2025 年大学理学（数学（计算数学））试题及答案

2025年大学理学（数学（计算数学））试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题4分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填在括号内）1.计算数学中，数值积分的常用方法不包括以下哪种？（）A.牛顿-柯特斯公式B.高斯求积公式C.蒙特卡洛方法D.傅里叶变换2.对于线性方程组Ax=b，当系数矩阵A满足什么条件时，雅可比迭代法一定收敛？（）A.A为对称正定矩阵B.A的所有对角元素非零C.A严格对角占优D.A可逆3.在求解微分方程数值解时，欧拉方法的局部截断误差是（）。A.O(h)B.O(h²)C.O(h³)D.O(h⁴)4.计算矩阵特征值的幂法适用于（）。A.所有矩阵B.实对称矩阵C.具有一个占优特征值的矩阵D.非奇异矩阵5.数值逼近中，拉格朗日插值多项式的次数最高为（）。A.nB.n-1C.n+1D.2n6.用二分法求方程f(x)=0在区间[a,b]内的根，要求满足（）。A.f(a)f(b)<0B.f(a)f(b)>0C.f(a)与f(b)同号D.f(a)=0或f(b)=07.计算数学中，快速傅里叶变换（FFT）主要用于（）。A.求解线性方程组B.数值积分C.信号处理D.求解非线性方程8.对于迭代格式x(k+1)=Ax(k)+b，若迭代收敛，则其收敛速度取决于（）。A.矩阵A的特征值B.向量bC.初始向量x(0)D.迭代次数k9.数值微分中，用差商近似导数时，二阶中心差商的精度为（）。A.O(h)B.O(h²)C.O(h³)D.O(h⁴)10.求解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法的迭代公式为（）。A.x(k+1)=x(k)-f(x(k))/f'(x(k))B.x(k+1)=x(k)+f(x(k))/f'(x(k))C.x(k+1)=f(x(k))/f'(x(k))D.x(k+1)=f'(x(k))/f(x(k))二、多项选择题（总共5题，每题6分，每题至少有两个正确答案，请将正确答案填在括号内）1.以下哪些是计算数学的研究内容？（）A.数值逼近B.数值代数C.微分方程数值解D.最优化方法E.概率论2.关于高斯消去法，以下说法正确的是（）。A.可以求解线性方程组B.计算过程中可能会出现除数为零的情况C.是一种直接法D.适用于所有线性方程组E.计算量较大3.在数值积分中，辛普森公式的优点有（）。A.精度较高B.计算简单C.对被积函数要求低D.收敛速度快E.适用于任意区间4.以下哪些方法可用于求解矩阵的逆？（）A.伴随矩阵法B.高斯消去法C.LU分解法D.幂法E.雅可比迭代法5.对于常微分方程数值解的龙格-库塔方法，以下正确的是（）。A.有多种不同阶数的格式B.精度比欧拉方法高C.计算复杂度较高D.适用于所有常微分方程E.是一种间接法三、判断题（总共10题，每题3分，请判断对错，对的打√，错的打×）1.计算数学只研究数值计算方法本身，不考虑其在实际问题中的应用。（）2.线性方程组的迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。（）3.数值积分的梯形公式比矩形公式精度高。（）4.用牛顿迭代法求解非线性方程时，初始值的选取对收敛性没有影响。（）5.矩阵的QR分解可以通过施密特正交化过程得到。（）6.计算数学中的数值方法都是精确的，不存在误差。（）7.对于高阶微分方程，可以通过降阶转化为一阶微分方程组来求解。（）8.拉格朗日插值多项式在插值节点处的函数值等于被插值函数在该节点处的值。（）9.数值微分的精度与所用差商的阶数有关，阶数越高精度越高。（）10.求解线性方程组的共轭梯度法只适用于对称正定矩阵。（）四、简答题（总共3题，每题10分，请简要回答问题）1.简述数值逼近中最小二乘法的基本思想及步骤。2.说明用二分法求方程根的优缺点。3.阐述计算矩阵特征值的幂法的基本原理及收敛条件。五、综合题（总共2题，每题15分，请详细解答问题）1.已知线性方程组：\[\begin{cases}3x_1-x_2+2x_3=1\\-x_1+7x_2-x_3=2\\2x_1-x_2+10x_3=3\end{cases}\]（1）写出用雅可比迭代法求解该方程组的迭代公式。（2）判断雅可比迭代法是否收敛。2.用牛顿迭代法求解方程\(x³-2x-5=0\)，取初始值\(x_0=2\)，计算前3次迭代值。答案1.选择题1.D2.C3.B4.C5.A6.A7.C8.A9.B10.A2.多项选择题1.ABCD2.AC3.AD4.ABC5.ABC3.判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√4.简答题1.最小二乘法基本思想是：对于给定的一组数据点\((x_i,y_i)\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，寻找一个函数\(y=\varphi(x)\)，使得\(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\varphi(x_i))²\)达到最小。步骤：先确定函数\(\varphi(x)\)的形式（如多项式等），然后通过求偏导数等方法得到关于待定系数的方程组，解方程组确定系数。2.优点：算法简单易理解，对函数\(f(x)\)要求低，只要\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续且\(f(a)f(b)<0\)即可保证收敛。缺点：收敛速度较慢，每次迭代只能将根的搜索区间缩小一半。3.幂法基本原理：对于矩阵\(A\)，任取非零初始向量\(v_0\)，构造向量序列\(v_k=A^kv_0\)，适当归一化后得到\(u_k=\frac{v_k}{\max(v_k)}\)，当\(k\)充分大时，\(u_k\)趋向于矩阵\(A\)的主特征向量方向，\(\frac{(u_k)^TAu_k}{(u_k)^Tu_k}\)趋向于主特征值。收敛条件：矩阵\(A\)有一个占优特征值（其绝对值大于其他特征值的绝对值）。5.综合题1.（1）雅可比迭代公式：\(x_1^{(k+1)}=\frac{1}{3}(1+x_2^{(k)}-2x_3^{(k)})\)\(x_2^{(k+1)}=\frac{1}{7}(2+x_1^{(k)}+x_3^{(k)})\)\(x_3^{(k+1)}=\frac{1}{10}(3-2x_1^{(k)}+x_2^{(k)})\)（2）系数矩阵\(A=\begin{pmatrix}3&-1&2\\-1&7&-1\\2&-1&10\end{pmatrix}\)，计算可得\(\verta_{11}\vert=3\)，\(\verta_{22}\vert=7\)，\(\verta_{33}\vert=10\)，\(\verta_{12}\vert+\verta_{13}\vert=3\)，\(\verta_{21}\vert+\verta_{23}\vert=2\)，\(\verta_{31}\vert+\verta_{32}\vert=3\)，满足严格对角占优，所以雅可比迭代法收敛。2.已知\(f(x)=x³-2x-5\)，\(f'(x)=3x²-2\)。\(x_0=2\)时，\(x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=2-\frac{2³-2×2-5}{3×2²-2}=2-\frac{8-4-5}{12-2}=2+\frac{1}{10}=2.1\)\(x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=2.1-\frac{2.1³-2×2.1-5}{3×2.1²-2}\approx2.1-\frac{9.261-4.2-5}{13.23-2}=2.1-\frac{0.061}{11.23}\approx