2025 九年级数学下册解直角三角形中已知一边一锐角求其他边示例课件

一、教学背景与目标设定演讲人教学背景与目标设定课后作业：分层落实，巩固提升课堂总结：知识网络与思想升华分层练习：从模仿到迁移的能力提升教学过程：从生活实例到数学模型的递进目录2025九年级数学下册解直角三角形中已知一边一锐角求其他边示例课件01教学背景与目标设定1教材与学情分析作为九年级下册“解直角三角形”章节的核心内容，“已知一边一锐角求其他边”是三角函数应用的基础环节。从教材逻辑看，学生已在本章前两节学习了锐角三角函数的定义（正弦、余弦、正切）及特殊角的三角函数值，本节课需将“定义”转化为“工具”，通过具体问题掌握“已知部分元素求未知元素”的解题逻辑。结合我近年教学观察，九年级学生虽已具备基本的代数运算能力和几何直观，但在“从实际问题抽象出直角三角形模型”“根据已知条件选择合适的三角函数关系式”两个环节易出现困惑。因此，本节课需通过“实例引导—模型构建—步骤规范—变式训练”的路径，帮助学生实现从“记忆公式”到“灵活应用”的跨越。2教学目标过程与方法：经历“观察问题→抽象模型→选择公式→计算验证”的完整解题过程，体会“化归思想”在几何问题中的应用；通过对比不同已知条件下的解题策略，提升逻辑推理的严谨性。知识与技能：掌握“已知直角三角形的一边长和一个锐角，求其他两边”的解题步骤；能根据已知条件选择正弦、余弦或正切建立方程；理解解直角三角形“知二求三”（至少一个边）的本质。情感态度与价值观：通过测量旗杆高度、计算斜坡长度等生活实例，感受数学与实际的紧密联系；在规范解题步骤的过程中，培养“有理有据、步步溯源”的学习习惯。0102033教学重难点重点：已知一边一锐角时，利用三角函数定义建立方程求其他边的方法。难点：根据已知边（斜边或直角边）与所求边的位置关系，正确选择正弦、余弦或正切；实际问题中“直角三角形模型”的准确抽象。02教学过程：从生活实例到数学模型的递进1情境引入：用“可测量的问题”激发探究欲（展示图片：校园内旗杆旁，学生用测角仪和卷尺测量旗杆高度）“同学们，上周实践课有同学问：‘我们只能测出自己到旗杆底部的水平距离（30米）和仰角（37），怎么算旗杆高度呢？’今天这节课，我们就来解决这类问题——已知直角三角形的一边和一个锐角，求其他边。”（板书课题：解直角三角形——已知一边一锐角求其他边）2知识回顾：夯实“工具库”活动1：快速抢答，唤醒记忆提问：“在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=α，三边分别为a（对∠A）、b（对∠B）、c（斜边），请说出sinα、cosα、tanα的表达式。”学生回答后，教师用表格总结：|三角函数|定义式|涉及边||----------|--------|--------||sinα|a/c|对边/斜边||cosα|b/c|邻边/斜边||tanα|a/b|对边/邻边|强调关键点：三角函数的本质是“两边之比”，已知其中一边和角度，即可通过比例求另一边——这正是本节课的核心思路。3新课探究：分类型突破解题步骤明确已知与所求：已知斜边c=AB=10cm，∠A=30；求对边a=BC，邻边b=AC。示例1：在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30，斜边AB=10cm，求BC和AC的长。选择三角函数关系式：求BC（∠A的对边）：sinA=对边/斜边⇒BC=ABsinA=10sin30。解题步骤示范：2.3.1类型1：已知斜边和一个锐角，求两直角边3新课探究：分类型突破解题步骤求AC（∠A的邻边）：cosA=邻边/斜边⇒AC=ABcosA=10cos30。代入计算：sin30=1/2，故BC=10×1/2=5cm；cos30=√3/2，故AC=10×√3/2=5√3cm≈8.66cm（保留两位小数）。验证合理性：根据直角三角形性质，30角对的直角边是斜边的一半，BC=5cm符合；AC=5√3cm，满足勾股定理5²+(5√3)²=25+75=100=10²，验证正确。教师总结：已知斜边和锐角时，用正弦求对边，余弦求邻边——“对边用正弦，邻边用余弦”。3新课探究：分类型突破解题步骤2.3.2类型2：已知一条直角边和一个锐角，求斜边和另一条直角边3新课探究：分类型突破解题步骤子类型2.1：已知直角边为锐角的对边示例2：在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45，对边BC=6cm，求斜边AB和邻边AC的长。解题步骤示范：已知与所求：已知∠A=45，对边a=BC=6cm；求斜边c=AB，邻边b=AC。选择关系式：求斜边AB：sinA=对边/斜边⇒AB=BC/sinA=6/sin45；求邻边AC：tanA=对边/邻边⇒AC=BC/tanA=6/tan45（或用勾股定理，因∠A=45，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=6cm）。代入计算：3新课探究：分类型突破解题步骤子类型2.1：已知直角边为锐角的对边sin45=√2/2，故AB=6/(√2/2)=6×2/√2=6√2≈8.485cm；tan45=1，故AC=6/1=6cm（与等腰直角三角形性质一致）。子类型2.2：已知直角边为锐角的邻边示例3：在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=60，邻边BC=4cm（∠B的邻边为BC，对边为AC），求斜边AB和对边AC的长。