2025 年大学控制科学与工程（现代控制理论）试题及答案

2025年大学控制科学与工程（现代控制理论）试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题给出的选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案填写在括号内）1.线性定常系统状态空间表达式为$\dot{x}=Ax+Bu$，$y=Cx+Du$，其传递函数矩阵为（）A.$G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D$B.$G(s)=C(sI-A)^{-1}B$C.$G(s)=(sI-A)^{-1}B+D$D.$G(s)=(sI-A)^{-1}B$2.系统的状态空间表达式为$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$，$y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x$，该系统是（）A.能控能观B.能控不能观C.不能控能观D.不能控不能观3.对于线性定常系统，若其传递函数矩阵$G(s)$的所有元素都是严格真有理函数，则系统（）A.渐近稳定B.临界稳定C.不稳定D.不一定稳定4.已知系统的特征方程为$s^3+2s^2+3s+4=0$，则系统（）A.稳定B.临界稳定C.不稳定D.无法判断5.若系统的状态空间表达式为$\dot{x}=Ax+Bu$，$y=Cx+Du$，则系统的能控性矩阵为（）A.$Q_c=[B\AB\A^2B\\cdots\A^{n-1}B]$B.$Q_c=[C\CA\CA^2\\cdots\CA^{n-1}]$C.$Q_c=[A\B\A^2B\\cdots\A^{n-1}B]$D.$Q_c=[C\B\CA^2\\cdots\CA^{n-1}]$6.系统的状态空间表达式为$\dot{x}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}u$，$y=\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}x$，该系统的传递函数为（）A.$\frac{1}{(s+1)(s+2)}$B.$\frac{2}{(s+1)(s+2)}$C.$\frac{1}{s^2+3s+2}$D.$\frac{2}{s^2+3s+2}$7.对于线性定常系统，若其状态转移矩阵$\Phi(t)$满足$\lim\limits_{t\to+\infty}\Phi(t)=0$，则系统（）A.渐近稳定B.临界稳定C.不稳定D.不一定稳定8.已知系统的传递函数$G(s)=\frac{s+1}{s^2+2s+2}$则其极点为（）A.$-1\pmj$B.$-1$C.$-j$D.$j$9.系统的状态空间表达式为$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$，$y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x$，该系统的自然频率为（）A.$0$和$1$B.$1$和$-1$C.$0$和$-1$D.$1$和$0$10.若系统的状态空间表达式为$\dot{x}=Ax+Bu$，$y=Cx+Du$，则系统的能观性矩阵为（）A.$Q_o=[C\CA\CA^2\\cdots\CA^{n-1}]$B.$Q_o=[B\AB\A^2B\\cdots\A^{n-1}B]$C.$Q_o=[A\C\A^2C\\cdots\A^{n-1}C]$D.$Q_o=[C\B\CA^2\\cdots\CA^{n-1}]$二、多项选择题（总共5题，每题5分，每题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，请将正确答案填写在括号内）1.下列关于线性定常系统能控性的说法正确的有（）A.系统完全能控的充要条件是能控性矩阵满秩B.若系统的状态方程为$\dot{x}=Ax+Bu$能控，则其对偶系统$\dot{\hat{x}}=A^T\hat{x}+C^T\hat{u}$也能控C.能控性与系统的输入矩阵$B$有关D.能控性与系统的输出矩阵$C$有关2.对于线性定常系统的传递函数矩阵，以下说法正确的是（）A.传递函数矩阵的元素是有理函数B.传递函数矩阵反映了系统输入输出之间的关系C.传递函数矩阵与系统的状态空间表达式一一对应D.传递函数矩阵的极点就是系统的特征值3.系统的状态空间表达式为$\dot{x}=Ax+Bu$，$y=Cx+Du$，下列哪些条件可以判断系统是渐近稳定的（）A.系统的特征值都具有负实部B.系统的李雅普诺夫矩阵方程$PA+A^TP=-Q$有正定解$P$C.$\lim\limits_{t\to+\infty}\Phi(t)=0$D.系统的能控性矩阵满秩4.关于线性定常系统的状态转移矩阵，正确的是（）A.$\Phi(0)=I$B.$\Phi(t_1+t_2)=\Phi(t_1)\Phi(t_2)$C.$\Phi^{-1}(t)=\Phi(-t)$D.状态转移矩阵满足齐次状态方程5.已知系统的传递函数$G(s)=\frac{s^2+2s+1}{s^3+3s^2+2s}$，则以下说法正确的是（）A.系统的极点为$0$，$-1$，$-2$B.系统是不稳定的C.系统的零点为$-1$D.