2025 九年级数学下册解直角三角形中已知一边一锐角求其他角课件

一、课程导入：从生活问题到数学本质的联结演讲人04/典型例题精讲：突破易错点与思维误区03/核心探究：已知一边一锐角解直角三角形的方法与步骤02/知识回顾：构建解题的“工具库”01/课程导入：从生活问题到数学本质的联结06/课堂总结：提炼核心，形成知识体系05/课堂练习与反馈：在实践中巩固提升08/结语：数学是解决问题的钥匙07/课后作业：分层巩固，拓展思维目录2025九年级数学下册解直角三角形中已知一边一锐角求其他角课件01课程导入：从生活问题到数学本质的联结课程导入：从生活问题到数学本质的联结各位同学，今天上课前，我想先和大家分享一个我上周在校园里遇到的场景：学校要在操场边新建一个升旗台，施工师傅拿着卷尺和量角器反复测量。我凑过去一问，原来他们需要确定旗杆的高度，但直接爬上去量太危险，于是师傅说：“只要测出地面到旗杆底部的水平距离，再用仪器测出仰角，就能算出旗杆高度。”这个场景里，师傅用的就是“解直角三角形”的方法——已知一边（水平距离）和一个锐角（仰角），求出另一条边（旗杆高度）。这正是我们今天要学习的核心内容：已知一边一锐角，如何解直角三角形。02知识回顾：构建解题的“工具库”知识回顾：构建解题的“工具库”在正式学习前，我们需要先梳理已有的知识储备，就像厨师做菜前要备齐食材一样。解直角三角形的“食材”主要包括以下三部分：1直角三角形的基本性质直角三角形是一类特殊的三角形，它有三个关键性质：角的关系：三个内角和为180，其中一个角是90（直角），因此另外两个锐角之和为90（即∠A+∠B=90，若∠C为直角）。边的关系：满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方（(a^2+b^2=c^2)，其中(a,b)为直角边，(c)为斜边）。边角对应：大角对大边，直角所对的边是斜边，是三角形中最长的边。2锐角三角函数的定义1锐角三角函数是联系直角三角形边角关系的桥梁，我们已学过的三个核心函数需要再次强化记忆：2正弦（sin）：锐角的对边与斜边的比，即(\sinA=\frac{a}{c})（(a)为∠A的对边，(c)为斜边）。3余弦（cos）：锐角的邻边与斜边的比，即(\cosA=\frac{b}{c})（(b)为∠A的邻边）。4正切（tan）：锐角的对边与邻边的比，即(\tanA=\frac{a}{b})。5小提醒：三角函数的本质是“比值”，与三角形的大小无关，只与角度有关。例如，30角的正弦值始终是(\frac{1}{2})，无论这个角所在的直角三角形是大是小。3解直角三角形的定义所谓“解直角三角形”，就是已知直角三角形的某些边或角，求出其余所有未知的边和角。根据直角三角形的“确定性”，我们知道：已知两个独立的条件（至少一个是边），就可以唯一确定一个直角三角形。今天我们要解决的就是其中最常见的一种情况：已知一边和一个锐角。03核心探究：已知一边一锐角解直角三角形的方法与步骤核心探究：已知一边一锐角解直角三角形的方法与步骤明确了基础后，我们进入核心环节。为了让大家更清晰地掌握方法，我将解题过程拆解为“四步操作法”，并结合具体案例逐一说明。1第一步：明确已知与未知，画出示意图拿到题目后，首先要做的不是急着计算，而是“翻译”题目信息：确定已知的是哪条边（斜边还是直角边）、哪个锐角，以及需要求的是哪些边或角。为了避免混淆，最好画出直角三角形的示意图，标出已知条件。案例1：在Rt△ABC中，∠C=90，已知∠A=30，斜边AB=10cm，求∠B、AC和BC的长度。操作示范：画Rt△ABC，标注∠C=90，∠A=30，AB=10cm（斜边）。未知元素为：∠B、AC（∠A的邻边，也是∠B的对边）、BC（∠A的对边，也是∠B的邻边）。2第二步：利用锐角互余求另一个锐角根据直角三角形两锐角互余的性质（∠A+∠B=90），已知一个锐角，另一个锐角可直接求出。1案例1续解：∠B=90-∠A=90-30=60。2这一步是最基础的，但也是最容易被忽略的“送分点”，同学们一定要养成先求角的习惯。33第三步：选择合适的三角函数求未知边求边的关键在于“对号入座”——根据已知角和已知边，选择包含这两个量的三角函数公式。