《画法几何与机械制图(同济版)》教学课件-第四章立体投影

第4章立体投影掌握平面立体和曲面立体的投影特性；学习绘制常见平面立体和曲面立体及表面上点的投影；会用素线法和纬圆法求曲面立体表面上点的投影。【学习目标】【学习重点】平面立体和曲面立体及表面上点的投影；纬圆法求曲面立体表面上点的投影。基本几何体可分为平面立体和曲面立体。表面全由若干个平面所围成的立体称为平面立体，最常见的是棱柱和棱锥。表面由曲面或曲面和平面所围成的立体称为曲面立体，最常见的是圆柱、圆锥、球、圆环，如图4-1所示。本章重点介绍这六种基本几何体的投影及表面上点的投影。图4-1基本几何体平面立体4.1平面立体的各表面都是平面图形，面与面的交线是棱线，棱线与棱线的交点为顶点。所以，在投影图上表示平面立体就是把组成立体的平面和棱线表示出来，即研究这些平面、直线和点的投影并判断可见性。可见的平面或棱线的投影(统称为轮廓线)画成粗实线；不可见的轮廓线画成虚线；当粗实线与虚线重合时，应画成粗实线。平面立体4.11.棱柱的投影棱柱有两个平行的多边形底面，所有侧面均垂直于底面。一般用底面多边形的边数来区别和命名不同的棱柱。如果底面为六边形，就称为六棱柱；如果底面为正多边形，就称为正棱柱。【例4-1】绘制图4-2（a）所示的正六棱柱的三面投影。4.1.1棱柱的投影及其表面上的点图4-2正六棱柱的投影分析：按图4-2（a）所示正六棱柱的放置方式(注意：不同的放置方式得到的投影图是不同的)，其上、下底面为水平面，水平投影为反映实形的六边形，正面和侧面投影均积聚为直线段。在六个侧面中，前、后侧面为正平面，正面投影反映实形，水平投影和侧面投影均积聚为直线；其余四个侧面为铅垂面，水平投影积聚为直线段，正面投影和侧面投影为类似形。作图：(1)画出上、下底面的投影。上、下底面均为水平面，水平投影反映实形，且上、下底面重合，如图4-2（b）所示；其正面投影和侧面投影分别积聚为两条平行线段，其垂直距离为棱柱的高度。(2）画前、后侧面投影。前、后侧面在正面投影反映实形，为一个矩形，其水平投影积聚为直线段并与正六边形的边重合，侧面投影积聚为直线段并与棱柱高度相同。（3）画四个铅垂面的投影。其水平投影积聚为直线段并与正六边形的边重合，正面投影和侧面投影为类似形。（4）判别可见性。在图4-2（b）中，由于六棱柱前后、左右面均对称，不可见的交线的投影与可见的交线重合，因而细虚线被粗实线所遮挡。小提示：从本章开始，投影图中不再画投影轴，但各点的三面投影仍遵守正投影规律；水平投影和侧面投影可通过作45°辅助线或用分规量取距离的方法来满足宽相等的规律。2.棱柱表面上的点棱柱表面取点的方法与平面上取点的方法相同。但要注意，首先要根据点的可见性判断其所在平面，而棱柱的平面都是特殊位置平面，直接利用其投影的积聚性作图，即可求出点在平面上的投影并判别可见性。【例4-2】如图4-3（a）所示，已知六棱柱表面上点M的正面投影和点N的水平投影，求其另两面投影并判别可见性。图4-3六棱柱表面上的点分析：由图4-3（a）可知，由于m′可见，点M在左前棱面上，该棱面为铅垂面，水平投影积聚，因此，点M的水平投影m必在其积聚投影上，然后根据m′和m即可求出m″。由于点N的水平投影n不可见，因而，点N在下底面上，该面的正面投影和侧面投影都积聚，因此，点N的正面投影n′和侧面投影n″在下底面的积聚投影上。作图：如图4-3（b）所示。(1)从m′向H面作投影连线，与左前棱面的水平投影相交求得m，由m和m′求得m″。(2)从n向V面作投影连线，与下底面的正面投影相交求得n′，由n借助45°辅助线求得n″。(3)判别可见性。可见性判别原则是，若点所在面的投影可见(或有积聚性)，则点的投影也可见。由此可知m和m″、n′和n″均可见。平面立体4.11.棱锥的投影棱锥是由一个多边形底面和若干三角形棱面围成的，这些三角形棱面有一个公共的顶点，称为锥顶。棱锥顶点到底面的距离称为棱锥的高。当棱锥底面为正多边形并且各棱面是全等的等腰三角形时，则称为正棱锥。为了作图方便，在画棱锥体的三视图时，将底面平行于某一投影面。【例4-3】绘制图4-4（a）所示的正三棱锥的三面投影。4.1.2棱锥的投影及其表面上的点图4-4正三棱锥的投影分析：此三棱锥底面△ABC平行于H面，其水平投影反映实形，另外两个投影积聚成一条水平直线。