2025 九年级数学下册二次函数图像顶点在 x 轴上的顶点式应用示例课件

一、基础铺垫：从二次函数顶点式到顶点在x轴上的条件演讲人CONTENTS基础铺垫：从二次函数顶点式到顶点在x轴上的条件图像与性质：顶点在x轴上的二次函数特征分析应用示例：从解析式求解到实际问题建模易错点与提升策略总结与升华目录2025九年级数学下册二次函数图像顶点在x轴上的顶点式应用示例课件各位同学、同仁，今天我们将围绕“二次函数图像顶点在x轴上的顶点式应用”展开深入探讨。作为一线数学教师，我深知二次函数是初中数学的核心内容，而顶点在x轴上的特殊情形更是连接函数性质、方程与实际问题的重要桥梁。接下来，我将以“概念-性质-应用”为主线，结合多年教学中的典型案例，带大家逐步揭开这类问题的本质。01基础铺垫：从二次函数顶点式到顶点在x轴上的条件1二次函数顶点式的核心定义二次函数的顶点式标准形式为(y=a(x-h)^2+k)（其中(a\neq0)），其图像是一条抛物线，顶点坐标为((h,k))。这一形式的优势在于直接揭示了抛物线的顶点位置和开口方向（由(a)的正负决定），是分析函数图像特征的“快捷通道”。2顶点在x轴上的关键条件当抛物线的顶点落在x轴上时，顶点的纵坐标(k)必然为0（因为x轴上所有点的纵坐标均为0）。因此，顶点在x轴上的二次函数顶点式可简化为(y=a(x-h)^2)（(a\neq0)）。此时，抛物线与x轴仅有一个公共点（即顶点本身），这意味着对应的一元二次方程(a(x-h)^2=0)有两个相等的实数根（重根），从判别式角度看，(\Delta=0)。教学提示：我在课堂上常让学生通过画图验证这一结论——画出(y=(x-2)^2)、(y=-3(x+1)^2)等函数图像，观察它们与x轴的交点数量，学生能直观感受到“顶点在x轴上”与“图像仅与x轴相切”的对应关系。02图像与性质：顶点在x轴上的二次函数特征分析1图像的几何特征开口方向：由(a)的符号决定。若(a>0)，抛物线开口向上；若(a<0)，开口向下。对称轴：直线(x=h)（与顶点横坐标一致）。与坐标轴的交点：x轴：仅有一个交点((h,0))（顶点）。y轴：令(x=0)，则(y=ah^2)，即交点为((0,ah^2))（当(h\neq0)时存在；若(h=0)，则顶点在原点，此时y轴交点也为原点）。2函数值的变化规律以(a>0)为例（(a<0)时规律相反）：当(x<h)时，函数值随(x)增大而减小；当(x>h)时，函数值随(x)增大而增大；函数在(x=h)处取得最小值(0)（若(a<0)，则取得最大值(0)）。典型误区：部分学生易混淆“顶点在x轴上”与“函数图像经过x轴”的区别。例如，认为(y=(x-1)(x+3))的顶点在x轴上，但实际上展开后顶点纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times1\times(-3)-(2)^2}{4\times1}=-4\neq0)，因此顶点不在x轴上。这提醒我们：判断顶点是否在x轴上，需严格验证(k=0)，而非仅看图像与x轴是否有交点。03应用示例：从解析式求解到实际问题建模1已知顶点和其他条件求解析式例1：已知二次函数图像的顶点为((2,0))，且经过点((4,8))，求该二次函数的解析式。分析：顶点在x轴上，故可设顶点式(y=a(x-2)^2)。将点((4,8))代入得(8=a(4-2)^2)，解得(a=2)，因此解析式为(y=2(x-2)^2)（展开后为(y=2x^2-8x+8)）。教学价值：本题直接体现顶点式的优势——仅需一个点即可确定(a)的值，避免了一般式(y=ax^2+bx+c)中解三元方程组的繁琐。2结合判别式与顶点位置的综合问题例2：若二次函数(y=ax^2+4x+a)的顶点在x轴上，求(a)的值。解法1（顶点式法）：将一般式化为顶点式。配方得(y=a\left(x^2+\frac{4}{a}x\right)+a=a\left(x+\frac{2}{a}\right)^2-\frac{4}{a}+a)。顶点纵坐标为(-\frac{4}{a}+a)，令其等于0，得(a-\frac{4}{a}=0)，即(a^2=4)，解得(a=2)或(a=-2)（需验证(a\neq0)，符合条件）。2结合判别式与顶点位置的综合问题解法2（判别式法）：顶点在x轴上，说明抛物线与x轴仅有一个交点，即方程(ax^2+4x+a=0)有两个相等实根，故(\Delta=4^2-4\timesa\timesa=16-4a^2=0)，解得(a=\pm2)。