2025 九年级数学下册立方体展开图中相邻面数字排列规律课件

一、课程导入：从生活到数学的空间认知启蒙演讲人CONTENTS课程导入：从生活到数学的空间认知启蒙知识铺垫：立方体与展开图的基本属性核心探究：展开图中相邻面的数字排列规律例题解析：从理论到实践的迁移实践操作：动手折叠，深化空间认知总结与升华：从规律到思维的跨越目录2025九年级数学下册立方体展开图中相邻面数字排列规律课件01课程导入：从生活到数学的空间认知启蒙课程导入：从生活到数学的空间认知启蒙作为一线数学教师，我常在课堂上观察到一个有趣的现象：当学生第一次接触立方体展开图时，他们的反应往往分为两类——一类会兴奋地用草稿纸折叠小立方体，试图“看见”立体与平面的转换；另一类则盯着书本上的展开图皱眉，疑惑“这些零散的面怎么就拼成了立方体？”。这种差异背后，是空间想象能力的初始分化，而本节课的核心任务，正是帮助学生建立“平面—立体”转换的思维桥梁，尤其聚焦于展开图中相邻面数字排列的规律。我们不妨从生活场景切入：快递盒拆封后平铺的硬纸板、魔方拆解后的六个面、粉笔盒展开的包装纸……这些都是立方体展开图的现实原型。当我们在这些展开图上标注数字（如骰子的1-6点），问题便转化为：**如何通过展开图的平面排列，准确推断折叠成立方体后相邻面的数字关系？**这既是中考常考的几何基础题，也是培养空间观念的关键载体。02知识铺垫：立方体与展开图的基本属性知识铺垫：立方体与展开图的基本属性要探究相邻面的数字规律，首先需明确立方体及其展开图的基础属性。1立方体的几何特征STEP1STEP2STEP3立方体（正方体）是由6个全等的正方形面围成的立体图形，具有以下核心特征：面的关系：6个面中，每对相对面互相平行且面积相等，共3组相对面；其余面均为相邻面（有一条公共棱）。棱与顶点：12条棱长度相等，8个顶点由3条棱交汇而成。2立方体展开图的定义与分类展开图是将立方体的表面沿某些棱剪开，平铺成一个平面图形的结果。需注意：展开图必须包含立方体的所有6个面，且面与面之间通过原立方体的棱（即展开图中的公共边）相连。根据展开图的排列形状，可将其分为四大类（教学中常用“型”来命名）：“1-4-1”型（最常见）：由1个面—4个面—1个面纵向排列，共6种变体。例如：□□□□□□（注：“□”代表正方形面，下同）“2-3-1”型：由2个面—3个面—1个面排列，共3种变体。例如：□□2立方体展开图的定义与分类□□□□“2-2-2”型：3层，每层2个面，仅1种变体。例如：□□□□□□“3-3”型：2层，每层3个面，仅1种变体。例如：□□□□□□这四类展开图覆盖了立方体所有可能的展开方式（共11种），理解其结构是分析相邻面关系的前提。03核心探究：展开图中相邻面的数字排列规律1相邻面的判定原则1在展开图中，相邻面的本质是原立方体中存在公共棱的两个面。反映在展开图上，需满足以下条件之一：2直接相邻：两个面在展开图中有一条公共边（即边与边完全重合）。例如在“1-4-1”型中，中间4个面依次左右相连，每个中间面与上下两个“1”型面若有公共边则相邻。3折叠后相邻：某些面在展开图中不直接相邻，但折叠成立方体时会因棱的重合而成为相邻面。例如“2-3-1”型中，顶层的2个面与中间层的第1、3个面可能通过折叠形成公共棱。2相对面与相邻面的关系：排除法的应用“3-3”型：上下两层的第1与第4、第2与第5、第3与第6个面是相对面（需按层对齐）。05“2-3-1”型：顶层的2个面中，与底层“1”型面无公共边的面是其相对面；中间3个面中，第1与第3是相对面。03由于立方体中每个面有且仅有1个相对面，其余4个面均为相邻面，因此确定相对面是推断相邻面的关键。相对面在展开图中的典型特征：01“2-2-2”型：每层的2个面中，与另一层对应位置的面是相对面（呈“对角线”分布）。04“1-4-1”型：上下两个“1”型面是相对面；中间4个面中，第1与第4、第2与第3是相对面（若中间面为连续排列）。