北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

海淀区高一年级练习数学2025.01考生须知1．本试卷共5页，共三道大题，19道小题.满分100分.考试时间90分钟.2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名.3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答.4．考试结束，请将本试卷交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【详解】因为，，所以，故选：C.2.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性、单调性逐项分析判断.【详解】对于A，函数定义域为，不具奇偶性，A不是；对于B，，B不是；对于C，函数在上单调递减，C不是；对于D，函数定义域为，，函数是偶函数，当时，在上单调递增，D是.故选：D3.已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.【详解】函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，而，所以的零点在区间内.故选：A4.某校高一年级有名男生，名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从该校高一学生中抽取容量为的样本进行调查，其中女生名，则的值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分层抽样的定义，列式计算得解.【详解】依题意，，所以.故选：B5.已知，，则实数的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小.【详解】依题意，，因此实数的大小关系是.故选：B6.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断.【详解】对于A，由，得，A错误；对于C，由，得，，C正确；对于B，由，，因此，B错误；对于D，由，得，，D错误.故选：C7.已知函数.若恒成立，则的取值可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可.【详解】当时，不等式，依题意，恒成立，而当时，，当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是.故选：D8.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（）（参考数据：）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用给定的模型，结合对数运算计算得解.【详解】依题意，（）.故选：A9.设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合增函数的定义判断得解.【详解】函数在上是增函数，则且，都有，必要性成立；取函数，区间，显然且，都有，而函数在上不单调，充分性不成立，所以“且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件.故选：B10.已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值【答案】D【解析】【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解.【详解】因为，当时，，易知在区间上单调递增，且，当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增，图象如图所示，由，得到或（舍），又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，，所以选项A，B和C错误，选项D正确，故选：D.【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用基本函数的图象与性质，求作出的图象，再数形结合，即可求解.

第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.计算：=________________.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用指数幂的运算，即可求解.【详解】因为，故答案为：.12.已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数是__________________.【答案】（答案不唯一，，满足时，或时，即可）【解析】【分析】令，根据条件，先假设在区间0,3内有零点，利用二次函数根的分布，建立的不等关系，通过取值，即可求解.【详解】令，由得到，当时，假设在区间0,3内有零点，则有①，不妨取，显然满足①式，此时，令，得到，所以，满足，但在区间0,3内有零点，故满足题意，当时，假设在区间0,3内有零点，则有②，不妨取，显然满足②式，此时，令，得到，所以，满足，但在区间0,3内有零点，故满足题意，故答案为：（答案不唯一，，满足时，或时，即可）.13.已知的图象经过点，则__________；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据条件，代入即可求解，再利用方程有解的条件及根与系数的关系，即可求解出实数的取值范围.【详解】由题知，得到，所以，又方程有两个不等实数根，则，又，得到，得到，由，得到或，所以，故答案为：；.14.已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_______________.【答案】【解析】【分析】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式.【详解】观察图象知，奇函数在上单调递增，则在上单调递增，且，不等式，当时，不等式成立；当时，，解得；当时，，解得，所以不等式的解集为.故答案为：15.函数，其中表示不超过a的最大整数．给出下列四个结论：①的定义域为；②方程没有实数根；③函数的值域为；④存在实数，使得当且时，都有．其中所有正确结论的序号是__________________．【答案】②③④【解析】【分析】举例说明判断①；解方程并结合函数的意义判断②；令，结合单调性求出值域判断③；取，确定取值区间推理判断④即可得解.【详解】对于①，当时，，函数无意义，①错误；对于②，由，得，而，因此方程没有实数根，②正确；对于③，函数，令，则，，，而，随的增大而增大，则，，因此，函数的值域为，③正确；对于④，取，，，由，得，令，则，由，得，而，当，取，此时，，，，都有，④正确，所以所有正确结论的序号是②③④.故答案为：②③④【点睛】关键点点睛：令，借助单调性是求出函数的关键.三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知关于不等式的解集，集合．（1）求实数的值；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围．条件①：；条件②：．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分【答案】（1）（2）选择见解析，答案见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解；（2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解.【小问1详解】由，得到，即，又因为关于不等式的解集，所以，解得，所以实数的值为.【小问2详解】选择条件①，因为，，又，由图知，，解得.选择条件②，因为，，又，即，由图知，，解得.17.某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：景区限流情况景区累计天数不限流局部限流完全限流甲景区累计天数天天天乙景区累计天数天天天丙景区累计天数天天天假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立.（1）小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率；（2）小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率；（3）小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种情况之一，则不能完成游览：（ⅰ）在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流；（ⅱ）在上午的游览中遇到完全限流.请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览景区，下午游览景区.（从“甲、乙、丙”中选择两个填写）【答案】（1）；（2）；（3）甲，丙；【解析】【分析】（1）由表格中数据求出频率即可.（2）利用相互独立事件及对立事件的概率求解.（3）按上下午选择景区情况分类，利用相互独立事件及对立事件的概率求出概率并比较大小得解.【小问1详解】由数表知，天中，甲景区完全限流的天数是2，所以小明遇到完全限流的概率为.【小问2详解】由数表知，乙景区不限流的概率为，丙景区不限流的概率为，所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率.【小问3详解】若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率；若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率；若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率；若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率；若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率；若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率，而最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大.18.已知函数.（1）若，求的值；（2）当时，用函数单调性定义证明在区间上增函数；（3）若，，恒成立，且函数在上单调递增，求的最小值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）1.【解析】【分析】（1）代入计算得的值.（2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证.（3）对恒成立的不等式分离参数，借助指数函数值域求出的最小值，再利用增函数的定义推理得解.【小问1详解】函数，由，得，所以.【小问2详解】当时，，任取，，由，得，则，即，所以函数在区间上是增函数.【小问3详解】不等式，依题意，，恒成立，而，恒有，则，又，因此，任取，，由，得，而，则，即，又，于是，则，即，因此函数在上单调递增，所以的最小值是1.19.已知非空集合满足如下三个性质，则称集合满足性质：①；②，；③，；（1）判断下列集合是否满足性质？;.（只需写出结论）（2）若集合满足性质，且存在，使得，求证：，，都有；（3）若集合满足性质，且，，，求所有的符合题意的集合.【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质．（2）证明见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）根据集合新定义所需条件，逐个分析即可；（2）分和讨论即可；（3