解题步骤示范：已知与所求：已知∠B=60，邻边a’=BC=4cm（注意：∠B的邻边是BC，对边是AC，斜边是AB）；求斜边AB，对边AC。选择关系式：3新课探究：分类型突破解题步骤子类型2.1：已知直角边为锐角的对边求斜边AB：cosB=邻边/斜边⇒AB=BC/cosB=4/cos60；求对边AC：tanB=对边/邻边⇒AC=BCtanB=4tan60。代入计算：cos60=1/2，故AB=4/(1/2)=8cm；tan60=√3，故AC=4×√3≈6.928cm。验证：勾股定理验证：4²+(4√3)²=16+48=64=8²，正确。教师总结：已知直角边时，若为锐角的对边，用正弦求斜边，用正切求邻边；若为锐角的邻边，用余弦求斜边，用正切求对边——关键是“明确已知边是所求角的对边还是邻边”。4方法提炼：构建“三步解题法”已知斜边→用sin（求对边）或cos（求邻边）；4已知直角边→若为对边，用sin（求斜边）或tan（求邻边）；若为邻边，用cos（求斜边）或tan（求对边）。5通过上述示例，师生共同总结解题步骤：1画（或标）图：画出直角三角形，标注已知角、已知边（用符号区分斜边和直角边），明确所求边。2选公式：根据已知边与所求边的位置关系（对边、邻边、斜边），选择对应的三角函数（sin、cos、tan）。3计算与验证：代入已知值计算，用勾股定理或三角函数关系验证结果合理性（如角度与边长的对应关系）。603分层练习：从模仿到迁移的能力提升1基础巩固（面向全体）练习1：在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60，斜边AB=12cm，求BC和AC的长。（答案：BC=ABsin60=12×√3/2=6√3≈10.39cm；AC=ABcos60=12×1/2=6cm）练习2：在Rt△DEF中，∠F=90，∠D=37（已知sin37≈0.6，cos37≈0.8，tan37≈0.75），直角边DE=10cm（∠D的对边为EF），求DF和EF的长。（答案：DF=DEcos37≈10×0.8=8cm；EF=DEsin37≈10×0.6=6cm或用tan37=EF/DF⇒EF=DFtan37≈8×0.75=6cm，两种方法结果一致）2能力提升（面向中等生）练习3：如图（课件展示：斜坡截面图），某斜坡的倾斜角为25，坡面长度（斜边）为50米，求斜坡的高度（垂直高度）和水平宽度。（已知sin25≈0.4226，cos25≈0.9063）（解题关键：将斜坡抽象为Rt△，倾斜角为25，斜边为50米，高度为对边，水平宽度为邻边；答案：高度≈50×0.4226≈21.13米；水平宽度≈50×0.9063≈45.32米）练习4：小亮站在离古塔底部20米的地方，测得塔顶的仰角为40（小亮眼睛离地面1.6米），求古塔的高度。（已知tan40≈0.8391）（解题关键：构建Rt△，水平距离20米为邻边，塔高于小亮眼睛的部分为对边，总高度=对边+1.6米；答案：对边=20×tan40≈16.78米，总高度≈16.78+1.6=18.38米）3拓展挑战（面向学优生）练习5：在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=α，BC=a，试推导AC和AB的表达式（用α和a表示）。（答案：AC=a/tanα，AB=a/sinα；通过此练习，强化“用符号表示量”的代数思维）练习6：已知Rt△的一个锐角为50，一条直角边为15cm，求另一条直角边的长度（分两种情况讨论）。（答案：若15cm为50角的对边，则另一条直角边=15/tan50≈15/1.1918≈12.59cm；若15cm为50角的邻边，则另一条直角边=15×tan50≈15×1.1918≈17.88cm；强调“分类讨论”的必要性）04课堂总结：知识网络与思想升华1知识网络回顾通过板书思维导图（见下图），梳理“已知一边一锐角解直角三角形”的核心逻辑：已知条件：Rt△+一边（c或a/b）+一锐角（α）↓选择工具：sinα=对边/c，cosα=邻边/c，tanα=对边/邻边↓建立方程：对边=csinα；邻边=ccosα；c=对边/sinα=邻边/cosα；对边=邻边tanα；邻边=对边/tanα↓计算验证：勾股定理或三角函数值互验2思想方法提炼模型思想：将实际问题抽象为直角三角形模型，是解决测量、工程等问题的关键。01方程思想：通过三角函数定义建立方程，将几何问题转化为代数运算。02分类讨论：已知直角边时，需明确其是锐角的对边还是邻边，避免漏解。033情感升华“同学们，今天我们不仅学会了‘已知一边一锐角求其他边’的方法，更重要的是体会到数学‘用已知推未知’的智慧。就像测量旗杆高度，我们用‘可测量的距离和角度’推导出‘不可直接测量的高度’——这正是数学服务于生活的魅力。希望大家带着这份思考，继续探索更多‘解直角三角形’的应用场景！”05课后作业：分层落实，巩固提升1基础题（必做）在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=20，斜边AC=8cm，求AB和BC的长（结果保留两位小数，sin20≈0.3420，cos20≈0.9397）。已知Rt△的一个锐角为45，一条直角边为10cm，求斜边长度（分两种情况解答）。2提升题（选做）如图（课件附：楼梯截面图），某楼梯的倾斜角为35，踏板（