022相对面与相邻面的关系：排除法的应用教学提示：我常在课堂上让学生用“Z”字法辅助判断相对面——在展开图中，相对面的连线形如“Z”字（或反“Z”），且“Z”字的首尾两端必为相对面。例如“1-4-1”型中间4个面的第1与第4个面，连线即构成“Z”字的横与竖。3具体展开图类型中的数字排列规律为便于理解，我们以标注数字1-6的立方体为例（假设1的相对面是6，2的相对面是5，3的相对面是4），分析不同展开图中相邻面的数字关系。3具体展开图类型中的数字排列规律3.1“1-4-1”型展开图以展开图：01234502603为例（中间4个面为2、3、4、5，上为1，下为6）。04直接相邻面：051与2、5（因1的下边与2的上边、5的上边重合）066与4、3（因6的上边与4的下边、3的下边重合）072与1、3（左右相邻）083与2、4、6（左邻2，右邻4，下邻6）091103具体展开图类型中的数字排列规律3.1“1-4-1”型展开图4与3、5、6（左邻3，右邻5，下邻6）5与4、1（左邻4，上邻1）验证折叠结果：折叠后，1与6相对，2与5相对，3与4相对，每个面的4个相邻面均符合上述分析。3.3.2“2-3-1”型展开图以展开图：123具体展开图类型中的数字排列规律3.1“1-4-1”型展开图3456为例（顶层2个面1、2，中间3个面3、4、5，底层1个面6）。相对面判断：通过“Z”字法，1的相对面是5（1→3→5构成“Z”），2的相对面是6（2→4→6构成“Z”），3的相对面是4？不，中间3个面中，3与5是“Z”字两端（3→4→5），因此3的相对面是5？这里需注意，“2-3-1”型的相对面需结合层数：顶层1与中间层第3个面（5）相对，顶层2与底层6相对，中间层第1个面（3）与中间层第3个面（5）相对，中间层第2个面（4）与无直接“Z”字连接的面？实则更简单的方法是：立方体共3组相对面，已确定1-5、2-6，则剩余3-4必为相对面。相邻面分析：3具体展开图类型中的数字排列规律3.1“1-4-1”型展开图1的相邻面：2（公共边）、3（1的右边与3的上边重合）、5（折叠后1的下边与5的上边重合？需实际折叠验证）（注：此处易混淆，需借助实物模型演示：将顶层1、2向后折，中间层3、4、5作为前面，底层6向下折，则1会与3的左侧面、5的上侧面相邻，2会与4的上侧面、6的右侧面相邻。）3.3.3“2-2-2”型与“3-3”型展开图“2-2-2”型：展开图为：ABCD3具体展开图类型中的数字排列规律3.1“1-4-1”型展开图EF折叠时，A与D、B与E、C与F相对（“Z”字连接），每个面的相邻面为同层左右面及上下层对应位置的面。例如A的相邻面是B（右）、C（下）、D（下右折叠后相邻）。“3-3”型：展开图为：ABCDEF折叠时，A与E、B与F、C与D相对（“Z”字连接），A的相邻面是B（右）、D（下）、E（下右折叠后相邻）。4数字排列的通用规律总结03相对面不相邻：已知某面的相对面数字，其余4个数字必为其相邻面（因立方体每个面仅1个相对面）。02公共边必相邻：展开图中若两个面有一条公共边，则折叠后这两个面必为相邻面，数字位置对应。01通过上述分析，可归纳出展开图中相邻面数字排列的三大核心规律：04“Z”字辅助判相对，排除相对得相邻：通过“Z”字法快速确定相对面，剩余数字即为相邻面，尤其适用于无公共边但折叠后相邻的情况。04例题解析：从理论到实践的迁移例题解析：从理论到实践的迁移为巩固规律，我们通过典型例题进行应用训练。例1（基础题）如图（假设展开图为“1-4-1”型）：123456已知1的相对面是6，2的相对面是5，3的相对面是4。问：数字3的相邻面有哪些？解析步骤：确定3的相对面是4（已知），因此相邻面为除4外的其他数字（1、2、5、6）。验证展开图中的公共边：3与2（左邻）、4（右邻）、6（下邻）、1（上邻？