2025 九年级数学下册展开图与立体图形对应关系练习题组示例课件

一、基础概念与核心关系的深度梳理演讲人基础概念与核心关系的深度梳理01易错点剖析与突破策略02典型问题分类与解法示例03总结与升华04目录2025九年级数学下册展开图与立体图形对应关系练习题组示例课件作为一名深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终认为“空间观念”的培养是九年级几何教学的核心目标之一。而“展开图与立体图形的对应关系”正是连接平面图形与立体图形的关键桥梁——它既要求学生从立体图形中抽象出展开的平面结构，又需要从平面展开图中还原立体图形的空间形态。今天，我将结合新课标要求与多年教学实践，围绕这一主题构建一套逻辑清晰、层次分明的练习题组，帮助学生突破空间想象的“最后一公里”。01基础概念与核心关系的深度梳理基础概念与核心关系的深度梳理要解决展开图与立体图形的对应问题，首先需要明确两个核心概念：立体图形的展开图与展开图的还原。1展开图的定义与分类展开图是指将立体图形的表面（含所有面）按一定方式剪开并铺成一个平面图形的结果。根据立体图形的类型，展开图可分为：多面体展开图（棱柱、棱锥等）：由若干个多边形（三角形、矩形、正方形等）拼接而成，无曲面；旋转体展开图（圆柱、圆锥等）：包含曲面展开后的平面图形（如圆柱的侧面展开为矩形，圆锥的侧面展开为扇形）。以正方体为例，其展开图共有11种不同形式（“1-4-1”型6种、“2-3-1”型3种、“2-2-2”型1种、“3-3”型1种）。我在课堂上常让学生用硬纸板亲手折叠这11种展开图，观察“相对面不相邻”“相邻面共边”的规律——这种动手操作比单纯记忆更能加深理解。2展开图与立体图形的核心对应要素展开图与立体图形的对应本质是“面-面”“边-边”“顶点-顶点”的一一对应。具体表现为：面的数量与形状：展开图中多边形的数量等于立体图形的面数（如三棱柱有5个面，展开图由3个矩形和2个三角形组成）；边的长度与位置：展开图中相邻多边形的公共边对应立体图形中两个面的交线（如长方体展开图中，相邻矩形的公共边分别对应长、宽、高中的某一条）；角度与曲面参数：旋转体展开图中，圆柱侧面展开矩形的一边长等于底面圆的周长（(2\pir)），另一边长等于圆柱的高（(h)）；圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长（(2\pir)），扇形半径等于圆锥的母线长（(l)）。2展开图与立体图形的核心对应要素我曾遇到学生混淆“圆柱展开图中矩形的长是底面周长还是高”，通过让他们用彩笔在圆柱模型上标记底面圆周上的一点，展开后观察该点在矩形边上的位置，问题便迎刃而解——这就是“动手标记法”的直观价值。02典型问题分类与解法示例典型问题分类与解法示例基于教学实践，展开图与立体图形的对应问题可分为三大类：由立体图形到展开图的绘制、由展开图到立体图形的还原、展开图的综合应用。以下通过具体题组示例说明解题策略。1类型一：由立体图形绘制展开图（基础巩固）考查目标：掌握常见立体图形的展开图特征，能准确绘制指定方向的展开图。例题1（教材改编）：如图1所示为一个底面边长为2cm、高为3cm的正三棱柱，要求沿竖直棱剪开上、下底面与三个侧面，绘制其展开图，并标注各边长度。分析与解答：正三棱柱的展开图由2个全等的等边三角形（底面）和3个全等的矩形（侧面）组成。沿竖直棱剪开后，三个侧面矩形依次相连，形成一个长为(3\times2=6)cm（底面周长）、宽为3cm（高）的大矩形，两个底面三角形分别连接在大矩形的上下两边。绘制时需注意：侧面矩形的长等于底面边长（2cm），宽等于高（3cm）；1类型一：由立体图形绘制展开图（基础巩固）底面三角形的边长与侧面矩形的长一致（2cm）。变式练习1：一个底面半径为1cm、高为4cm的圆柱，沿一条母线剪开侧面，绘制其展开图，并计算展开图中矩形的面积。（答案：矩形长(2\pi\times1=2\pi)cm，宽4cm，面积(8\pi)cm²）2类型二：由展开图还原立体图形（能力提升）考查目标：通过展开图的形状、边长、角度等信息，判断原立体图形的类型及相关参数。例题2（中考真题改编）：图2所示展开图由一个边长为6cm的正方形和四个全等的等腰三角形组成，等腰三角形的底边为6cm，腰长为5cm。判断该展开图对应的立体图形类型，并计算其体积。分析与解答：展开图包含1个正方形（底面）和4个等腰三角形（侧面），符合正四棱锥的展开图特征。还原立体图形时：正方形边长为6cm，即正四棱锥的底面边长为6cm；等腰三角形的腰长为5cm，即正四棱锥的侧棱长为5cm；2类型二：由展开图还原立体图形（能力提升）需计算高：底面正方形中心到顶点的距离为(\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2})cm，根据勾股定理，高(h=\sqrt{5^2-(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{25-18}=\sqrt{7})cm；12易错点提醒：学生易混淆“侧棱长”与“斜高”（侧面三角形的高）。