2025 九年级数学下册棱锥展开图中侧面三角形全等判断课件

一、知识铺垫：棱锥与展开图的基础认知演讲人知识铺垫：棱锥与展开图的基础认知01实践应用：展开图中全等判断的典型问题02核心探究：侧面三角形全等的判定逻辑03总结与提升：从知识到能力的迁移04目录2025九年级数学下册棱锥展开图中侧面三角形全等判断课件各位同学、同仁：大家好！今天我们要共同探讨的主题是“棱锥展开图中侧面三角形全等判断”。作为九年级下册“投影与视图”“图形的展开与折叠”章节的核心内容之一，这一知识点不仅是对全等三角形判定定理的综合应用，更是培养几何直观、空间想象与逻辑推理能力的重要载体。在多年的教学实践中，我发现许多同学对“棱锥展开图”的认知停留在“能画出展开图”的层面，却难以深入分析展开图中各元素的几何关系。今天，我们就从最基础的概念出发，逐步揭开“侧面三角形全等判断”的逻辑脉络。01知识铺垫：棱锥与展开图的基础认知知识铺垫：棱锥与展开图的基础认知要分析棱锥展开图中侧面三角形的全等性，首先需要明确“棱锥”的定义、分类及展开图的构成特征。1棱锥的定义与分类棱锥是由一个多边形底面和若干个有公共顶点的三角形侧面围成的多面体。其核心特征是：所有侧面三角形的公共顶点称为棱锥的顶点，底面是任意多边形（三角形、四边形等），底面边数决定棱锥的“棱数”（如底面为三角形时是三棱锥，四边形时是四棱锥）。根据底面是否为正多边形及顶点在底面投影的位置，棱锥可分为正棱锥与一般棱锥：正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的正投影是底面正多边形的中心（即外心、内心重合点）。例如，金字塔的主体结构通常可近似看作正四棱锥。一般棱锥：底面是任意多边形，或顶点在底面的投影不在底面中心。例如，将一个正棱锥的顶点向一侧偏移后得到的棱锥即为一般棱锥。2棱锥展开图的构成展开图是将多面体的所有面按一定顺序平铺在同一平面上所得到的图形。对于棱锥而言，其展开图由**底面（多边形）和若干侧面（三角形）**组成，侧面三角形的一个公共顶点（原棱锥的顶点）在展开图中会被“摊开”为多个顶点，但它们在原立体中是同一个点。以正三棱锥（底面为正三角形）为例，其展开图是一个正三角形（底面）与三个等腰三角形（侧面）的组合，三个侧面三角形的非公共顶点分别与底面三角形的三个顶点重合；而一般三棱锥的展开图中，三个侧面三角形的形状可能各不相同，底面三角形的边长也可能不相等。过渡思考：展开图中侧面三角形的“全等”，本质上是原棱锥侧面三角形在空间中的全等关系在平面展开后的直接反映。因此，要判断展开图中侧面三角形是否全等，需先明确原棱锥侧面三角形的全等条件。12302核心探究：侧面三角形全等的判定逻辑核心探究：侧面三角形全等的判定逻辑展开图中侧面三角形全等的判断，需从原棱锥的几何性质出发，结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）进行分析。1正棱锥：侧面三角形必然全等的本质原因在正棱锥中，侧面三角形全等是其结构对称性的直接体现。我们以正n棱锥（底面为正n边形）为例，逐步推导其侧面三角形全等的条件：1正棱锥：侧面三角形必然全等的本质原因1.1侧棱长度相等正棱锥的顶点在底面的投影是底面正多边形的中心O，设顶点为P，则PO垂直于底面（即PO是棱锥的高）。底面正多边形的顶点A₁、A₂、…、Aₙ到中心O的距离（即外接圆半径）均为R，因此PA₁、PA₂、…、PAₙ可通过勾股定理计算：PAᵢ=√(PO²+OAᵢ²)=√(PO²+R²)（i=1,2,…,n）由于R和PO对所有i均相同，故PA₁=PA₂=…=PAₙ，即所有侧棱长度相等。