2025 九年级数学下册相似三角形判定中角的位置对应典型例题课件

一、开篇引思：相似三角形判定中“角的位置对应”为何关键？演讲人01开篇引思：相似三角形判定中“角的位置对应”为何关键？02知识筑基：相似三角形判定与角的位置对应关系03典型例题分类解析：从基础到复杂，掌握角的位置对应规律04易错点归纳：角的位置对应常见误区与纠正05解题策略总结：如何快速确定角的位置对应？06结语：角的位置对应——相似三角形判定的“定位器”目录2025九年级数学下册相似三角形判定中角的位置对应典型例题课件01开篇引思：相似三角形判定中“角的位置对应”为何关键？开篇引思：相似三角形判定中“角的位置对应”为何关键？作为一线数学教师，我常观察到九年级学生在相似三角形判定的学习中，最易卡在“如何准确找到对应角”这一环节。相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）中，AA（两角分别相等）是最常用的方法，但学生往往能识别“存在相等的角”，却因角的位置对应混乱，导致判定条件误用。例如，在复杂图形中，学生可能将非对应位置的角误认为相等，或忽略隐含的公共角、对顶角，最终得出错误结论。因此，今天我们聚焦“角的位置对应”，通过典型例题拆解这一核心问题，帮助大家建立清晰的分析逻辑。02知识筑基：相似三角形判定与角的位置对应关系1相似三角形判定的核心逻辑回顾1相似三角形的本质是“形状相同，大小不同”，其判定的核心是“对应角相等，对应边成比例”。初中阶段主要学习的判定定理有：2AA（两角分别相等）：若一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，则两三角形相似；3SAS（两边成比例且夹角相等）：若两个三角形的两组对应边成比例，且夹角相等，则两三角形相似；4SSS（三边成比例）：若两个三角形的三组对应边成比例，则两三角形相似。5其中，AA判定是最基础且最常用的方法，而“两角分别相等”的关键在于确定“角的位置对应”——即哪两个角是“对应角”，这直接决定了判定是否成立。2角的位置对应的本质：图形结构中的“角色匹配”在平行线截得的三角形中，同位角、内错角往往是对应角；在旋转或翻折后的图形中，旋转角或对称轴两侧的角是对应角。角的位置对应，本质是两个三角形中，角在图形结构中承担的“角色”是否一致。例如：在共顶点的三角形中，公共角或对顶角是对应角；只有明确角的“角色”，才能正确应用判定定理。接下来，我们通过典型例题分类解析。03典型例题分类解析：从基础到复杂，掌握角的位置对应规律1基础型：平行线构造的相似三角形（“A”型与“X”型）例题1：如图1，DE∥BC，交AB于D，AC于E。求证：△ADE∽△ABC。1分析步骤：2观察图形结构：DE∥BC，属于“平行线截三角形两边”的“A型”相似（因图形像字母A）。3寻找对应角：4公共角：∠A是△ADE与△ABC的公共角，位置对应；5同位角：DE∥BC，∠ADE与∠ABC是同位角，相等；∠AED与∠ACB是同位角，相等。6应用AA判定：∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，因此△ADE∽△ABC（AA）。71基础型：平行线构造的相似三角形（“A”型与“X”型）变式思考：若DE∥BC，但D在BA的延长线上（如图2），是否依然相似？此时∠ADE与∠ABC是同位角吗？（提示：是，同位角的位置由平行线方向决定，延长线不影响角的大小关系。）3.2进阶型：共顶点的相交线构造的相似三角形（“共角型”与“对顶型”）例题2：如图3，AB与CD相交于点O，∠A=∠C。求证：△AOD∽△COB。分析步骤：观察图形结构：两三角形共顶点O，形成“X型”相交（类似字母X）。寻找对应角：对顶角：∠AOD与∠COB是对顶角，位置对应且相等；已知角：∠A=∠C，题目已给出。1基础型：平行线构造的相似三角形（“A”型与“X”型）应用AA判定：∠A=∠C，∠AOD=∠COB，因此△AOD∽△COB（AA）。易错提醒：部分学生可能误将∠A与∠B作为对应角，需强调对应角的位置需满足“两角分别在两个三角形中，且夹边对应”。3综合型：旋转或翻折后的相似三角形（“动态变换型”）例题3：如图4，△ABC绕点A逆时针旋转30得到△ADE，∠B=50，∠C=70。求证：△ABD∽△ACE。分析步骤：分析变换性质：旋转后，对应边相等（AB=AD，AC=AE），对应角相等（∠BAC=∠DAE）。计算角度：∠BAC=180-50-70=60，因此∠BAD=∠CAE=30（旋转角）。