3第三步：选择合适的三角函数求未知边3.1已知斜边求直角边：用正弦或余弦若已知斜边(c)和锐角(∠A)，则：对边(a=c\cdot\sinA)（因为(\sinA=\frac{a}{c})，变形得(a=c\cdot\sinA)）；邻边(b=c\cdot\cosA)（同理，(\cosA=\frac{b}{c})，变形得(b=c\cdot\cosA)）。案例1续解：BC是∠A的对边，故(BC=AB\cdot\sinA=10\cdot\sin30=10\cdot\frac{1}{2}=5)（cm）；3第三步：选择合适的三角函数求未知边3.1已知斜边求直角边：用正弦或余弦AC是∠A的邻边，故(AC=AB\cdot\cosA=10\cdot\cos30=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3})（cm）。3.3.2已知直角边求斜边或另一条直角边：用正弦、余弦或正切若已知的是直角边，需要分两种情况：已知对边求斜边：若已知∠A的对边(a)，则斜边(c=\frac{a}{\sinA})（由(\sinA=\frac{a}{c})变形）；已知邻边求斜边：若已知∠A的邻边(b)，则斜边(c=\frac{b}{\cosA})（由(\cosA=\frac{b}{c})变形）；3第三步：选择合适的三角函数求未知边3.1已知斜边求直角边：用正弦或余弦已知一条直角边求另一条直角边：若已知∠A的对边(a)，则邻边(b=\frac{a}{\tanA})（由(\tanA=\frac{a}{b})变形为(b=\frac{a}{\tanA})）；或已知邻边(b)，则对边(a=b\cdot\tanA)。案例2：在Rt△ABC中，∠C=90，已知∠B=45，直角边BC=5cm，求∠A、AB和AC的长度。操作示范：求∠A：∠A=90-∠B=45；分析已知边：BC是∠B的邻边（因为∠B的对边是AC，邻边是BC），也是∠A的对边（∠A的对边是BC，邻边是AC）；3第三步：选择合适的三角函数求未知边3.1已知斜边求直角边：用正弦或余弦求斜边AB：可选择用∠B的余弦（邻边/斜边），即(\cosB=\frac{BC}{AB})，变形得(AB=\frac{BC}{\cosB}=\frac{5}{\cos45}=\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5\sqrt{2})（cm）；求另一条直角边AC：∠B的对边是AC，可用正弦（对边/斜边），即(\sinB=\frac{AC}{AB})，得(AC=AB\cdot\sinB=5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=5)（cm）；或利用∠A的正切（对边/邻边），(\tanA=\frac{BC}{AC})，因∠A=45，(\tan45=1)，故(AC=BC=5)（cm）。4第四步：验证结果的合理性计算完成后，需要验证结果是否符合直角三角形的基本性质，避免计算错误。常用的验证方法有两种：勾股定理验证：检查两直角边的平方和是否等于斜边的平方；三角函数值验证：用求出的边计算已知角的三角函数值，看是否与已知角度的函数值一致。案例1验证：勾股定理：(BC^2+AC^2=5^2+(5\sqrt{3})^2=25+75=100=AB^2)，符合；三角函数验证：(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2})，与(\sin30=\frac{1}{2})一致；(\cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2})，与(\cos30=\frac{\sqrt{3}}{2})一致，结果正确。4第四步：验证结果的合理性案例2验证：勾股定理：(BC^2+AC^2=5^2+5^2=50=(5\sqrt{2})^2)，符合；三角函数验证：(\tanB=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{5}=1)，与(\tan45=1)一致，结果正确。04典型例题精讲：突破易错点与思维误区典型例题精讲：突破易错点与思维误区通过前面的学习，我们已经掌握了基本方法，但实际解题中仍有一些常见问题需要注意。