2025 九年级数学下册二次函数图像顶点在 x 轴上的顶点式应用课件

一、课程导入：从“特殊点”到“特殊图像”的思维衔接演讲人CONTENTS课程导入：从“特殊点”到“特殊图像”的思维衔接知识筑基：从顶点式到顶点在x轴上的条件推导应用突破：顶点在x轴上的顶点式解题类型与方法思维提升：从“特殊条件”到“一般规律”的迁移总结与作业布置目录2025九年级数学下册二次函数图像顶点在x轴上的顶点式应用课件01课程导入：从“特殊点”到“特殊图像”的思维衔接课程导入：从“特殊点”到“特殊图像”的思维衔接作为一线数学教师，我常在课堂上观察到一个有趣的现象：当学生初次接触二次函数图像时，总会对“顶点”这个特殊点产生浓厚兴趣——它是抛物线的最高点或最低点，是对称轴与抛物线的交点，也是函数取得最值的位置。而在所有顶点位置中，“顶点在x轴上”的情况尤为特殊：此时抛物线仅与x轴有一个公共点（即顶点本身），图像呈现“触而不穿”的相切状态。这种特殊的位置关系不仅是二次函数图像性质的典型体现，更是解决解析式求解、参数范围确定、实际问题建模等题型的关键突破口。今天，我们就围绕“二次函数图像顶点在x轴上的顶点式应用”展开深入探讨。02知识筑基：从顶点式到顶点在x轴上的条件推导1二次函数顶点式的基本形式回顾要研究顶点在x轴上的二次函数，首先需要明确顶点式的标准表达式。二次函数的顶点式为：(y=a(x-h)^2+k)其中，((h,k))是抛物线的顶点坐标，(a)决定抛物线的开口方向（(a>0)开口向上，(a<0)开口向下）和开口大小（(|a|)越大，开口越窄）。在过往的学习中，我们已经通过配方法验证了顶点式与一般式(y=ax^2+bx+c)的转换关系：通过配方可得(y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a})，因此顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。这一转换过程是理解顶点位置与系数关系的基础。1二次函数顶点式的基本形式回顾2.2顶点在x轴上的核心条件：纵坐标(k=0)当顶点落在x轴上时，顶点的纵坐标必然为0，即(k=0)。此时，顶点式可简化为：(y=a(x-h)^2)这是顶点在x轴上的二次函数的最简顶点式。从几何意义上看，此时抛物线与x轴仅有一个公共点（顶点），即图像与x轴相切；从代数意义上看，对应的一元二次方程(a(x-h)^2=0)有两个相等的实数根（即重根），根为(x=h)（二重根）。1二次函数顶点式的基本形式回顾2.3顶点在x轴上的等价条件：判别式(\Delta=0)为了更全面地理解这一条件，我们可以从一般式的角度推导。对于二次函数(y=ax^2+bx+c)，其对应的一元二次方程(ax^2+bx+c=0)的判别式为(\Delta=b^2-4ac)。当抛物线顶点在x轴上时，方程有两个相等的实数根，因此判别式(\Delta=0)。结合顶点式与一般式的顶点坐标关系，顶点纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a})，当(k=0)时，(\frac{4ac-b^2}{4a}=0)，即(4ac-b^2=0)，也就是(b^2=4ac)，这与判别式(\Delta=b^2-4ac=0)完全一致。这说明：顶点在x轴上的二次函数，其顶点式中的(k=0)与一般式中的判别式(\Delta=0)是等价条件。1二次函数顶点式的基本形式回顾这一结论是后续解题的核心依据，无论是通过顶点式直接分析，还是通过一般式结合判别式求解，本质上都是在利用“顶点纵坐标为0”这一几何条件。03应用突破：顶点在x轴上的顶点式解题类型与方法应用突破：顶点在x轴上的顶点式解题类型与方法3.1类型一：已知顶点在x轴上，求二次函数解析式解题关键：利用顶点式(y=a(x-h)^2)，结合其他已知条件（如图像过某点、对称轴位置等）确定参数(a)和(h)。例1：已知二次函数图像的顶点在x轴上，且经过点((2,8))，对称轴为直线(x=1)，求该二次函数的解析式。分析：由对称轴为(x=1)，可知顶点横坐标(h=1)；顶点在x轴上，故顶点式为(y=a(x-1)^2)；图像过点((2,8))，代入得(8=a(2-1)^2)，解得(a=8)；应用突破：顶点在x轴上的顶点式解题类型与方法因此，解析式为(y=8(x-1)^2=8x^2-16x+8)。易错提醒：部分学生易混淆顶点式中(h)的符号（如将对称轴(x=1)错误写为(h=-1)），需强调顶点式中((x-h))的形式，(h)与对称轴的数值一致。3.2类型二：已知顶点在x轴上，求参数的取值范围解题关键：利用顶点纵坐标(k=0)或判别式(\Delta=0)建立方程，求解参数值。例2：二次函数(y=(m-1)x^2+2mx+m+3)的图像顶点在x轴上，求(m)的值。应用突破：顶点在x轴上的顶点式解题类型与方法分析：方法一（顶点式法）：将一般式化为顶点式。顶点纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a})，其中(a=m-1)，(b=2m)，(c=m+3)。