2025 九年级数学下册相似三角形性质拓展应用提高题组示例课件

一、相似三角形核心性质的再梳理：从定义到应用的逻辑链演讲人相似三角形核心性质的再梳理：从定义到应用的逻辑链01提高题组示例：从“理解”到“创新”的能力突破02相似三角形性质的拓展应用：从单一图形到复合情境的跨越03总结与提升：相似三角形的核心价值与学习建议04目录2025九年级数学下册相似三角形性质拓展应用提高题组示例课件各位老师、同学们：大家好！今天我们共同探讨九年级数学下册中“相似三角形性质拓展应用”的提高题组。作为平面几何的核心内容之一，相似三角形不仅是全等三角形的延伸，更是解决复杂几何问题、建立代数与几何联系的重要工具。在多年的教学实践中，我深刻体会到：只有真正理解相似三角形的本质特征，掌握其性质的灵活应用，才能在面对综合题时做到“抽丝剥茧，触类旁通”。接下来，我们将从基础回顾、拓展应用、提高题组示例三个维度展开，逐步深化对这一知识点的理解。01相似三角形核心性质的再梳理：从定义到应用的逻辑链相似三角形核心性质的再梳理：从定义到应用的逻辑链要突破相似三角形的拓展应用，首先需要对其核心性质进行系统回顾，明确“判定—性质—应用”的逻辑链。这是解决复杂问题的“地基”，也是后续拓展的起点。1相似三角形的定义与判定：从“形”到“数”的转化相似三角形的定义是“对应角相等，对应边成比例的三角形”。这一定义既包含“角”的定性关系（全等是相似的特殊情况，比例为1），也包含“边”的定量关系（比例系数k）。其判定定理则是定义的“简化版工具”，具体包括：AA（角角）判定：两角分别相等的两个三角形相似（最常用，因“两角确定则第三角必等”）；SAS（边角边）判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（需注意“夹角”的严格性，非夹角不成立）；SSS（边边边）判定：三边成比例的两个三角形相似（适用于已知三边长度的情况）；HL（斜边直角边）判定：在直角三角形中，斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（直角三角形的特殊判定）。1相似三角形的定义与判定：从“形”到“数”的转化教学提示：学生易混淆“SSA”是否可作为判定条件。可通过反例（如两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定相似）强化理解，明确“夹角”是SAS判定的关键。2相似三角形的基本性质：从“对应”到“衍生”的延伸基于定义，相似三角形的性质可分为“直接性质”与“衍生性质”：直接性质：对应角相等，对应边成比例（比例系数为相似比k）；衍生性质：对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方（这是解决面积问题的核心工具）；对应位置的三角形（如由对应中线分割出的子三角形）也相似（需结合图形具体分析）。典型误区：部分学生易将“面积比”错误等同于“相似比”，需通过具体例题（如相似比为2的两个三角形，面积比为4）强化记忆；同时，“对应线段”需明确是“对应位置”的线段，如△ABC与△A'B'C'中，BC边上的高对应B'C'边上的高，而非任意高。2相似三角形的基本性质：从“对应”到“衍生”的延伸1.3相似三角形的“桥梁”作用：连接几何与代数的纽带相似三角形的本质是“比例关系”，这使其成为连接几何图形与代数方程的重要桥梁。例如，通过相似三角形建立边长的比例式，可将几何问题转化为方程求解；通过面积比与相似比的关系，可将面积问题转化为边长比例问题。这种“以形代数，以数解形”的思想，是解决综合题的关键思维。02相似三角形性质的拓展应用：从单一图形到复合情境的跨越相似三角形性质的拓展应用：从单一图形到复合情境的跨越掌握基础性质后，我们需要将其应用到更复杂的情境中。拓展应用的核心是“识别相似”与“构造相似”，即从复合图形中提取相似三角形，或通过添加辅助线构造相似三角形解决问题。2.1复合图形中的相似三角形识别：分解与重组复杂几何题中，相似三角形往往隐藏在多个图形的叠加中。解决这类问题的关键是“分解图形”，将整体拆分为基本图形（如“8”字形、“A”字形、母子型相似），再逐一分析。例1（母子型相似）：如图1，△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D。（1）求证：△ACD∽△ABC∽△CBD；（2）若AD=4，DB=9，求CD的长。分析：相似三角形性质的拓展应用：从单一图形到复合情境的跨越（1）母子型相似的典型特征是“公共角+直角”。