系统的阶数为$3$三、判断题（总共10题，每题2分，请判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”）1.线性定常系统的能控性和能观性与系统的初始状态有关。（）2.若系统的传递函数矩阵$G(s)$的所有元素都是真有理函数，则系统是渐近稳定的。（）3.系统的状态空间表达式不唯一。（）4.能控性矩阵和能观性矩阵的秩相等，则系统既能控又能观。（）5.线性定常系统的状态转移矩阵是唯一的。（）6.若系统的特征方程的所有根都具有负实部，则系统是渐近稳定的。（）7.传递函数矩阵反映了系统的内部结构。（）8.对于线性定常系统，若其能控性矩阵满秩，则系统一定能控。（）9.系统的能观性与系统的输入无关。（）10.线性定常系统的自然频率就是其特征值的实部。（）四、简答题（总共3题，每题10分，请简要回答下列问题）1.简述线性定常系统能控性和能观性的定义，并说明它们的物理意义。2.已知系统的状态空间表达式为$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$，$y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x$，试判断系统的能控性和能观性。3.什么是系统的传递函数矩阵？它与系统的状态空间表达式有什么关系？五、综合题（总共2题，每题15分，请详细解答下列问题）1.已知系统的状态空间表达式为$\dot{x}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}u$，$y=\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}x$，求系统的传递函数、特征值，并判断系统的稳定性。2.对于系统$\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\\-1&-2\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u$，$y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x$，（1）判断系统的能控性和能观性；（2）若系统初始状态$x(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$，输入$u(t)=e^{-t}$，求系统的状态响应$x(t)$。答案1.选择题-1.A-2.B-3.D-4.C-5.A-6.B-7.A-8.A-9.B-10.A2.多项选择题-1.ABC-2.ABC-3.ABC-4.ABCD-5.ABCD3.判断题-1.×-2.×-3.√-4.×-5.√-6.√-7.×-8.√-9.√-10.×4.简答题-1.能控性定义：对于线性定常系统$\dot{x}=Ax+Bu$，若存在一个无约束的输入$u(t)$，能在有限时间区间$[t_0,t_1]$内将系统从任意初始状态$x(t_0)$转移到任意终端状态$x(t_1)$，则称系统是状态完全能控的。物理意义：系统的输入能够对系统的状态产生有效的影响，改变系统状态。能观性定义：对于线性定常系统$\dot{x}=Ax+Bu$，$y=Cx+Du$，若在任意有限时间区间$[t_0,t_1]$内，通过观测输出$y(t)$能唯一确定系统的初始状态$x(t_0)$，则称系统是状态完全能观的。物理意义：系统的输出能够反映系统的初始状态。-2.能控性矩阵$Q_c=[B\AB]=\begin{bmatrix}0&1\\1&-3\end{bmatrix}$，秩为2，系统能控。能观性矩阵$Q_o=[C\CA]=\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}$，秩为2，系统能观。-3.传递函数矩阵是线性定常系统在零初始条件下，输出拉氏变换与输入拉氏变换之比。它与状态空间表达式的关系：通过对状态空间表达式进行拉氏变换，并利用零初始条件可以得到传递函数矩阵；反之，已知传递函数矩阵也可以通过部分分式展开等方法得到系统的状态空间表达式。5.综合题-1.传递函数：$G(s)=C(sI-A)^{-1}B=\frac{2}{s^2+3s+2}$。特征值：由$s^2+3s+2=0$，解得$s_1=-1$，$s_2=-2$。系统渐近稳定。-2.（1）能控性矩阵$Q_c=[B\AB]=\begin{bmatrix}0&1\\1&-2\end{bmatrix}$，秩为2，系统能控。能观性矩阵$Q_o=[C\CA]=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$，秩为2，系统能观。（2）先求系统的状态转移矩阵$\Phi(t)$，由特征方程$s^2+2s+1=0$得特征值$s=-1$（二重）。$\Phi(t)=e^{At}=\begin{bmatrix}(1+t)e^{-t}&te^{-t}\\-te^{-t}&(1-t)e^{-t}\end{bmatrix}$。$x(t)=\Phi(t)x(0)+\int_{0}^{t}\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau$$=\begin{bmatrix}(1+t)e^{-t}&te^{-t}\\-te^{-t}&(1-t)e^{-t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+\int_{0}^{t}\be