由顶点在x轴上，(k=0)，即：[\frac{4(m-1)(m+3)-(2m)^2}{4(m-1)}=0]分子为0时等式成立（分母(m-1\neq0)，否则不是二次函数）：应用突破：顶点在x轴上的顶点式解题类型与方法[4(m^2+2m-3)-4m^2=0\implies8m-12=0\impliesm=\frac{3}{2}]方法二（判别式法）：二次函数与x轴仅有一个交点，故判别式(\Delta=0)：[(2m)^2-4(m-1)(m+3)=0\implies4m^2-4(m^2+2m-3)=0\implies-8m+12=0\impliesm=\frac{3}{2}应用突破：顶点在x轴上的顶点式解题类型与方法]总结：两种方法本质相同，判别式法更直接，适用于一般式已知的情况；顶点式法更直观反映几何意义，适合顶点坐标易确定的场景。3类型三：实际问题中的顶点在x轴上的应用解题关键：将实际问题抽象为二次函数模型，利用“顶点在x轴上”的条件求解最值或特定位置。例3：某运动员投掷铅球，铅球的运动轨迹可近似为二次函数图像。已知铅球出手点A的坐标为((0,1.8))，落地点B在x轴上，且轨迹的最高点C在x轴上（即顶点在x轴上），求铅球的运动轨迹解析式。分析：设轨迹的顶点式为(y=a(x-h)^2)（顶点C在x轴上，故(k=0)）；铅球经过出手点(A(0,1.8))，代入得(1.8=a(0-h)^2\impliesa=\frac{1.8}{h^2})；3类型三：实际问题中的顶点在x轴上的应用铅球落地点B在x轴上，且轨迹关于对称轴对称，故B点坐标为((2h,0))（因为顶点横坐标为(h)，对称轴为(x=h)，A点横坐标为0，到对称轴的距离为(h)，则B点横坐标为(h+h=2h)）；但题目未直接给出B点坐标，需结合物理意义：铅球落地时(y=0)，而顶点C即为最高点，也是轨迹的最高点，因此顶点C的横坐标(h)是铅球运动到最高点时的水平距离，此时(y=0)（顶点在x轴上），说明铅球的最高点恰好触地？这显然不符合实际——这里可能存在对题意的误解。修正分析：题目中“轨迹的最高点C在x轴上”应为“轨迹的顶点（最高点）在x轴上方，但题目表述可能有误”？不，原题明确“顶点在x轴上”，因此需重新理解：铅球的运动轨迹是开口向下的抛物线（因为有最高点），顶点在x轴上，3类型三：实际问题中的顶点在x轴上的应用说明铅球的最高点恰好位于x轴上，即铅球在最高点时触地，这显然不符合实际投掷场景，可能题目中的“落地点B在x轴上”与“顶点在x轴上”是同一位置，即铅球出手后先上升到顶点（x轴上），再下落，但由于顶点在x轴上，抛物线开口向下，因此铅球的轨迹是从A点((0,1.8))向上到顶点((h,0))，再向下，但此时顶点是最高点，而(y=0)低于出手点的(y=1.8)，矛盾。结论：实际问题中，顶点在x轴上的二次函数通常对应“物体运动到最高点时恰好落地”（如水平抛出的物体），或“抛物线型建筑的顶部与地面相切”（如桥拱的最低点在地面上）。例如，若题目改为“某抛物线型桥拱的顶点在水面（x轴）上，拱高为0”，则符合实际。这提醒我们在解题时需结合实际情境验证合理性，避免机械套用公式。04思维提升：从“特殊条件”到“一般规律”的迁移1顶点位置与函数性质的关联顶点在x轴上是顶点位置的特殊情况，其本质是“函数的最值为0”（当(a>0)时，最小值为0；当(a<0)时，最大值为0）。这一性质可推广到顶点在其他直线上的情况（如顶点在y轴上，即(h=0)），其分析方法类似：通过顶点坐标的横、纵坐标满足特定条件（如(h=0)或(k=m)），结合顶点式或判别式求解参数。2数学思想的渗透数形结合思想：顶点在x轴上的几何意义（图像与x轴相切）与代数意义（判别式(\Delta=0)）的对应，是数形结合的典型体现；方程思想：通过建立顶点纵坐标为0的方程（或判别式等于0的方程），将几何问题转化为代数问题求解；分类讨论思想：当二次项系数含参数时，需先判断是否为二次函数（(a\neq0)），再结合顶点条件求解。3213常见误区与应对策略误区1：混淆顶点式中(h)的符号。例如，对称轴为(x=-3)时，错误地写成(y=a(x+3)^2+k)（正确应为(y=a(x-(-3))^2+k=a(x+3)^2+k)，此处符号正确，需注意顶点式中是((x-h))，因此(h=-3)时，表达式为((x+3))）。误区2：忽略二次函数的定义。当题目中二次项系数含参数时，需先保证(a\neq0)（如例2中(m-1\neq0)），否则函数退化为一次函数，不存在顶点。误区3：实际问题中忽略情境合理性。如例3中若顶点在x轴上，需验证是否符合物理运动规律（如铅球的最高点不可能低于出手点），必要时调整模型。05总结与作业布置1核心知识回顾顶点在x轴上的二次函数顶点式：(y=a(x-h)^2)（(a\neq0)）；等价条件：顶点纵坐标(k=0)或判别式(\Delta=b^2-4ac=0)；应用类型：求解析式、求参数值、解决实际问题；关键思想：数形结合、方程思想、分类讨论。020103042课后作业已知二次函数图像的顶点在x轴上，且经过点((-1,4))，对称轴为直线(x=2)，求解析式；若二次函数(y=kx^2+(k-1)x-1)的顶点在x轴上，求(k)的值；