下面通过两道例题，重点分析易错点，并总结解题策略。4.1例题1：已知直角边与锐角，求斜边和另一条直角边题目：在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=60，直角边AC=3cm，求∠B、BC和AB的长度。解题过程：求∠B：∠B=90-60=30；分析已知边：AC是∠A的邻边（∠A的对边是BC，邻边是AC）；典型例题精讲：突破易错点与思维误区求斜边AB：选择∠A的余弦（邻边/斜边），即(\cosA=\frac{AC}{AB})，变形得(AB=\frac{AC}{\cosA}=\frac{3}{\cos60}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6)（cm）；求另一条直角边BC：选择∠A的正切（对边/邻边），即(\tanA=\frac{BC}{AC})，变形得(BC=AC\cdot\tanA=3\cdot\tan60=3\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3})（cm）；验证：勾股定理(AC^2+BC^2=3^2+(3\sqrt{3})^2=9+27=36=AB^2)，正确。典型例题精讲：突破易错点与思维误区易错点提醒：部分同学容易混淆“对边”和“邻边”，导致三角函数选择错误。解决方法是：在图中标注已知角，明确“对边”是“角的对边”（不与角相邻的边），“邻边”是“角的邻边”（与角共顶点的直角边）。2例题2：实际问题中的解直角三角形题目：小明想测量学校教学楼的高度，他在离楼底水平距离20米的地方，用测角仪测得楼顶的仰角为37（测角仪高度忽略不计）。已知(\sin37≈0.6)，(\cos37≈0.8)，(\tan37≈0.75)，求教学楼的高度。解题过程：构建模型：将问题转化为Rt△ABC，其中∠C=90（楼底到小明的水平距离为BC=20米），∠B=37（仰角），求对边AC（楼的高度）；分析已知与未知：已知邻边BC=20米，∠B=37，求对边AC；选择三角函数：(\tanB=\frac{AC}{BC})（对边/邻边），故(AC=BC\cdot\tanB=20\cdot0.75=15)（米）；2例题2：实际问题中的解直角三角形验证：用正弦验证，(\sinB=\frac{AC}{AB})，则斜边(AB=\frac{AC}{\sinB}=\frac{15}{0.6}=25)米，再用勾股定理验证(BC^2+AC^2=20^2+15^2=625=25^2)，正确。易错点提醒：实际问题中，学生容易忽略“水平距离”是邻边还是对边，或混淆仰角、俯角的定义。解决方法是：画示意图时，明确观测点、目标点和水平线，仰角是从水平线向上到目标的角，俯角是从水平线向下到目标的角。05课堂练习与反馈：在实践中巩固提升课堂练习与反馈：在实践中巩固提升为了确保大家真正掌握方法，我们进行分组练习，每组完成2道题，之后随机抽取同学展示解题过程，其他同学点评。1基础题（必做）在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=45，斜边AB=8cm，求∠B、AC和BC的长度。在Rt△DEF中，∠F=90，∠D=30，直角边DF=5cm（∠D的邻边），求∠E、DE和EF的长度。2提升题（选做）如图（略），某斜坡的倾斜角为25，已知斜坡的水平宽度为10米，求斜坡的垂直高度（(\tan25≈0.4663)）。小亮站在离旗杆底部12米的地方，测得旗杆顶部的仰角为60，小亮的眼睛离地面1.6米，求旗杆的高度（(\tan60≈1.732)）。课堂反馈：在巡视过程中，我发现大部分同学能正确画出示意图并选择三角函数，但有2位同学在计算(\cos45)时误写成(\frac{\sqrt{3}}{2})（实际是(\frac{\sqrt{2}}{2})），还有1位同学在实际问题中忘记加上测角仪的高度。针对这些问题，我现场用黑板演示了正确步骤，并强调“记忆特殊角的三角函数值”和“注意实际问题中的隐含条件”的重要性。06课堂总结：提炼核心，形成知识体系课堂总结：提炼核心，形成知识体系通过今天的学习，我们完成了从“知识回顾”到“方法探究”再到“实践应用”的全过程。现在，我们一起用三句话总结核心要点：1一个目标：解直角三角形