号的即是)。为了简化作图，一般用菱形法近似画出，即用四段圆弧来近似代替椭圆弧。图7-8所示为用菱形法画水平圆正等轴测图，作图步骤如下：（1）确定原点与坐标轴，并作圆的外切正方形，切点为A、B、C、D，如图7-8（a）所示。（2）通过切点作外切正方形的轴测投影（菱形），作轴测轴和切点A1、B1、C1、D1，如图7-8（b）所示。（3）作菱形的对角线，连接O1D1、O1B1，得圆心O1、O2、O3、O4，如图7-8（c）所示。（4）以点O1、O2为圆心，O1B1为半径，作圆弧D1B1、A1C1；以点O3、O4为圆心，O3D1为半径，作圆弧A1D1、B1C1，连成近似椭圆，如图7-8（d）所示。图7-8用菱形法画水平圆正等轴测图椭圆

一个圆无论平行哪个投影面，其轴测图的画法均相同，都可用菱形法画出。只是相应投影面上椭圆的长、短轴的方向不同，并且三个椭圆的长轴构成等边三角形。图77所示为平行于三坐标面的圆的正等轴测图。

对于画曲面立体，只要先画出底面和顶面圆的正等轴测图——椭圆，然后作出两椭圆的公切线，即可得到其正等轴测图。【例7-3】已知圆柱的两面投影及尺寸，如图7-9（a）所示，作出圆柱的正等轴测图。作图：（1）选坐标系，原点选定为顶圆的圆心，XOY坐标面与上顶圆重合，如图7-9（a）所示。（2）用菱形法画出顶圆的轴测图——椭圆，如图7-9（b）所示。（3）将该椭圆的圆心沿Z轴向下平移，距离等于圆柱的高度H，定出底圆的圆心，再用同样的方法画出底圆的轴测图，如图7-9（c）所示。（4）画两椭圆的公切线，擦去作图线，加深后即完成圆柱的正等轴测图，如图7-9（d）所示。图7-9圆柱正等轴测图画法立体上常用到圆角结构。立体上1/4圆角在正等轴测图上是1/4椭圆弧，可用近似画法作出。作图时根据已知圆角半径R[图7-10(a)]找出切点T[图7-10(b)]，过切点分别作圆角邻边的垂线，两垂线的交点即为圆心，以此圆心到切点的距离为半径画圆弧即得圆角的正等轴测图。底面圆角的作法与顶面圆角的作法相同，如图7-10（c）所示。图7-10圆角的正等轴测图的画法正等轴测图7.2轴测图的主要画法分为切割法和叠加法。切割法是对于某些以切割为主的立体来说的，先作出基本形体的轴测图，然后根据切口尺寸定出切口的位置，从而完成其轴测图。叠加法是对于以叠加为主的立体来说的，先将叠加体分成若干部分分别绘制轴测图，然后根据各部分间的相对位置关系叠放在一起形成组合体的轴测图。7.2.2切割体和叠加体正等轴测图的画法【例7-4】根据图7-11（a）所示组合体的三视图作出正等轴测图。分析：将图7-11（a）所示的形体看成切割体，即大长方体被挖掉一个小长方体，然后在左上角切去小三棱柱，采用切割法完成轴测图。作图：先画出长方体的正等轴测图[图7-11（b）]，然后根据三视图中对应的长、宽、高切掉小长方体[图7-11（c）]，最后切取左上角的小三棱柱[图7-11（d）]。图7-11切割体正等轴测图的画法【例7-5】如图7-12（a）所示，已知被截切圆柱的主、俯视图，作出其正等轴测图。作图：（1）选坐标系，原点选定为顶圆的圆心，XOY坐标面与上顶圆重合，如图7-12（a）所示。（2）用菱形法画出顶圆的轴测投影——椭圆，将该椭圆沿Z轴向下平移H，即得底圆的轴测投影；将椭圆沿Z轴向下平移H/2，即得切口的轴测投影，如图7-12（b）所示。图7-12被截切圆柱正等轴测图的画法（3）根据切口宽度在顶面椭圆上画出宽度线，如图7-12（c）所示。（4）画椭圆的公切线、垂直的切口线，擦去作图线，加深后即完成作图，如图7-12（d）所示。图7-12被截切圆柱正等轴测图的画法【例7-6】作出图7-13（a）所示组合体的正等轴测图。分析：此组合体可分成底板、竖板和肋板三部分，其中底板和竖板均有穿孔（切割），先分别绘制其正等轴测图，然后根据相对位置关系叠放在一起来形成该组合体的正等轴测图。作图：（1）画底板，如图7-13（b）所示。（2）画竖板的正等轴测图，如图7-13（c）和图7-13（d）所示。图7-13叠加体正等轴测图的画法（3）画底板圆角，如图7-13（d）所示。（4）画底板圆孔正等轴测图，如图7-13（e）所示。（5）画肋板并整理完成全图，如图7-13（f）所示。图7-13叠加体正等轴测图的画法斜二等轴测图7.3斜二等轴测图是轴测投影面平行于一个坐标平面，且平行于坐标平面的那两个轴的轴向伸缩系数相等的斜轴测投影。如图7-14（a）所示，一般选择正面XOZ坐标面平行于轴测投影面。