棱面△SAC、△SAB和△SBC为一般位置平面，三面投影均为类似形。作图：（1）画出底面△ABC的水平投影及有积聚性的其他两个投影，并确定顶点的三面投影，如图4-4（b）所示。（2）画出各棱线并加深，如图4-4（c）所示。2.棱锥表面上的点棱锥表面取点的方法与棱柱表面上的点的求解方法相似。棱柱棱面上的点可利用平面积聚性作出，但棱锥面需要先判断点所在的平面是否是特殊平面，若不是特殊平面则需要引辅助线，先求出辅助直线的投影，然后根据投影规律求出点的投影并判别可见性。【例4-4】如图4-5（a）所示，已知三棱锥表面上点M的正面投影和点N的水平投影，求点M、N的另两面投影并判别可见性。图4-5棱锥表面上的点分析：点M在一般位置平面SAB上，可以用辅助线法求得另两个投影。因为面SAC为侧垂面，其侧面投影积聚为一直线，所以点N的侧面投影也必在此线上。作图：如图4-5（b）所示。(1)过s′m′引辅助线s′1′，再求出SI的水平投影s1和侧面投影s″1″，根据点在直线上存在的条件和投影规律求出m和m″。(2)由宽相等在s″a″(c″)上得到n″，再由n和n″求出n′。(3)判别可见性。因为棱面SAB在三个投影面的投影均可见，所以，点M的三个投影均可见。而棱面SAC在V面的投影不可见，所以n′不可见。曲面立体4.2曲面立体的曲面是母线（直线或曲线）绕一轴线做回转运动而形成的，如图4-6所示。曲面上任一位置的母线称为素线，母线上每一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆，纬圆平面垂直于回转轴线。画曲面立体的投影，通常要画出轴线的投影和回转面转向轮廓线的投影。所谓转向轮廓线，即投射线与回转面切点的集合，是可见表面与不可见表面的分界线。图4-6曲面立体的形成平面立体4.21.圆柱的形成及投影圆柱面可以看作一条母线绕着和它平行的轴线旋转而成的。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为圆柱面的素线。在投影图中处于轮廓线位置的素线称为轮廓素线。如图4-7（a）所示，圆柱体的轴线为铅垂线，圆柱体的上、下底面均为水平面，水平投影为反映实形的圆，另两个投影积聚成直线。圆柱面的水平投影积聚成一个圆，其正面投影和侧面投影的轮廓线则为圆柱分别在左、右、前、后方向上轮廓素线的投影。由此可见，圆柱有两面投影是全等的矩形，另一面投影是圆，如图4-7（b）所示。4.2.1圆柱的形成、投影及其表面上的点图4-7圆柱的投影在画图时，应先画中心线及轴线，再画投影是圆的投影，最后画投影是矩形的投影。提示：轴线竖直放置的圆柱正面投影上的前后转向轮廓线，在侧面投影上应与轴线重合，不需要绘出。同理，左、右转向轮廓线的正面投影与正面投影中的轴线重合，也不需要画出。2.圆柱表面上的点在圆柱表面取点可以利用其投影的积聚性来作图。【例4-5】如图4-8（a）所示，已知圆柱面上两点M、N的正面投影m′和（n′），求点M、N的水平投影和侧面投影并判别可见性。图4-8圆柱表面上的点分析：由于圆柱面的水平投影积聚性成圆，因而圆柱面上的点M、N的水平投影也在该圆上，在求出m、n后按投影规律求其侧面投影。作图：如图4-8（b）所示。（1）求点M的投影。m′向水平圆周作投影线，由于m′可见，故判定点M在左前圆柱面上，取前半圆柱上的交点m；由m′向侧面作投影线，根据宽相等得到m″。(2）求点N的投影。从（n′）向水平圆周作投影线，由于n′不可见，故点N在右后圆柱面上，取后半圆上的交点n；由n′向侧面作投影线，根据宽相等得到n″。（3）判别可见性。由于点M在左前圆柱面上，因而m和m″均可见；点N在右后圆柱面上，所以其侧面投影n″不可见，水平投影n可见。平面立体4.21.圆锥的形成及投影圆锥体表面有圆锥面和底面，圆锥面可以看作一条直母线绕着和它相交的轴线旋转而成，所以圆锥的素线是通过锥顶的直线。如图4-9（a）所示的圆锥，其轴线垂直于水平投影面，圆锥的水平投影是圆，该圆既是圆锥面的投影，又是底面圆的实形投影；正面投影和侧面投影是全等的等腰三角形，两腰是圆锥面上左右或前后方向上轮廓素线的投影，底边是底面圆的积聚性投影，如图4-9（b）所示。