需看展开图结构）。实际展开图中，3的上边与1的下边是否有公共边？在“1-4-1”型中，中间4个面的上边与顶层“1”型面的下边重合，因此3的上边与1的下边重合，故3与1相邻；同理，3的下边与底层“6”型面的上边重合，故3与6相邻。因此，3的相邻面为1、2、6、4？不，4是相对面，矛盾。例1（基础题）（注：此处暴露学生易犯错误——混淆相对面与公共边相邻面。正确分析应为：3的相对面是4，因此相邻面为1、2、5、6。展开图中，3与2（左公共边）、5（右公共边？不，中间4个面是2-3-4-5，因此3的右邻是4，左邻是2；顶层1的下边与2的上边、5的上边重合，故1与2、5相邻；底层6的上边与4的下边、3的下边重合，故6与4、3相邻。因此，3的相邻面是2（左）、6（下）、4（右）？但4是相对面，这说明之前的相对面假设错误——在“1-4-1”型中，中间4个面的相对面应为第1与第4（2与5）、第2与第3（3与4），因此若2的相对面是5，3的相对面是4，1的相对面是6，则3的相邻面应为2（左）、4（相对面，排除）、6（下）、1（上？1的下边与2、5的上边重合，与3的上边无公共边）。此时需修正：3的相邻面应为2（左）、6（下）、以及折叠后与1的侧面相邻？例1（基础题）这体现了实物折叠的重要性——实际折叠后，3的前面是3，2在左，4在右，1在上（与2的上面相连），6在下（与4的下面相连），因此3的相邻面是2（左）、4（右）、1（后上）、6（后下），但4是相对面，说明我的初始相对面假设错误，正确的相对面应为：在“1-4-1”型中，中间4个面的第1（2）与第4（5）相对，第2（3）与第3（4）相对，顶层1与底层6相对。因此3的相对面是4，相邻面为2、5、1、6，这与展开图中3的左邻2、右邻4（相对面，不相邻）、上邻1（通过折叠，3的上面与1的侧面相连）、下邻6（通过折叠，3的下面与6的侧面相连），因此正确相邻面是2、5、1、6。）教学反思：此题暴露了学生易混淆“展开图中的直接相邻”与“折叠后的实际相邻”，因此需强调：展开图中无公共边的面，可能通过折叠成为相邻面，而有公共边的面一定是相邻面，但需排除相对面（若公共边连接的是相对面，则不可能，因相对面无公共边）。例1（基础题）例2（提升题）某立方体展开图如下（“2-3-1”型）：ABCDEF已知A=1，B=2，C=3，D=4，E=5，F=6，且1的相对面是5，2的相对面是6。求：数字4的相邻面数字。解析步骤：确定相对面：已知1(A)-5(E)，2(B)-6(F)，则剩余3(C)-4(D)必为相对面（因立方体共3组相对面）。例1（基础题）排除相对面：4的相对面是3，因此相邻面为1、2、5、6。结合展开图结构验证：D(4)在中间层第2位，其左邻C(3，相对面，不相邻)，右邻E(5，相邻)，上邻B(2，B的下边与D的上边重合，相邻)，下邻F(6，折叠后D的下边与F的上边重合，相邻)，同时，A(1)的右边与C(3)的上边重合，折叠后A(1)会与D(4)的左侧面相邻。因此，4的相邻面为1、2、5、6，与推断一致。05实践操作：动手折叠，深化空间认知实践操作：动手折叠，深化空间认知0504020301理论需与实践结合，我常让学生分组完成以下活动：制作展开图模型：用硬纸板绘制“1-4-1”“2-3-1”型展开图，标注数字1-6（任意分配相对面）。折叠验证：将展开图折叠成立方体，记录每个数字的相邻面数字。对比分析：比较展开图中直接相邻的面与折叠后相邻的面，总结规律。学生反馈显示，动手操作能显著降低“平面—立体”转换的抽象感，尤其对空间想象能力较弱的学生，实物折叠是理解规律的“关键钥匙”。06总结与升华：从规律到思维的跨越总结与升华：从规律到思维的跨越本节课，我们围绕“立方体展开图中相邻面数字排列规律”展开了系统探究，核心内容可总结为：一个核心关系：展开图的平面排列与立方体的立体结构通过公