△ACD与△ABC均含∠A，且∠ADC=∠ACB=90，故△ACD∽△ABC；同理，△CBD与△ABC均含∠B，且∠CDB=∠ACB=90，故△CBD∽△ABC，从而三者两两相似。（2）由相似三角形的性质，CD²=ADDB（射影定理），代入AD=4，DB=9，得CD=√(4×9)=6。教学价值：此题是“直角三角形斜边上的高”构造的母子型相似，需让学生牢记“射影定理”的三个结论（AC²=ADAB，BC²=BDAB，CD²=ADBD），这是解决直角三角形相似问题的常用工具。2动态几何中的相似三角形：变量与不变量的分析动态问题（如点的移动、图形的旋转）中，相似三角形的存在性或比例关系往往随变量变化而变化。解决这类问题的关键是“设定变量，寻找不变关系”，通过建立方程或函数模型求解。例2（动点问题）：如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发，沿BC以每秒2个单位的速度向点C移动。设运动时间为t秒（0≤t≤4）。2动态几何中的相似三角形：变量与不变量的分析当t为何值时，△PBQ∽△ABC？（2）是否存在t，使得△PBQ的面积为矩形面积的1/8？若存在，求t的值；若不存在，说明理由。分析：（1）矩形中∠B=∠B=90，若△PBQ∽△ABC，则需满足对应边成比例。分两种情况：情况1：PB/AB=BQ/BC→(6-t)/6=2t/8→解得t=24/10=2.4；情况2：PB/BC=BQ/AB→(6-t)/8=2t/6→解得t=18/11≈1.64（需验证t≤4，符合条件）。2动态几何中的相似三角形：变量与不变量的分析当t为何值时，△PBQ∽△ABC？（2）△PBQ的面积=1/2×PB×BQ=1/2×(6-t)×2t=t(6-t)。矩形面积=6×8=48，故1/8面积为6。令t(6-t)=6，即t²-6t+6=0，解得t=3±√3（均在0≤t≤4范围内），故存在。教学价值：动态问题需明确变量的取值范围，分情况讨论相似的对应关系（避免漏解），同时结合方程思想求解。学生易忽略“对应边的顺序”，需强调相似符号的方向性（如△PBQ∽△ABC与△PBQ∽△ACB对应不同的比例式）。3代数与几何的综合应用：相似三角形的“比例转化”功能相似三角形的比例性质可将几何问题转化为代数问题，尤其在涉及线段长度、面积比、函数关系式的问题中，这种转化尤为重要。例3（函数与相似结合）：如图3，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，且与x轴的另一交点为C（3,0）。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于D，是否存在点P，使得△PDA∽△AOB？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。分析：（1）直线y=2x+4与x轴交于A(-2,0)，与y轴交于B(0,4)。抛物线过3代数与几何的综合应用：相似三角形的“比例转化”功能A(-2,0)、B(0,4)、C(3,0)，代入解析式得：c=4，4a-2b+4=0，9a+3b+4=0，解得a=-2/3，b=2/3，故抛物线解析式为y=-2/3x²+2/3x+4。（2）△AOB中，OA=2，OB=4，∠AOB=90；△PDA中，PD=|y_P|，AD=|x_P+2|，∠PDA=90。若△PDA∽△AOB，则有两种可能：PD/OA=AD/OB→|y_P|/2=|x_P+2|/4→|y_P|=1/2|x_P+2|；PD/OB=AD/OA→|y_P|/4=|x_P+2|/2→|y_P|=2|x_P+2|。结合抛物线解析式y=-2/3x²+2/3x+4，分别代入求解：3代数与几何的综合应用：相似三角形的“比例转化”功能第一种情况：-2/3x²+2/3x+4=±1/2(x+2)，解得x=4或x=-2（舍去，因A点已存在）或x=1/2等（需验证是否符合）；01第二种情况：-2/3x²+2/3x+4=±2(x+2)，解得x=0（对应B点）或x=-3等（需验证是否在抛物线上）。02教学价值：此题将相似三角形与二次函数结合，需学生综合运用坐标几何、相似判定及方程求解能力。关键是将“相似条件”转化为坐标的比例关系，体现了“用代数方法解决几何问题”的核心思想。0303提高题组示例：从“理解”到“创新”的能力突破提高题组示例：从“理解”到“创新”的能力突破提高题组的设计需兼顾综合性、探究性与创新性，旨在培养学生的逻辑推理、空间想象和创新思维能力。以下是一组典型的提高题，涵盖不同难度层次与应用场景。