1正棱锥：侧面三角形必然全等的本质原因1.2底面边长相等正n边形的边长a₁=a₂=…=aₙ，因此底面各边AB、BC、CD等长度相等（以四棱锥为例）。1正棱锥：侧面三角形必然全等的本质原因1.3侧面三角形的高（斜高）相等侧面三角形的高（即斜高）是从顶点P到底面边的垂直距离。在正棱锥中，由于底面是正多边形且顶点投影为中心，顶点P到底面各边的距离（即斜高h’）可通过几何关系计算：h’=√(PO²+r²)（r为底面正多边形的内切圆半径，即边心距）由于r和PO对所有边均相同，故各侧面三角形的斜高相等。1正棱锥：侧面三角形必然全等的本质原因1.4全等判定：SSS或SAS综合以上三点，侧面三角形的三边分别为：侧棱PAᵢ（相等）、底面边AᵢAᵢ₊₁（相等）、另一侧棱PAᵢ₊₁（相等）。因此，任意两个侧面三角形的三边对应相等（SSS），故全等。或从SAS角度分析：侧棱PAᵢ=PAᵢ₊₁，底面边AᵢAᵢ₊₁相等，且两三角形的夹角（即侧面三角形的顶角）可通过侧棱与底面边的夹角计算，由于对称性，这些夹角也相等，故SAS判定全等。实例验证：取一个正四棱锥模型（如方底金字塔），将其侧面展开后，四个侧面三角形的底边（底面正方形的边）长度相等，两腰（侧棱）长度相等，因此展开图中四个三角形完全重合，验证了全等性。2一般棱锥：侧面三角形全等的特殊条件与正棱锥不同，一般棱锥的侧面三角形不一定全等。但在某些特殊情况下，一般棱锥的侧面三角形也可能全等，此时需满足特定条件。2一般棱锥：侧面三角形全等的特殊条件2.1底面边长相等，但顶点投影非中心若一般棱锥的底面是边长相等的多边形（如菱形），但顶点投影不在底面中心，此时侧棱长度可能不等。例如，底面为菱形（边长相等但非正方形），顶点投影在菱形对角线的交点（非中心，因菱形中心即对角线交点），此时侧棱PA、PC（对应菱形对角顶点）长度相等，PB、PD长度相等，但PA≠PB（因菱形对角线不等长），因此侧面三角形PAB与PBC的侧棱PA≠PB，导致两三角形不全等。2.2.2侧棱长度相等，但底面边长不等若一般棱锥的侧棱长度相等（即顶点在底面的投影是底面多边形的外心），但底面边长不等，此时侧面三角形的底边不等，因此即使侧棱相等，侧面三角形也不全等（SSS中三边不全等）。例如，底面为不等边三角形，顶点投影为外心（到三顶点距离相等），则侧棱PA=PB=PC，但底面边AB≠BC≠CA，故侧面三角形PAB、PBC、PCA的底边不等，三角形不全等。2一般棱锥：侧面三角形全等的特殊条件2.3全等的必要条件：底面边长相等且侧棱相等结合以上分析，一般棱锥的侧面三角形全等需同时满足：底面各边长度相等（即底面为等边多边形）；顶点在底面的投影到各顶点的距离相等（即侧棱长度相等）；顶点到底面各边的距离相等（即斜高相等，可由侧棱和底面边长推导）。此时，侧面三角形的三边（侧棱、底面边、另一侧棱）均相等，满足SSS判定，故全等。但需注意，这种情况下的棱锥已具备正棱锥的部分特征（底面等边、侧棱相等），但严格来说，若底面不是正多边形（如等边但不等角的四边形），则仍不属于正棱锥，但其侧面三角形可能全等。过渡总结：正棱锥的侧面三角形全等是“结构必然”，而一般棱锥的侧面三角形全等是“条件偶然”。判断展开图中侧面三角形是否全等，需从原棱锥的底面形状、侧棱长度、斜高等核心要素入手。03实践应用：展开图中全等判断的典型问题实践应用：展开图中全等判断的典型问题为深化理解，我们通过具体问题分析展开图中侧面三角形全等的判断方法，同时总结解题步骤。3.1已知棱锥类型，判断展开图侧面三角形是否全等例1：判断以下棱锥的展开图中侧面三角形是否全等：（1）底面为正五边形的正五棱锥；（2）底面为矩形（非正方形），顶点在底面投影为矩形中心的四棱锥；（3）底面为等边三角形，顶点在底面投影为三角形外心（非中心，因等边三角形外心与中心重合）的三棱锥。