因此，p1=r1=1，∠XOZ=90°，只有Y轴轴向伸缩系数和轴间角随着投射方向的不同而变化。为了使图形更接近视觉效果和作图简便，国家标准规定斜二等轴测图中取q1=0.5，轴间角∠XOY=∠YOZ=135°，如图7-14（b）所示。图7-14斜二等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数斜二等轴测图7.3平面立体的斜二测画法与正等测画法基本相同，但是坐标夹角发生了改变，Y坐标方向的尺寸缩短一半，因此轴测图的效果有所不同。【例7-7】绘制正六棱柱的斜二等轴测图。作图：（1）根据图7-15（a）所示的坐标，画出正等轴测的轴测轴X1、Y1、Z1，并根据m1n1=1/2mn，c1f1=cf定出点m1、n1、c1、f1。过点m1、n1作线段a1b1和d1e1平行于O1X1，再根据a1b1=ab，d1e1=de确定出点a1、b1、d1、e1，如图7-15（a）所示。7.3.1平面立体斜二等轴测图的画法图7-15正六棱柱的斜二等轴测图的画法（2）过点a1、b1、c1、d1、e1、f1分别作Z轴的平行线，长度等于六棱柱的高，确定出下底面的六边形的端点（看不见的部分没有绘出），然后连接端点，如图7-15（b）所示。（3）擦去作图线即得正六棱柱的斜二等轴测图，如图7-15（c）所示。图7-15正六棱柱的斜二等轴测图的画法斜二等轴测图7.3平行于坐标面的圆的斜二测投影如图7-16所示。平行于XOY面和YOZ面的圆的斜二测投影——椭圆的形状相同，但长、短轴的方向不同。它们的长轴与圆所在坐标面内的某一坐标轴所成角度约为7°。平行于ZOX面的圆的斜二测投影仍是圆。7.3.2曲面立体斜二等轴测图的画法图7-16平行于坐标面的圆的斜二测投影图7-17给出了平行于XOY面的圆的斜二测投影——椭圆的画法。它与平行于YOZ面的圆的斜二测投影的画法相同，只是长、短轴的方向不同，步骤如下：（1）定长、短轴方向和椭圆上的四点，如图7-17（a）所示。①画圆的外切正方形的斜二测投影，与OX、OY轴相交得中点1，2，3，4。②作长轴AB，使其与OX轴有7°的角。③作短轴CD垂直于AB。图7-17平行于XOY面的圆的斜二测投影——椭圆的画法（2）定四个圆弧中心，如图7-17（b）所示。①在短轴CD的延长线上取O5=O6=d，5，6即是大圆弧圆心。②连接52，61，它们与长轴的交点7，8即是小圆弧圆心。（3）画大、小圆弧，如图7-17（c）所示。①以5，6为圆心，以52为半径，画大圆弧。②以7，8为圆心，以71为半径，画小圆弧，即得椭圆。斜二等轴测图能反映物体XOZ面及其平行面的实形，故特别适合用来绘制只有一个方向上有圆或曲线的形体。例7-8的端盖就是这种情况。图7-17平行于XOY面的圆的斜二测投影——椭圆的画法【例7-8】画出图7-18（a）所示的端盖的斜二等轴测图。分析：由图7-18（a）可以看出，端盖的特点是所有圆和曲线的积聚性投影都在一个投影面上，因此采用斜二测投影并建立如图7-18（b）所示的直角坐标系，这样，在轴测图上相应地画圆和圆弧曲线即可。图7-18端盖的斜二等轴测图画法作图：（1）建立如图7-18（b）所示的轴测轴。（2）在轴测轴上定出圆和圆弧的圆心（注意Y轴方向上的轴向伸缩系数为0.5），分别量取圆和圆弧的半径并画圆及圆弧，去除不可见线条，如图7-18（c）所示。（3）补全直线，完成作图，如图7-18（d）所示。图7-18端盖的斜二等轴测图画法轴测剖视图7.4在轴测图中，为了表达物体内部结构形状，可假想用剖切平面沿坐标面方向将物体剖开，画成轴测剖视图。轴测剖视图7.41.剖切平面的选择为了清楚表达物体的内、外形状，通常采用两个平行于坐标面的垂直相交平面剖切物体的1/4，如图7-19（a）所示。一般不采用单一剖切平面全剖物体，如图7-19（b）所示。7.4.1画轴测剖视图的规定图7-19轴测剖视图的剖切方法2.剖面线的画法当剖切平面剖切物体时，在断面上应画上剖面线，即等距、平行的细实线，其方向如图7-20所示。图7-20（a）、图7-20（b）分别给出了正等测和斜二测剖面线的画法。当剖切平面通过机件的肋板或薄壁等结构的纵向对称平面时，规定这些结构不画剖面线，而用粗实线将它与相邻部分分开，如图7-21所示。在轴测装配图中，相邻零件的剖面部分应用剖面线方向或间距区别开，如图7-22所示。图7-20轴测剖视图中剖面线的画法