对比总结：两种方法本质相通——顶点在x轴上等价于判别式为0。顶点式法更直观体现“顶点纵坐标为0”的几何意义，判别式法则从方程根的角度切入，适合不同思维习惯的学生。3实际问题中的顶点在x轴上模型例3：某公园设计了一个喷泉装置，水流从喷嘴喷出后形成的抛物线轨迹顶点恰好在水面（x轴）上。已知喷嘴位于水面上方2米处，水平距离喷嘴3米时，水流高度为1.5米。求水流轨迹的函数解析式，并判断水流能否到达水平距离喷嘴6米处。分析：以喷嘴的水平投影为原点建立坐标系（实际教学中需强调坐标系的合理选择），则喷嘴位置为((0,2))。由于顶点在x轴上，设顶点坐标为((h,0))，则顶点式为(y=a(x-h)^2)。根据题意，喷嘴位于((0,2))，代入得(2=a(0-h)^2)，即(ah^2=2)①；水平距离3米时高度1.5米，即点((3,1.5))在抛物线上，代入得(1.5=a(3-h)^2)②。1233实际问题中的顶点在x轴上模型联立①②，消去(a)得(\frac{2}{h^2}(3-h)^2=1.5)，化简得(2(3-h)^2=1.5h^2)，即(4(9-6h+h^2)=3h^2)，整理得(h^2-24h+36=0)，解得(h=12\pm6\sqrt{3})。由于顶点应在喷嘴的水平延伸方向（假设水流向右侧喷射），取(h=12+6\sqrt{3})（舍去负根，因(12-6\sqrt{3}\approx12-10.39=1.61>0)，也可能合理，需结合实际情境判断）。3实际问题中的顶点在x轴上模型进一步求(a=\frac{2}{h^2})，则解析式为(y=\frac{2}{(12+6\sqrt{3})^2}(x-12-6\sqrt{3})^2)。01判断水流能否到达6米处：将(x=6)代入解析式，计算(y)是否大于0（水面以上）。若(y>0)，则能到达；若(y=0)，则恰好在水面；若(y<0)，则不能（因水流在水面以下无实际意义）。02教学意义：此类问题将数学模型与生活场景结合，需引导学生注意“顶点在x轴上”的实际含义（水流的最高点或最低点恰好在水面），同时强调坐标系的建立对解题的关键作用。0304易错点与提升策略1常见错误类型忽略(a\neq0)的条件：如在例2中，若直接由(\Delta=0)得(a=\pm2)，但未验证(a\neq0)（本题中(a=\pm2)均满足）。顶点坐标符号错误：顶点式中((h,k))对应((x-h))，部分学生易将(h)的符号搞反，例如将顶点((-3,0))对应的顶点式写成(y=a(x+3)^2)（正确），但可能错误写为(y=a(x-3)^2)。实际问题中忽略定义域：如例3中，水流轨迹仅在喷嘴到落地点之间有意义，超出该范围的(x)值无实际意义，需结合情境限制自变量范围。2提升策略强化几何直观：通过绘制不同(a)、(h)值的函数图像（如(y=2(x-1)^2)、(y=-0.5(x+2)^2)），观察顶点位置与图像形状的关系，加深对顶点式的理解。对比练习：设计“顶点在x轴上”与“顶点在y轴上”“顶点在第一象限”等对比题组，如：题1：二次函数顶点为((3,0))，过点((0,9))，求解析式；题2：二次函数顶点为((0,3))，过点((1,4))，求解析式；通过对比，明确(h)、(k)对解析式形式的影响。2提升策略联系方程与函数：强调“顶点在x轴上”等价于“对应的一元二次方程有重根”，通过(\Delta=0)建立函数与方程的联系，培养知识迁移能力。05总结与升华总结与升华回顾本次课程，我们围绕“二次函数图像顶点在x轴上的顶点式应用”展开了系统学习：从顶点式的定义出发，明确了顶点在x轴上的条件是(k=0)；通过分析图像特征，掌握了此类函数的开口方向、对称轴及函数值变化规律；通过典型例题，学习了利用顶点式求解解析式、结合判别式解决综合问题，以及在实际情境中建模的方法；最后总结了常见易错点及提升策略。作为教师，我始终认为，数学知识的价值不仅在于解题，更在于培养“用数学眼光观察世界”的能力。顶点在x轴上的二次函数看似特殊，却广泛存在于物理抛体运动、工程设计等实际场景中。希望同学们通过今天的学习，不仅能熟练运用顶点式解决数学问题，更能体会到“特殊情形”背后的一般规律，为后续学习二次函数与几何综合、高中阶段的圆锥曲线等内容奠定坚实基础。总结与升华最后，用一句话概括本节课的核心：顶点在x轴上的二次函数，其顶点式为(y=a(x-h)^2)（(a\neq0)），本质是抛物线与x轴相切，对应方程有重根