在画图时，应先画中心线及轴线，再画投影为圆的投影，最后画投影为等腰三角形的投影。4.2.2圆锥的形成、投影及其表面上的点图4-9圆锥的投影2.圆锥表面上的点求圆锥表面上的点可以用素线法和纬圆法。【例4-6】如图4-10（a）所示，已知圆锥面上点M的正面投影m′和点N的水平投影n，求点M、N的另两面投影并判别可见性。图4-10圆锥表面上的点图4-10圆锥表面上的点分析：由于圆锥面在三面投影中均没有积聚性，因此需要过点作辅助线，求出辅助线的三面投影，然后在辅助线的投影上确定点的投影。辅助线可以是圆锥的素线或纬圆，因而，该方法也称为素线法或纬圆法。作图：（1）方法一：用素线法求解。先连接s′m′并延长交底边于l′得s′l′，再求出sl,再利用直线上点的从属性求出m，最后利用点的投影规律求出m″。（2）方法二：用纬圆法求解。过n作纬圆的水平投影，此水平纬圆与底面圆同心，其正面投影和侧面投影为垂直于轴线的直线，长度与纬圆直径相等，n′和n″在此直线上。平面立体4.21.圆球的形成及投影球是由球面围成的实体，球面可以看作一圆绕通过圆心的轴线（直径）旋转而成。球的前后、左右、上下转向轮廓线均是圆，且只在一个投影中表达，另两面投影与中心线重合不画出，所以，球的三面投影都是圆，直径与圆球直径相等，如图4-11（a）所示。在画图时，应先画中心线及轴线，再画圆球的转向轮廓线，即三个大小相等的圆，如图4-11（b）所示。4.2.3圆球的形成、投影及其表面上的点图4-11圆球的投影2.球面上的点在圆球表面求点，可以用纬圆法。球面的纬圆可以是平行于V面、H面、W面的纬圆。【例4-7】如图4-12（a）所示，已知球面上点M的正面投影m′，求其另两面投影并判别可见性。图4-12圆球表面上的点分析：由于球面在三个投影面上都没有积聚性，因而需要作辅助线，辅助线即是纬圆，如图4-12（b）所示，以平行于H面的纬圆为例。作图：（1）过点m′作水平线，分别与圆球的正面投影和侧面投影的轮廓线相交得一直线段，以水平投影圆的圆心为圆心，以此线段长度为直径，画出反映纬圆实形的水平投影圆。（2）根据点的投影规律，分别在纬圆的水平投影和侧面投影上确定m和m″。（3）从正面投影可以看出，点M在右前半球上，因此m是可见的，m″则不可见。提示：本题也可以采用平行于V面或W面的纬圆，不同之处在于要在正面和侧面上画同心圆，也就是选用平行于哪个面的纬圆就在哪个面上画该面投影圆的同心圆。平面立体4.21.圆环的形成及投影如图4-13（a）所示，圆环可以看成是由一圆母线绕圆外轴线(轴线与圆在一个平面上)旋转一周形成的。母线上任一点的轨迹称为圆环的纬圆。远离轴线的半圆形成外环面，距轴线较近的半圆形成内环面。

图4-13(b)所示为圆环的投影图。在正面投影中，左、右两圆及与之相切的两段直线是圆环面的正面投影的转向轮廓线。其中，两圆是圆环面上最左、最右两素线的投影，实线半圆在外环面上，虚线半圆在内环面上(被前半外环面挡住，故画成虚线）。上、下两段直线是内、外环面的两个分界圆的投影。在正面投影图中，外环面的前半部可见，后半部不可见，内环面均不可见。在水平投影中，圆环水平投影的转向轮廓线为两个同心圆，上表面在水平投影中可见，下表面在水平投影中不可见。点画线圆为母线圆中心轨迹的投影。4.2.4圆环的形成、投影及其表面上的点图4-13圆环的形成及投影2.圆环面上的点同球表面一样，圆环面的投影没有积聚性。因此，在圆环表面上求作点时，需通过在圆环表面上作与轴线垂直的纬圆，然后利用纬圆法求作圆环表面上点的投影。【例4-8】如图4-14(a)所示，已知圆环面上点K的水平投影k，试求它的另两面投影。分析：由点K的水平投影k可知，点K在上半圆环面上。用纬圆法来求解k′和k″。作图：(1)如图4-14(b)所示，在水平投影上以O为圆心、以Ok长为半径作圆，即得k点所在的纬圆的水平投影。作出的纬圆的正面投影和侧面投影均为直线，且可以作出上、下两条直线，因为k可见，所以取上面的直线。(2)根据点的三面投影规律就可作出k′和k″，因为K在内环面，所以k′和k″均不可见。图4-14圆环面上的点本章小结本章讲述了常见平面立体和曲面立体的投影知识与表面取点方法，基本立体的投影是后续章节的基础，