本题中，等腰三角形的高（斜高）为(\sqrt{5^2-3^2}=4)cm，但计算体积需要的是正四棱锥的高（顶点到底面的垂直距离），需通过底面中心到顶点的距离求解。3体积(V=\frac{1}{3}\times底面积\times高=\frac{1}{3}\times6^2\times\sqrt{7}=12\sqrt{7})cm³。2类型二：由展开图还原立体图形（能力提升）变式练习2：图3展开图由一个扇形（半径10cm，圆心角144）和一个圆组成，判断对应的立体图形类型，并求其底面圆半径。（答案：圆锥，底面圆半径(r=\frac{144}{360}\times10=4)cm）3类型三：展开图的综合应用（拓展创新）考查目标：结合展开图与其他几何知识（如勾股定理、最短路径）解决实际问题。例题3（生活情境题）：如图4所示，一个长方体盒子长12cm、宽8cm、高5cm，一只蚂蚁从下底面的A点（长12cm、宽8cm面的左下角）爬到上底面的B点（长12cm、宽8cm面的右上角），求蚂蚁爬行的最短路径长度。分析与解答：蚂蚁的最短路径需将长方体表面展开为平面，利用“两点之间线段最短”求解。可能的展开方式有三种：展开前面与右面：形成长(12+5=17)cm、宽8cm的矩形，路径长(\sqrt{17^2+8^2}=\sqrt{353}\approx18.79)cm；3类型三：展开图的综合应用（拓展创新）展开前面与上面：形成长(8+5=13)cm、宽12cm的矩形，路径长(\sqrt{13^2+12^2}=\sqrt{313}\approx17.69)cm；展开左面与上面：形成长(12+8=20)cm、宽5cm的矩形，路径长(\sqrt{20^2+5^2}=\sqrt{425}\approx20.61)cm。因此，最短路径为(\sqrt{313})cm（约17.69cm）。教学反思：这类题目需要学生枚举所有可能的展开方式，避免遗漏。我常让学生用不同颜色的笔在长方体模型上标注展开后的A、B位置，直观对比路径长度，培养“分类讨论”的数学思维。3类型三：展开图的综合应用（拓展创新）变式练习3：一个底面半径为2cm、高为5cm的圆柱，一只蚂蚁从下底面边缘的A点沿侧面爬到上底面边缘的B点（A、B在圆柱的同一母线上），求最短路径长度。（答案：将侧面展开为矩形，长(2\pi\times2=4\pi)cm，宽5cm，路径为对角线(\sqrt{(4\pi)^2+5^2})cm）03易错点剖析与突破策略易错点剖析与突破策略在教学中，我发现学生的错误主要集中在以下三类问题，需针对性突破：1多面体展开图的“相对面”判断错误典型错误：将正方体展开图中“Z”字形两端的面误认为相邻面，或混淆“1-4-1”型展开图中上下底面的位置。突破策略：口诀记忆法：正方体展开图“相对面”遵循“相间不相邻”“Z端是对面”（如“1-4-1”型中，中间一行的四个面两两相对，上下两个面相对；“Z”字形展开图中，两端的面相对）；实物验证法：用正方体纸盒标注数字1-6，剪开不同展开图后观察相对面，形成直观记忆。2旋转体展开图的“曲面参数”混淆典型错误：将圆柱展开图中矩形的长误记为“直径”而非“周长”，或圆锥展开图中扇形半径误为“底面半径”而非“母线长”。突破策略：公式溯源法：通过公式推导强化记忆——圆柱侧面展开矩形的长等于底面圆的周长（(C=2\pir)），宽等于高（(h)）；圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长（(C=2\pir)），半径等于母线长（(l)），因此有(2\pir=\frac{n\pil}{180})（(n)为扇形圆心角）；标记法：在圆柱模型侧面画一条螺旋线，展开后观察其变为直线，理解“曲面展开为平面后，曲面上的曲线变为直线”的本质。3展开图综合题的“展开方式遗漏”典型错误：在求解长方体表面最短路径时，仅考虑一种展开方式，导致答案错误。突破策略：枚举法训练：明确长方体有3组不同的面（长×宽、长×高、宽×高），因此展开方式对应3种（展开相邻的两组面），需全部计算后比较；动态想象法：通过几何画板演示不同展开方式，观察A、B两点位置的变化，培养空间动态想象能力。04总结与升华总结与升华展开图与立体图形的对应关系，本质是“空间到平面”与“平面到空间”的双向转化，是培养学生几何直观、空间观念的核心载体。通过本节课的题组训练，我们需要掌握：基础：常见立体图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥）展开图的形状与参数对应；方法：由立体图形绘制展开图时关注“面数、边长、角度”，由展开图还原立