分析与解答：实践应用：展开图中全等判断的典型问题（1）正五棱锥属于正棱锥，底面是正多边形，顶点投影为中心，故侧棱相等、底面边长相等、斜高相等，侧面三角形全等（SSS）；（2）底面为矩形（非正方形），边长不全相等（长≠宽），即使顶点投影为中心（侧棱相等），侧面三角形的底边（矩形的长和宽）不等，故侧面三角形不全等；（3）等边三角形的外心与中心重合，因此该三棱锥为正三棱锥，侧面三角形全等。解题步骤总结：①判断棱锥是否为正棱锥（底面是否为正多边形，顶点投影是否为中心）；②若为正棱锥，直接判定侧面三角形全等；③若为一般棱锥，需验证底面各边是否相等、侧棱是否相等，若均满足则全等，否则不全等。2已知展开图，反推棱锥的类型例2：某棱锥的展开图由一个边长为5cm的正六边形和六个全等的等腰三角形组成，等腰三角形的腰长为8cm。判断该棱锥是否为正棱锥，并说明理由。分析与解答：展开图中底面为正六边形（正多边形），侧面为六个全等的等腰三角形。由于展开图中侧面三角形的底边是底面正六边形的边（长度相等），腰长（侧棱）相等，因此原棱锥的底面是正多边形，侧棱长度相等。进一步，顶点在底面的投影到各顶点的距离可通过侧棱长度和底面外接圆半径计算：底面正六边形的外接圆半径R=边长=5cm（正六边形的外接圆半径等于边长），侧棱PA=8cm，故棱锥的高PO=√(PA²-R²)=√(8²-5²)=√39cm，为定值。因此，顶点投影到各顶点的距离相等（均为R=5cm），即投影是底面正六边形的中心。2已知展开图，反推棱锥的类型综上，该棱锥满足正棱锥的定义（底面正多边形，顶点投影为中心），故为正棱锥。解题关键：展开图中侧面三角形全等时，需结合底面形状判断原棱锥是否满足正棱锥的条件，核心是验证顶点投影是否为底面中心。3综合证明：展开图中侧面三角形全等的条件例3：已知某四棱锥的展开图中四个侧面三角形全等，且底面为四边形。求证：该四棱锥的底面为菱形，且顶点在底面的投影是底面的外心。证明过程：设四棱锥顶点为P，底面四边形为ABCD，展开图中侧面三角形PAB、PBC、PCD、PDA全等。（1）由全等三角形的对应边相等，得AB=BC=CD=DA（底面各边为侧面三角形的底边，全等则底边相等），故底面ABCD为菱形；（2）侧面三角形的腰PA=PB=PC=PD（全等三角形的对应腰相等），即顶点P到底面各顶点的距离相等，因此P在底面的投影O到A、B、C、D的距离相等（PA=PB=PC=PD⇒OA=OB=OC=OD，由勾股定理PO²=PA²-OA²=3综合证明：展开图中侧面三角形全等的条件PB²-OB²=…），故O是底面四边形的外心。综上，命题得证。方法提炼：当展开图中侧面三角形全等时，需通过对应边、对应角的关系反推原棱锥的几何特征，重点关注底面边长、侧棱长度与投影位置的关系。04总结与提升：从知识到能力的迁移总结与提升：从知识到能力的迁移回顾本节课的核心内容，我们可以用“三看”来总结侧面三角形全等的判断方法：1看棱锥类型：正棱锥是“全等保障”正棱锥因底面正多边形的对称性和顶点投影的中心性，必然满足侧面三角形全等；一般棱锥则需额外条件（底面等边、侧棱相等）才可能全等。2看展开图特征：边与角的对应关系展开图中侧面三角形的底边对应原棱锥底面的边，腰对应侧棱，高对应斜高。若展开图中各侧面三角形的对应边（底边、腰）相等，则原棱锥的底面边长、侧棱长度相等，进而可推导全等。3看几何本质：空间与平面的转化展开图是空间几何体的平面“快照”，其全等性反映了原几何体的对称性。通过分析展开图中元素的关系（边、角、位置），可以