2025 九年级数学下册二次函数图像关于 y 轴对称变换课件

一、课程导入：从生活对称美到数学对称变换的联结演讲人课程导入：从生活对称美到数学对称变换的联结01实践应用：从理论到操作的转化与易错点规避02核心探究：二次函数图像关于y轴对称变换的本质与规律03总结升华：从具体变换到数学思想的提炼04目录2025九年级数学下册二次函数图像关于y轴对称变换课件01课程导入：从生活对称美到数学对称变换的联结课程导入：从生活对称美到数学对称变换的联结各位同学，当我们站在镜子前，会看到一个与自己左右相反却完全对称的影像；当我们观察蝴蝶的翅膀、故宫的飞檐，对称之美总在不经意间触动我们的审美。数学作为研究现实世界数量关系与空间形式的科学，自然也蕴含着这种对称之妙。今天，我们将聚焦二次函数图像的一种重要变换——关于y轴对称变换。这不仅是对二次函数图像性质的深化理解，更是培养我们用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题的重要契机。在正式开启今天的学习前，我想先请大家回忆：我们已经学习了二次函数的哪些核心知识？（稍作停顿，观察学生反应）对，我们掌握了二次函数的一般式(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）、顶点式(y=a(x-h)^2+k)，理解了图像的开口方向由(a)决定，对称轴为直线(x=h)（或(x=-\frac{b}{2a})），课程导入：从生活对称美到数学对称变换的联结顶点坐标为((h,k))（或(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))）。这些知识将成为我们探索对称变换的基石。02核心探究：二次函数图像关于y轴对称变换的本质与规律从点的对称到图像的对称：变换的几何本质要理解图像的对称变换，首先需要明确“关于y轴对称”的几何定义。在平面直角坐标系中，若点(P(x,y))关于y轴的对称点为(P')，则(P')的坐标应为((-x,y))。这是因为y轴是垂直于x轴的直线，对称变换会保持点的y坐标不变，x坐标取相反数。那么，二次函数的图像是所有满足(y=ax^2+bx+c)的点((x,y))的集合。当我们将这个图像关于y轴对称变换后，新图像上的每一个点都是原图像上某点关于y轴的对称点。因此，若原图像上的点((x,y))满足(y=f(x))，则新图像上的对应点((-x,y))应满足(y=f(-x))。这意味着，关于y轴对称变换后的函数表达式应为(y=f(-x))。代数推导：从原函数到对称变换后函数的表达式转换一般式的变换规律设原二次函数为(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），则其关于y轴对称变换后的函数表达式为(y=a(-x)^2+b(-x)+c)。化简后得到(y=ax^2-bx+c)。由此可见，变换后的函数与原函数相比，二次项系数(a)保持不变（因为((-x)^2=x^2)），一次项系数(b)变为其相反数（因为(b(-x)=-bx)），常数项(c)也保持不变（因为常数项不含x）。顶点式的变换规律代数推导：从原函数到对称变换后函数的表达式转换一般式的变换规律原函数若用顶点式表示为(y=a(x-h)^2+k)，则对称变换后的函数为(y=a(-x-h)^2+k)。进一步整理可得(y=a[-(x+h)]^2+k=a(x+h)^2+k)。此时，顶点坐标由原函数的((h,k))变为((-h,k))，对称轴由直线(x=h)变为直线(x=-h)。这一结论与一般式推导的结果一致，因为顶点式中的(h)对应一般式中(-\frac{b}{2a})，当(b)变为(-b)时，新的对称轴为(x=-\frac{-b}{2a}=\frac{b}{2a}=-h)（原对称轴为(x=h=-\frac{b}{2a})）。图像特征对比：原函数与变换后函数的“变”与“不变”为了更直观地理解变换后的图像特征，我们可以通过具体实例进行对比分析。案例1：原函数(y=2x^2+4x+1)原函数顶点式：(y=2(x+1)^2-1)，顶点为((-1,-1))，对称轴为(x=-1)，开口向上。对称变换后函数：(y=2(-x)^2+4(-x)+1=2x^2-4x+1)，化为顶点式：(y=2(x-1)^2-1)，顶点为((1,-1))，对称轴为(x=1)，开口向上。案例2：原函数(y=-x^2+2x-3)原函数顶点式：(y=-(x-1)^2-2)，顶点为((1,-2))，对称轴为(x=1)，开口向下。图像特征对比：原函数与变换后函数的“变”与“不变”对称变换后函数：(y=-(-x)^2+2(-x)-3=-x^2-2x-3)，化为顶点式：(y=-(x+1)^2-2)，顶点为((-1,-2))，对称轴为(x=-1)，开口向下。