控制系统的传递函数

第三节控制系统的传递函数第三节控制系统的传递函数

一、传递函数的概念

二、传递函数的性质

三、典型环节及其传递函数引言

控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程。传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的概念一、传递函数的概念

图2-14所示的RC电路中电容的端电压uc(t)。根据克希霍夫定律，可列写如下微分方程：

(2.60)

(2.61)消去中间变量i(t)，得到输入ur(t)与输出uc(t)之间的线性定常微分方程:(2.62)

图2-14RC电路

现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压uc(0)，得:

(2.63)式中Uc(s)——

输出电uc(t)的拉氏变换；

Ur(s)——

输入电压ur(t)的拉氏变换。

当输入为阶跃电压ur(t)=u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得

uc(t)的变化规律:由上式求出Uc(s)的表达式:

(2.64)

(2.65)式中第一项称为零状态响应，由ur(t)决定的分量；第二项称为零输入响应，由初始电压uc

(0)决定的分量。图2-15表示各分量的变化曲线，电容电压uc(t)即为两者的合成。图2-15RC网络的阶跃响应曲线

在式(2.65)中，如果把初始电压uc(0)也视为一个输入作用，则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压ur

(t)和初始电压uc

(0)作用时，电路的输出响应。若uc(0)=0，则有:

(2.66)当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由1/(RCs+1)所确定，式(2.66)亦可写为:

(2.67)

当初始电压为零时，电路输出响应的象函数与输入电压的象函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数。

用式(2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为：式中T=RC。显然，传递函数G(s)确立了电路输入电压与输出电压之间的关系。图2-16传递函数

传递函数可用图2-16表示。该图表明了电路中电压的传递关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压Uc

(s)=G(s)Ur(s)。

对传递函数作如下定义：线性（或线性化）定常系统在零初始

条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。

若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：

(2.68)

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，…an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。

令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式(2.68)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)由传递函数的定义，由式(2.68)描述的线性定常系统的传递函数：式中

M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式；

D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。(2.69)

传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零。

二、传递函数的性质

从线性定常系统传递函数的定义式(2.69)可知，传递函数具有以下性质：

1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m低于或等于分母的阶数n（m≤n），且所有系数均为实数。

2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。

(2.70)

(2.70)3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。将式(2.69)中分子多项式及分母多项式因式分解后，写为如下形式：

式中k为常数，-z1,…,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；-p1,…,-pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。一般zi,pi可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图，如图2-17所示。图中零点用“”表示，极点用“*”表示。图2-17

G(s)=零极点分布图

4.若取式(2.69)中s=0，则：常称为传递系数（或静态放大系数）。从微分方程式(2.68)看，s=0相当于所有导数项为零，方程蜕变为静态方程

或b0/a0恰为输出输入时静态比值。5.传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量。多输入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示。

三、典型环节及其传递函数

控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种基本环节，也就是典型环节。

（一）比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K

(2.71)

输出量与输入量成正比，比例环节又称为无惯性环节或放大环节。图2-18

比例环节

图2-18(a)所示为一电位器，输入量和输出量关系如图2-18(b)所示。

（二）惯性环节传递函数为如下形式的环节为惯性环节：

(2.72)

当环节的输入量为单位阶跃函数时，环节的输出量将按指数曲线上升，具有惯性，如图2-19(a)所示。式中

K——环节的比例系数；

T——环节的时间常数。

图2-19

惯性环节

（三）积分环节

它的传递函数为:

(2.73)

当积分环节的输入为单位阶跃函数时，则输出为t/T，它随着时间直线增长。T称为积分时间常数。T很大时惯性环节的作用就近似一个积分环节。图2-20(b)为积分调节器。积分时间常数为RC。

图2-20

积分环节（四）微分环节

理想微分环节传递函数为:G(s)=Ts

(2.74)

输入是单位阶跃函数1(t)时，理想微分环节的输出为c(t)=Td(t)，是个脉冲函数。

在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的传递函数为：

理想微分环节的实例示于图2-21(a)、(b)。(a)为测速发电机。图中(b)为微分运算放大器。(2.75)

它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-21(c)、(d)所示。在低频时近似为理想微分环节，否则就有式(2.75)的传递函数。图2-21

微分环节（五）振荡环节振荡环节的传递函数为：

(2.76)式中wn

---无阻尼自然振荡频率，wn=1/T；

z——阻尼比，0＜z＜1。图2-22所示