1综合证明题：多知识点融合的逻辑推理题目1：如图4，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点（不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=∠B，DE交AC于E。（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB=5，BC=6，当D为BC中点时，求AE的长。解析：（1）由AB=AC，得∠B=∠C=∠ADE。在△ABD中，∠ADB=∠B+∠BAD（外角定理）；在△DCE中，∠DEC=∠ADE+∠CDE（外角定理）。因∠ADE=∠B，故∠ADB=∠DEC。又∠B=∠C，故△ABD∽△DCE（AA判定）。1综合证明题：多知识点融合的逻辑推理（2）D为BC中点，故BD=DC=3。由AB=AC=5，BC=6，可求得△ABC的高为4（勾股定理），故cosB=BC/(2AB)=3/5（或用余弦定理）。由△ABD∽△DCE，得AB/DC=BD/CE→5/3=3/CE→CE=9/5，故AE=AC-CE=5-9/5=16/5。关键能力：此题需综合运用等腰三角形性质、外角定理及相似三角形判定，重点考察学生“从角度关系推导相似”的能力。2探究性问题：开放条件下的规律发现题目2：如图5，在正方形ABCD中，E是BC边上一点（不与B、C重合），连接AE，作EF⊥AE交CD于F。（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若正方形边长为4，设BE=x，CF=y，求y关于x的函数关系式；（3）是否存在点E，使得△AEF为等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，说明理由。解析：（1）正方形中∠B=∠C=90，故∠BAE+∠AEB=90。因EF⊥AE，故∠AEB+∠FEC=90，从而∠BAE=∠FEC，故△ABE∽△ECF（AA判定）。2探究性问题：开放条件下的规律发现（2）由相似得AB/EC=BE/CF→4/(4-x)=x/y→y=x(4-x)/4=-1/4x²+x（0<x<4）。（3）△AEF为等腰三角形分三种情况：AE=AF：此时F与D重合（因AF=AE需满足CF=0，但E不与C重合，矛盾）；AE=EF：由△ABE∽△ECF，得AE/EF=AB/EC=4/(4-x)。若AE=EF，则4/(4-x)=1→x=0（舍去）；AF=EF：同理，AF=√(AD²+DF²)=√[16+(4-y)²]，EF=√(EC²+CF²)=√[(4-x)²+y²]。代入y=-1/4x²+x，化简得x=2（验证符合条件）。关键能力：此题通过“正方形+垂直”构造相似，第（3）问需分类讨论等腰三角形的可能性，考察学生的全面分析能力与代数运算能力。3实际应用题：相似三角形的生活场景应用题目3：如图6，为测量某建筑物的高度AB，小明在地面上选取一点C，测得∠ACB=30；然后向建筑物方向前进20米到达点D，测得∠ADB=45。已知小明的眼睛离地面高度为1.6米（即CE=DF=1.6米），求建筑物AB的高度（结果保留根号）。解析：设AB的高度为h米，则BG=h-1.6米（G为小明眼睛到AB的水平投影点）。在Rt△BGD中，∠BDG=45，故DG=BG=h-1.6；在Rt△BGC中，∠BCG=30，故CG=BG/√3=(h-1.6)/√3。由CD=CG-DG=20米，得：3实际应用题：相似三角形的生活场景应用(h-1.6)/√3-(h-1.6)=20→(h-1.6)(1/√3-1)=20→h-1.6=20/(1/√3-1)=20√3/(1-√3)=-10√3(1+√3)（分母有理化后取绝对值）最终h=1.6+10√3(√3+1)=1.6+10(3+√3)=31.6+10√3（米）。关键能力：此题将相似三角形（实际为直角三角形的边角关系）应用于测量问题，需学生建立“数学模型”，将实际问题转化为几何问题，体现“用数学解决实际问题”的核心素养。04总结与提升：相似三角形的核心价值与学习建议1核心价值总结相似三角形是平面几何的“枢纽”，其核心价值体现在：01工具性：通过比例关系连接线段长度、角度、面积等几何量；02思想性：蕴含“类比”（与全等三角形类比）、“转化”（几何问题代数化）、“模型化”（如母子型、A字形相似模型）等数学思想；03应用性：广泛应用于测量、工程、物理（如相似三角形在光学中的应用）等领域。042学习建议03强化应用：多练习动态问题、函数与几何综合题，培养“设定变量—建立比例—求解方程”的思维流程；02