通过以上案例，我们可以总结出以下规律：|特征|原函数(y=ax^2+bx+c)|对称变换后函数(y=ax^2-bx+c)||---------------|--------------------------------------|-----------------------------------------|图像特征对比：原函数与变换后函数的“变”与“不变”|开口方向|由(a)决定（(a>0)向上，(a<0)向下）|与原函数相同（(a)不变）||开口大小|由(|a|)决定|与原函数相同（(|a|)不变）||顶点坐标|(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))|(\left(\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))（即((-h,k))，若原顶点为((h,k))）||对称轴|直线(x=-\frac{b}{2a})（即(x=h)）|直线(x=\frac{b}{2a})（即(x=-h)）|图像特征对比：原函数与变换后函数的“变”与“不变”|常数项|(c)|(c)（不变）|关键结论：二次函数图像关于y轴对称变换后，开口方向与大小不变（(a)不变），顶点关于y轴对称（横坐标取反，纵坐标不变），对称轴关于y轴对称（直线(x=h)变为(x=-h)），一次项系数取反（(b)变为(-b)），常数项不变（(c)不变）。03实践应用：从理论到操作的转化与易错点规避典型例题解析：掌握变换的操作步骤例1：已知二次函数(y=3x^2-6x+2)，求其关于y轴对称变换后的函数表达式，并画出原函数与变换后函数的图像。解答步骤：代数变换：将原函数中的(x)替换为(-x)，得到(y=3(-x)^2-6(-x)+2=3x^2+6x+2)。验证顶点与对称轴：原函数顶点式为(y=3(x-1)^2-1)，顶点((1,-1))，对称轴(x=1)；变换后函数顶点式为(y=3(x+1)^2-1)，顶点((-1,-1))，对称轴(x=-1)，符合对称规律。典型例题解析：掌握变换的操作步骤图像绘制：选取原函数上的关键点（如顶点、与y轴交点((0,2))、与x轴交点等），找到其关于y轴的对称点（如((0,2))对称后仍为((0,2))，((1,-1))对称后为((-1,-1))，((2,3(2)^2-6(2)+2=12-12+2=2))对称后为((-2,2))），连接这些点即可得到变换后的图像。例2：若二次函数(y=ax^2+bx+c)关于y轴对称变换后的函数为(y=2x^2+5x-3)，求原函数的表达式。解答思路：变换后的函数为(y=2x^2+5x-3)，根据变换规律，原函数应满足“将变换后函数的一次项系数取反”，即原函数的一次项系数为(-5)，二次项系数和常数项不变。因此原函数为(y=2x^2-5x-3)。典型例题解析：掌握变换的操作步骤验证：将原函数(y=2x^2-5x-3)关于y轴对称变换，得到(y=2(-x)^2-5(-x)-3=2x^2+5x-3)，与题目条件一致，答案正确。学生易错点警示：从“会听”到“做对”的关键在教学实践中，我发现同学们在应用对称变换时容易出现以下错误，需要特别注意：漏换x的所有出现：部分同学在替换(x)为(-x)时，仅替换了部分项（如只替换一次项，忘记替换二次项中的(x)）。例如，原函数(y=x^2+2x+1)，错误地变换为(y=x^2-2x+1)（虽然结果正确，但过程中若二次项为(3x^2)，漏换会导致(3x^2)变为(3x^2)，看似正确，但若原函数为(y=x(x+2)+1)，展开前替换(x)为(-x)应为((-x)(-x+2)+1=x^2-2x+1)，若漏换则可能错误地得到(x(x+2)+1)，导致结果错误）。学生易错点警示：从“会听”到“做对”的关键应对策略：明确变换的本质是“所有x替换为-x”，无论是显式的(x)还是隐式的（如顶点式中的(x-h)应视为(x)的表达式）。顶点坐标符号错误：在顶点式(y=a(x-h)^2+k)中，部分同学会错误地认为变换后的顶点为((h,k))关于y轴的对称点((-h,k))，但在实际操作中，可能混淆(h)的符号。例如，原函数(y=2(x+3)^2-4)（即(h=-3)），其顶点为((-3,-4))，对称变换后顶点应为((3,-4))，对应顶点式应为(y=2(x-3)^2-4)。若错误地认为(h)直接取反，可能得到(y=2(x+3)^2-4)（未变换），导致错误。学生易错点警示：从“会听”到“做对”的关键应对策略：牢记顶点式中(h)是顶点横坐标的相反数（即顶点为((h,k))时，表达式为(y=a(x-h)^2+k)），因此对称变换后顶点横坐标为(-h)，对应表达式为(y=a(x-(-h))^2+k=a(x+h)^2+k)。忽略常数项的不变性：极少数同学可能误以为常数项也会改变，但根据变换定义，常数项(c)是当(x=0)时的函数值，而((0,c))关于y轴的对称点仍是((0,c))，因此常数项必然不变。课堂练习：分层巩固与反馈为了帮助大家巩固知识，我们设计了以下练习（可根据课堂时间选择部分或全部完成）：基础题：求下列二次函数关于y轴对称变换后的表达式：（1）(y=x^2-2x+3)（2）(y=-3(x-2)^2+5)提升题：已知二次函数(y=ax^2+bx+c)与(y=2x^2-4x+1)关于y轴对称，求(a)、(b)、(c)的值。拓展题：课堂练习：分层巩固与反馈若二次函数(y=f(x))关于y轴对称变换后的函数为(y=g(x))，且(f(x)+g(x))是一个常数函数，求(f(x))的一次项系数。（参考答案：1.（1）(y=x^2+2x+3)；（2）(y=-3(x+2)^2+5)；2.(a=2)，(b=4)，(c=1)；3.一次项系数为0）