寻找对应角与边：边的比例：AB/AD=1（因AB=AD），AC/AE=1（因AC=AE），但需找夹角；3综合型：旋转或翻折后的相似三角形（“动态变换型”）夹角相等：∠BAD=∠CAE=30；角的对应：∠ABD与∠ACE是否相等？通过外角或三角形内角和计算可得，∠ABD=∠ABC-∠DBC（需具体图形辅助），但更直接的是利用旋转后∠ABD=∠ADE（对应角），而∠ADE=∠ABC=50，∠ACE=∠ACB=70？（此处需修正，实际应通过边成比例+夹角相等用SAS判定）修正思路：更严谨的方法是利用旋转性质得AB=AD，AC=AE，故AB/AC=AD/AE（比例相等），且∠BAD=∠CAE（旋转角相等），因此△ABD∽△ACE（SAS）。此处角的位置对应体现在“夹角”的一致性——∠BAD与∠CAE分别是两组对应边的夹角。4复杂型：多线共点的组合图形（“嵌套型”）例题4：如图5，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于点H。求证：△AEH∽△BDH。分析步骤：分解图形：将复杂图形拆解为两对直角三角形：△AEH（∠AEH=90）、△BDH（∠BDH=90）。寻找相等的角：直角相等：∠AEH=∠BDH=90；对顶角或余角关系：∠AHE与∠BHD是对顶角，相等；或∠EAH与∠DBH均为∠C的余角（因AD⊥BC，BE⊥AC，故∠EAH=90-∠C，∠DBH=90-∠C），因此∠EAH=∠DBH。4复杂型：多线共点的组合图形（“嵌套型”）应用AA判定：∠AEH=∠BDH，∠EAH=∠DBH，故△AEH∽△BDH（AA）。关键总结：复杂图形中需“分而治之”，先识别基本图形（如直角三角形），再通过余角、对顶角等寻找相等的角，确保位置对应。04易错点归纳：角的位置对应常见误区与纠正1误区1：混淆“角的大小相等”与“位置对应”案例：如图6，△ABC中，∠B=∠C，D是AB上一点，∠ADE=∠B。学生误认为△ADE∽△ABC。错误分析：∠ADE=∠B（大小相等），但∠ADE在△ADE中是“顶角”（对边为AE），而∠B在△ABC中是“底角”（对边为AC），位置不对应。正确的对应角应为∠ADE=∠ACB（若DE∥BC），或需验证另一组角相等。2误区2：忽略隐含的公共角或对顶角案例：如图7，AB=AC，BD=CE，学生直接用∠B=∠C，BD=CE，AB=AC证明△ABD∽△ACE，忽略了夹角是否对应。错误分析：AB与AC是相等边，但△ABD的两边是AB、BD，夹角是∠B；△ACE的两边是AC、CE，夹角是∠C。因∠B=∠C（AB=AC），BD=CE，故AB/AC=BD/CE=1，夹角∠B=∠C，实际应为△ABD≌△ACE（SAS），而非相似（全等是相似的特殊情况）。此处学生混淆了全等与相似的条件，但根本问题是未明确夹角的位置对应。3误区3：动态图形中角的位置随变换改变案例：如图8，△ABC绕点A旋转后得到△ADE，学生认为∠ABC与∠ADE一定是对应角。错误分析：旋转后，对应角由旋转中心和旋转方向决定。若△ABC顺时针旋转得到△ADE，则∠ABC的对应角是∠ADE；若旋转角度超过180，对应角可能变为其补角。需通过旋转性质（对应边夹角等于旋转角）确定对应角。05解题策略总结：如何快速确定角的位置对应？1观察图形结构，识别基本模型平行线型（A/X型）：同位角、内错角是对应角；01共角型（公共角/对顶角）：公共角或对顶角是对应角；02变换型（旋转/翻折）：对应边的夹角是旋转角/对称轴夹角，对应角由变换性质确定；03直角型：直角是对应角，余角相等的角是对应角。042标注角的符号，建立对应关系在图形中用“∠1、∠2”或“α、β”标注相等的角，明确哪个角在第一个三角形中对应哪个角在第二个三角形中。例如，在例题1中，标注∠A=∠A（公共角），∠ADE=∠ABC（同位角），即可快速对应。3验证判定定理，确保条件匹配应用AA判定时，需确认两组角分别在两个三角形中，且位置对应；应用SAS判定时，需确认夹角是两组对应边的夹角；应用SSS判定时，需确认三边比例对应。06结语：角的位置对应——相似三角形判定的“定位器”结语：角的位置对应——相似三角形判定的“定位器”相似三角形判定中，角的位置对应是连接“图形观察”与“定理应用”的桥梁。它不仅要求我们识别“哪些角相等”，更要求我们明确“这些角在两个三角形中承担什么角色”。通过今天的典型例题分析，我们总结出：从图形结构入手，识别基本模型；标注角的符号，建立对应关系；验